Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[irod]

vpb
Ок, Вас понял, за сегодня-завтра порешаю задачи как Вы сказали и отпишусь.

[photon]

vpb в сообщении #1311883 писал(а):

Над 16) и 21) Вам сейчас думать не стоит. Если хотите узнать, в чем там дело, можно почитать учебник Мордковича-Николаева (см. выше), там все очень доходчиво написано. Причем, я бы даже сказал, не почитать, а поизучать систематически.

Если еще не дошло до систематического изучения этого вопроса (а даже если и дошло), полезно взять за правило подставлять полученные решения в исходные условия и проверять, а что же там получилось - поможет избежать не только части проколов с ОДЗ и т.п., но и просто с ошибками по невнимательности, такими как перепутанный знак или что-то подобное.

[irod]

Прорешивание 6-й главы немного затянулось, насчет одного-двух дней я погорячился.

Сначала возникло чувство что я зря трачу время. Такое у меня бывает, и это одна из моих проблем. Мне кажется что уж это-то я знаю, и надо не теряя драгоценного времени идти дальше, а потом оказывается что я что-то упустил, и приходится возвращаться обратно к истокам. Если бы я так не гнал вперед и сразу начал со школьной алгебры, я бы сейчас был гораздо дальше. А то вспоминаю как 4 года назад, начитавшись интернета, я без повторения элементарной математики сразу начал читать Зорича и Винберга

Параграфы 27-29 просмотрел/прорешал полностью, что-то в уме, что-то письменно. В основном во всех задачах решение возникало в уме пока записывал условие. Немного сбили с толку задачи на рисование графиков уравнений - сперва засомневался что именно надо нарисовать, но сам быстро сообразил (и потом перечитал пример 7 на стр.132, который подтвердил мои догадки).

Далее, начиная с пар.30 я сразу решал только сложные задачи (с черным кружком перед номером - в конце параграфа). Тут уже далеко не все решалось в уме, например 30.46 пришлось вдумчиво разложить с листком и ручкой. Задача 33.29 заставила задуматься, не сразу догадался умножить обе части на 2 в пункте а), ну а п.б) быстро свел к п.а).

Было несколько заминок из-за того что предполагал что задача очень сложная ("не, ну здесь явно не просто скобки раскрыть надо") а оказывалось что нет. Наверное, я уже привык к более сложным задачам за последнее время.

Сейчас у меня остался буквально пяток задач, в основном из параграфа 32 (никак не могу придумать как надо разложить 40 и 41, но подозреваю там очень просто), и наверное я готов к Вашему тесту, vpb.

-- 24.05.2018, 11:47 --

photon
ок, конечно, иногда забываю про это.

[irod]

vpb
у меня еще вопрос - как мне лучше протестироваться по Зельдовичу? Мне осталось пройти несколько параграфов. Я стремлюсь к тому чтобы уметь самому расписать любой параграф от начала до конца, т.е. вывести самому основные формулы и идеи, повторяя рассуждения из книги. Периодически открываю оглавление и последовательно повторяю таким образом все пройденные параграфы. Про задачи в конце каждого параграфа наверное можно не упоминать, их я само собой решаю. Этого достаточно?

[vpb]

irod
Рад, что Вы разобрались с 6 главой.
По задачам оставшимся. Можете их пропустить. На самом деле там так: в 32.40 (а) дробь несократима, но доказать это
Вы сейчас не сможете. В 32.40 (б) решение стандартными приемами, просто аккуратно на бумажке написать надо. В 32.41 --- в обоих случаях числитель делится нацело на знаменатель ("уголком"; как делят многочлены уголком, узнаете позже (если еще не знаете)), но чтоб до этого догадаться, надо или знать некие искусственные приемы, в чем большой пользы нет, или иметь более обширные теоретические сведения про многочлены и их делимость, что впереди.

Контрольную я Вам сейчас напишу.

-- 25.05.2018, 15:35 --

Контрольная.

1) Сократите дроби

$$ \frac{12a^2b+8ab^2}{9a^2-4b^2} $$

$$ \frac{36x^2-60x+25}{25-36x^2} $$

2) Докажите тождество

$$ \frac{27x^3+8}{9x^2-6x+4}-2=\frac{3x^7+12x}{x^6+4}. $$

3) Разложите на множители $x^3-3x^2-15x+125$.

4) Докажите, что $3\cdot5^6-24$ делится на $69$.
Замечание. Задачи довольно простые, даже примитивные, можно сказать. Честно говоря, мне было лень придумывать свои, и я эти списал из другой книжки (сборника контрольных) того же Мордковича.

-- 25.05.2018, 15:41 --

Относительно проверки того, что Вы усвоили из Зельдовича, мне надо еще подумать.

[irod]

vpb в сообщении #1314886 писал(а):

1) Сократите дроби

$$ \frac{12a^2b+8ab^2}{9a^2-4b^2} $$

(Ответ)

$\frac{4ab}{3a-2b}$

vpb в сообщении #1314886 писал(а):

$$ \frac{36x^2-60x+25}{25-36x^2} $$

(Ответ)

$\frac{5-6x}{5+6x}$

vpb в сообщении #1314886 писал(а):

2) Докажите тождество

$$ \frac{27x^3+8}{9x^2-6x+4}-2=\frac{3x^7+12x}{x^6+4}. $$

(Доказательство)

Применим формулу суммы кубов и перенесем двойку в правую часть, приведя к общему знаменателю:

$$\frac{(3x+2)(9x^2-6x+4)}{9x^2-6x+4}=\frac{3x(x^6+4)+2(x^6+4)}{x^6+4}=\frac{(3x+2)(x^6+4)}{x^6+4}$$

$$3x+2=3x+2$$

vpb в сообщении #1314886 писал(а):

3) Разложите на множители $x^3-3x^2-15x+125$.

(Решение)

$$x^3-3x^2-15x+125=(x^3+125)-3x(x+5)=(x+5)(x^2-5x+25)-3x(x+5)=(x+5)(x^2-8x+25)$$

Квадратное уравнение $x^2-8x+25=0$ не имеет действительных корней, так что тут наверное надо выделить полный квадрат: $(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9$. Можно еще так: $(x^2-10x+25)+2x=(x-5)^2+2x$, но наверное тут все-таки первый вариант. Итак, ответ: $(x+5)((x-4)^2+9)$

vpb в сообщении #1314886 писал(а):

4) Докажите, что $3\cdot5^6-24$ делится на $69$.

(Доказательство)

$$3\cdot5^6-24=3((5^2)^3-2^3)=3(5^2-2)(5^4+2\cdot 5^2+2^2)=69(5^4+2\cdot 5^2+2^2)$$

[iifat]

irod в сообщении #1315084 писал(а):

тут наверное надо выделить полный квадрат

Не надо тут ничего выделять. Либо разлагать до комплексных корней (подозреваю, этого vpb в виду не имел), либо оставить как есть.

[vpb]

iifat в сообщении #1315093 писал(а):

Не надо тут ничего выделять. Либо разлагать до комплексных корней (подозреваю, этого vpb в виду не имел), либо оставить как есть.

Совершенно верно. Это за 7 класс задача, а в 7 классе квадратные уравнения еще не проходят.
irod, а сколько у Вас примерно времени заняло решение этих примеров (на бумажке, т.е. не считая ТеХ-набора) ?
Можете продолжать за 8 класс.

[irod]

vpb в сообщении #1315098 писал(а):

irod, а сколько у Вас примерно времени заняло решение этих примеров (на бумажке, т.е. не считая ТеХ-набора) ?

Около 20-30 мин.

vpb в сообщении #1315098 писал(а):

Можете продолжать за 8 класс.

Ок

[irod]

Закончил Зельдовича (части 1-4).
Всего потратил на него чуть меньше 60 часов (на все вместе: чтение, задачи, периодические самотестирования).
Все-таки отличная книга, я очень рад что я ее прочитал! В голове все очень прояснилось, понял как выводятся все эти формулы взятия производных сложной/обратной функции, суммы/произведения/отношения функций, производные элементарных функций; узнал наконец-то как выводится формула интегрирования по частям; и про ряд Тейлора все неожиданно просто оказалось.
В целом все понятно, каких-то серьезных непроработанных вопросов по пройденному материалу у меня нет. Отмечу следующие моменты.
Меня немного смущает, что выражение со знаком интеграла является составным - $\int y(x) dx$ - в него входит дифференциал $dx$, с которым можно делать алгебраические манипуляции как бы "отдельно" от знака самого интеграла (не считая изменения пределов интегрирования). Когда мы меняем переменную интегрирования, например $u=x^2,du=2xdx$, мы заменяем дифференциал $dx$ выражением $\frac{du}{2x}$. Тут у меня нет вопросов, просто я все как-то не могу привыкнуть к подобным манипуляциям (хотя интегралов я за свою жизнь нарешал гору). Даже не знаю что мне надо сделать, может почитать историю возникновения этих символов?
Последняя - 4-я - часть лично для меня была тяжелее предыдущих частей, во многом из-за моих пробелов в (школьной) геометрии. Хотя геометрия там в основном простая - почти все выводится из известной мне теоремы Пифагора, но чувствовал я себя не очень уверенно, особенно когда речь заходила про всякие там подобные треугольники, объемы конусов и т.д.
То же самое касаемо тригонометрии (вывод производной синуса), только там к геометрии прибавляются собственно тригонометрические формулы, вывод которых я не знаю (давно забыл), например $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$. Совсем базовую тригонометрию-то я знаю (определения тригонометрических функций, единичная окружность, $\sin^2 x+\cos^2 x=1$), но дальше - нет. Наверное, эта моя неуверенность должна уйти по мере прохождения Мордковича-Николаева.

[irod]

Уровень 8-го класса школьной алгебры по Мордковичу-Николаеву оказался гораздо выше чем уровень 7-го. Первая глава про алгебраические дроби совсем простая, там ничего нового для меня не было, а вот со второй главы начались новые для меня вещи. Например, сам факт и доказательство того что любое рациональное число есть бесконечная периодическая десятичная дробь я не знал (я просто как-то не сталкивался вообще с этой темой нигде). Иррациональное число = бесконечная десятичная непериодическая дробь. Потом геометрическая интерпретация среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел. ЗдОрово что я такие вещи узнаю. Но проблема не в теории (с ней все понятно, и вопросов нет, все ведь очень разжевано), проблема в задачах. Они идут у меня очень медленно, в таком режиме я до конца года не успею всю школьную алгебру пройти. Причем задачи-то в основном несложные и обычно сводятся просто к нарабатыванию техники, на что в сумме уходит куча времени. Дело осложняется тем, что задачи не разделены по сложности (нет "звездочек", иначе бы я в основном их решал), и общее количество задач гораздо больше чем в задачнике для 7-го класса. Если что, у меня задачник Звавич Л.И., Рязановский А.Р., 2008 г.
vpb, может как-то скорректировать Ваши первоначальные рекомендации по решению задач:

vpb в сообщении #1311494 писал(а):

Одновременно прорешиваете задачи, из их же задачника, тоже все подряд. Однако (!), если какая-то задача для Вас тривиальна (сразу видите как решать, и что решение ее будет просто растратой времени), ее можно пропустить.
Сколько пропустите, нельзя заранее сказать: может 1/10, может половину, может 3/4, а может 9/10. Главное, того, что не очевидно, пропускать не надо! Кстати, иногда следует порешать и тривиальные задачи, просто чтобы руку набить.

?

[Mikhail_K]

irod в сообщении #1317952 писал(а):

Дело осложняется тем, что задачи не разделены по сложности (нет "звездочек", иначе бы я в основном их решал), и общее количество задач гораздо больше чем в задачнике для 7-го класса. Если что, у меня задачник Звавич Л.И., Рязановский А.Р., 2008 г.

А почему Вы не используете задачник Мордковича, как Вам и посоветовали:

vpb в сообщении #1311494 писал(а):

Берете Мордковича-Николаева, и всего подряд внимательно изучаете. Внимательно, но без фанатизма. Одновременно прорешиваете задачи, из их же задачника, тоже все подряд. Однако (!), если какая-то задача для Вас тривиальна (сразу видите как решать, и что решение ее будет просто растратой времени), ее можно пропустить.

Насколько я знаю, в задачнике Мордковича разделение задач по уровням сложности как раз имеется.

[irod]

Mikhail_K

vpb в сообщении #1310043 писал(а):

К учебнику Мордкович-Николаев есть задачник, для 7 класса они же авторы, а для 8 и 9 авторы Звавич-Рязановский-Семенов.

[Munin]

irod в сообщении #1317952 писал(а):

Но проблема не в теории (с ней все понятно, и вопросов нет, все ведь очень разжевано), проблема в задачах. Они идут у меня очень медленно, в таком режиме я до конца года не успею всю школьную алгебру пройти. Причем задачи-то в основном несложные и обычно сводятся просто к нарабатыванию техники, на что в сумме уходит куча времени.

Если задачи по наработке техники у вас идут тяжело, то это тем более сигнал, что их надо прорешивать полностью (может быть, даже не по одному разу). На наработку техники не надо жалеть времени. Лучше сдвинуть любые графики и сроки, но нарастить те мускулы, которые необходимы.

(Правда, может быть, можно "хвост" тренировки техники делать параллельно с продвижением вперёд: читать и решать более сложную теорию, но и регулярно дорешивать задачи предыдущего уровня (уровней).)

[irod]

Munin в сообщении #1317968 писал(а):

Если задачи по наработке техники у вас идут тяжело, то это тем более сигнал, что их надо прорешивать полностью (может быть, даже не по одному разу).

Не то что бы тяжело, просто долго, из-за большого количества задач. Но я понял Вашу мысль.