Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Для цепочки Каннигама с $p_x=97$ максимально возможное число
членов не $95(97-2)$, но $47,$ т.к.

$2^{48}\equiv 1\pmod {97}$ - квадратичный вычет.

[vorvalm]

Оказывается, что до сих пор не найден метод генерации чисел Каннингама (википедия).
А он лежит на поверхности. Из формулы общего члена

$g_n=2^n\cdot g_0+2^{n}-1$

видно, что все зависит от $g_0$, которое должно удовлетворять следующим требованиям

1) Чтобы число Каннингама было не менее 9, число $g_0$ должно быть
составным вида $15n-1,\;(n\in N)$
Например, максимальное известное число Каннингама (17) имеет $g_0=15k-1.$
2) Число $g_0$ должно иметь минимальный нечетный простой делитель $p_x>7$,
если мы хотим получить число вычетов цепочки Каннингама $N(g)\leqslant{p_x}-2$
3) Число $2^n-1$ может оказаться кратным $p_x$ при $n<\varphi (p_x)$,
например, если $2^n-1$ будет квадратичным вычетом или
по другим причинам
4) Среди вычетов цепочек, представляющих максимальное их число
при данном $g_0$, т.е. $p_x-2$, могут оказаться не простые числа,
но взаимно простые с $g_0.$
Например, при $g_0=44,\;p_x=11, N(g)=11-2=9$ будем иметь

$89, 179, 359, 719, 1439, 2879, 5759, 11519, 23839$, но

$5759=13\cdot{443}$

При таких ограничениях весьма непросто найти нужное $g_0$,
поэтому неудивительно, что известные цепочки Каннингама
имеют такие большие начальные числа Жермен.

[Skipper]

Последние доказанные данные какие?
То, что существует бесконечно много "простых-близнецов", отличающихся не более чем на $264$, или $246 $?
Или с тех пор получены другие результаты?

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1305295 писал(а):

Последние доказанные данные какие?
То, что существует бесконечно много "простых-близнецов", отличающихся не более чем на $264$, или $246 $?
Или с тех пор получены другие результаты?

В проблеме близнецов аналогичная ситуация. Пытаются решить ее количественно. Согласитесь 246 и 2 большая разница и теми количественными методами, которые используются сейчас ее не решить.

[vorvalm]

Цепочки близнецов

Ранее было показано (тема"Цепочки простых чисел"), что максимальное число простых чисел,
составляющих арифметические прогрессии с разностью $ kp_r\#$ в общем случае не превышает
$\varphi(p_r)=p_r-1$, k некратно $p_{r+1}$.
Смысл ограничения заключается в том, что члены таких прогрессий являются вычетами ПСВ
(приведенная система вычетов) по модулю $p_r$, т.е. предыдущее цепочке число и следующее
после цепочки число будут кратны $p_r.$
Цепочки близнецов надо рассматривать как суперпозицию двух классов вычетов по модулю $6k$
с разностью между вычетами $2$ и $d=6k-2,$
Поэтому условимся считать разность между близнецами в цепочке с одной стороны как разность,
между вычетами суперпозиции. т.е. $2$ и $d=6k-2$ и с другой стороны как модуль классов $6k$.
Переходя к цепочкам близнецов необходимо учитывать, что в суперпозиции отдельные цепочки
простых чисел каждого класса не могут совпадать, поэтому совершенно очевидно, что длина
цепочек близнецов меньше длины цепочек простых чисел и при самом лучшем раскладе эти цепочки
могут не совпадать на один модуль. В этом случае цепочки близнецов будут состоять из $N\leqslant p_r-2$ пар.
Пример, при $d=10$(модуль 12) $p_r=5$ число пар в цепочке $N=5-2=3$

$(1265,1267)\;\;\;1277,1279-\;\;\;1989,1291-\;\;\;1301,1303\;\;\;(1313,1315)$

Но цепочки с разностью $d=22$ (модуль 24 - 2) число пар только 2.
Здесь мы имеем несовпадение отдельных цепочек простых чисел на два модуля.
Поэтому надо рассматривать каждый модуль цепочек отдельно.
Следует заметить, что цепочка $5,7---17,19---29,31---41,43$ исключение, т.к.
первая пара имеет простое число 5 и в дальнейшем на этом месте будут числа, кратные 5.

С другой стороны цепочки близнецов надо рассматривать как группы (кортежи) вычетов
с числом вычетов в два раза большим, чем у групп (кортежей) простых чисел отдельных
классов по модулю 6к, что накладывает ограничения на проходимость таких групп (кортежей) в ПСВ.
Почему критерием существования групп (кортежей) простых чисел в натуральном ряду
является ПСВ (приведенная система вычетов) по модулю $kp_r\#.$
Потому, что если данная группа не существует в ПСВ, то ее не может быть и в интервале простых
чисел этой ПСВ.
Пример 1: проверим группу из 3-х близнецов с разностью $d=22$ (24 - 2)
Приведенная группа (0, 2, 24, 26, 48, 50) $N=3, n=6$
Проходимость по модулю $p=3,\;m(3)=4,\;K(3)=3+4-6=1$
по модулю $p=5,\;m(5)=1,\;K(5)=5+1-6=0$
Таких групп нет в ПСВ и среди простых чисел.
Пример 2: при разности $5\#=30$ возможное число пар близнецов $N\leqslant 7-2=5$,
но общее число вычетов группы $n=2N=10$
т.е. проходимость такой группы надо проверять до модуля $p=7$.
Приведенная группа (0, 2, 30, 32, 60, 62, 90, 92, 120, 122)
Проходимости 1) по модулю $p=3,\;m(3)=8,\;K(3)=3+8-10=1$
2) по модулю $p=5,\;m(5)=8,\;K(5)=5+8-10=3$
3) по модулю $p=7,\;m(7)=4,\;K(7)=7+4-10=1$
Группа (кортеж) из 5-ти пар близнецов с разностью 30 существует в любой ПСВ и среди простых чисел.
$(-49,-47)\;\;\;\;$-19,-17\;\;\;\;11,13\;\;\;\;41,43\;\;\;\;71,73\;\;\;\;101,103\;\;\;\;(131,133)

[Skipper]

Доказано, что бесконечно количество "близнецов", расстояние между которыми 264 ?

Но это не настоящие близнецы. Настоящие близнецы - это числа, расстояние между которыми равно 2,
например $101, 103$.
Если это не доказано до сих пор из-за сложности, то ещё сложнее наверное, доказать, что бесконечно также,
количество, квадруплетов простых чисел, т.е. "сдвоенных близнецов".
Это четвёрки простых чисел, типа $ p, p+2, p+6, p+8$ Вот пример, квадруплетов,

$(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829)$ ....

А есть ещё и секступлеты простых чисел -- шестёрки простых чисел, лежащие на максимально коротком интервале,
т.е. числа типа, $ p-4, p, p+2, p+6, p+8, p+12$ , например

$(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073),$

поскольку последний случай - самый сильный результат, доказать его наверное будет, труднее всего?

[vorvalm]

Вы правы. Близнецов с разностью d > 2 не существует по определению.
А вот разности между простыми числами можно рассматривать с разных
позиций.
1. Проблема Лежандра ( гипотеза)

$ d = p_{n+1} - p_n <\sqrt p_n$

2. Альтернатива проблеме Гольдбаха.
Любое четное число d может быть представлено разностью простых чисел

$ d = p_s - p_t$

или более сильное утверждение $ d = p_{n+1} - p_n $

3. Число таких представлений (п.2) бесконечно

[Skipper]

https://thereaderwiki.com/en/Prime_k-tuple
https://thereaderwiki.com/en/Prime_quadruplet

Вот что интересное пишут..
It is not known if there are infinitely many prime quadruplets. A proof that there are infinitely many would imply the twin prime conjecture, but it is consistent with current knowledge that there may be infinitely many pairs of twin primes and only finitely many prime quadruplets.

Как переводится - Неизвестно, существует ли бесконечно много простых четверок (квадруплетов типа $101, 103, 107, 109$ или "сдвоенных простых чисел близнецов").
"Доказательство того, что их бесконечно много, предполагает гипотезу о двойных простых числах, но это не согласуется с современными знаниями о том, что может быть бесконечно много пар простых чисел и только конечное число простых четверок " .

Если я правильно понял перевод, то математики склонны верить (по неким косвенным теориям), что простых чисел близнецов , т.е. пар с расстоянием 2, типа $101, 103$ -- бесконечное количество. Но квадруплетов (или сдвоенных простых чисел близнецов, т.е. две пары, типа $ 101, 103, 107, 109$) -- скорее всего только конечное количество?
(если такое будет доказано при моей жизни, то я буду удивлён, как никогда раньше !! )

Если это так, то на каком основании, делают такое предположение?
И ещё интересно насчёт промежуточного варианта - бесконечно ли количество простых чисел-триплетов, т.е. троек типа $(p, p+2, p+6)$, или $(p, p+4, p+6)$ ?
Первая такая тройка по первому варианту - $(5, 7, 11)$ , а по второму - $(7, 11, 13)$ .

-- Сб июн 22, 2019 17:35:04 --

Я думаю, интересно написать программку, и посчитать, сколько их встречается на разных интервалах, чтобы на практических примерах понять, какой может быть закон распределения.. Может и напишу скоро :)

[Dmitriy40]

Вероятно это огрехи перевода или понимания, и смысл в фразу вкладывался что бесконечности близнецов и более сложных конструкций не обязательно синхронны (одновременны). Т.е. что-то может быть бесконечным, в то время как другое конечным. И именно такое возможно разное состояние соответствует (не противоречит) современным знаниям.
Но как на самом деле неизвестно и не доказано.

А программа такая уже написана, по крайней мере до $2^{64}$ она считает легко и быстро: primesieve. Насколько я знаю одна из самых быстрых программ (если не самая).

[Skipper]

Цитата:

А программа такая уже написана

Мда.. программа действительно быстрая. Не факт даже что я смогу написать быстрее. Но не суть. Я ещё до конца не проверил, действительно ли точно эта программа выдаёт все данные.

Цитата:

Т.е. что-то может быть бесконечным, в то время как другое конечным

Вот это и поражает. Если какая то конструкция, скажем (квинтуплеты простых чисел- пятёрки типа двух сдвоенных близнецов + ещё одного простого числа на максимально близком расстоянии, таких как - $(7, 11, 13, 17, 19)$ ) - встречается до сколь угодно больших проверяемых значений - то что может помешать этой конструкции встречаться и дальше до бесконечности? Т.е. бесконечное число раз.

(Тут пока не доказано обратное, я склонен верить что такие квинтуплеты будут встречаться бесконечное количество раз, ибо, если это не так, то должна быть вполне конкретная причина, что бы запрещало им появляться на числовом ряду, больше определенного значения. )

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1401186 писал(а):

Мда.. программа действительно быстрая. Не факт даже что я смогу написать быстрее.

Учитывая сколько там хитростей применено для ускорения (которые лично я реализовать у себя поленился) - наверняка не сможете. Лучше сосредоточьтесь на анализе данных, чем на их получении.

Skipper в сообщении #1400838 писал(а):

чтобы на практических примерах понять, какой может быть закон распределения.

Да ничего там сложного, если для простых закон $1/\ln{N}$, то для двоек (близнецов), троек, четвёрок закон $1/(\ln{N})^{2..4}$ с некоторым коэффициентом у логарифма, примерно $1{,}32,\;5{,}72,\;4{,}15$ соответственно (какие-то незначительные флуктуации есть, явной сходимости не просматривается, но числа довольно стабильны в среднем, никуда не уходят).

(Исходные данные в Excel)

В колонке C формула "левое B разделить на 10^10 (такой интервал взял) и домножить на ln(N) (начала диапазона) в соответствующей степени".

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1401217 писал(а):

Да ничего там сложного, если для простых закон $1/\ln{N}$, то для двоек (близнецов), троек, четвёрок закон $1/(\ln{N})^{2..4}$ с некоторым коэффициентом у логарифма, примерно $1{,}32,\;5{,}72,\;4{,}15$ ). соответственно (какие-то незначительные флуктуации есть, явной сходимости не просматривается, но числа довольно стабильны в среднем, никуда не уходят

(Исходные данные в Excel)

В колонке C формула "левое B разделить на 10^10 (такой интервал взял) и домножить на ln(N) (начала диапазона) в соответствующей степени".

Надо добавить, что для расчета использовалась первая гипотеза Харди-Литтлвуда. Это гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел и в частности простых близнецов http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html
Из этой гипотезы следует, что число таких кортежей бесконечно (в частности простых близнецов), исключая тривиальные случаи, например кортеж с интервалами между простыми $2,2,4$ встречается только один раз - это простые числа $3,5,7,11$.

[Skipper]

vicvolf в сообщении #1401466 писал(а):

использовалась первая гипотеза Харди-Литтлвуда. Это гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел

И как пишут, принято считать что эта гипотеза (первая Харди-Литтлвуда) - скорее верна, чем не верна.
Но на основании чего хотя бы, делается такое предположение?
Рассмотрим допустим, простые числа-квадруплеты, т.е. кортежи из 4-х, и это "сдвоенные простые близнецы",
типа $(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829)$, т.е.
Четвёрки простых чисел вида $p, p+2, p+6, p+8 $,

и т.к. частота простых чисел по мере удаления от нуля уменьшается, то мне не очевидно, почему следует
считать что эти квадруплеты всё равно будут встречаться бесконечное количество раз..
С одной стороны и ряд чисел бесконечной длины, но с другой стороны, и вероятности появления
этих кортежей - уменьшается и стремится к нулю..

Ещё интересно, имеет ли связь эта "первая гипотеза Харди-Литтлвуда" с какими то другими гипотезами?
Может быть, её даже труднее доказать чем саму гипотезу Римана?..

[vorvalm]

Среди простых чисел есть кортежи из 4-х простых с разностями (4, 2, 4).
По статистике число близнецов и число пар простых с разностью 4 на определенном интервале
довольно точно равны, а приведенных системах вычетов по модулю р# абсолютно точно равны.
Но кортежей (4, 2, 4) в два раза больше, чем кортежей (2, 4, 2).

[Skipper]

А существуют ли кортежи, минимально-возможной длины для $n$ простых чисел (такие как например на промежутке $8$ для кортежа 4-х, на промежутке $20$ для кортежа 7-ми и т.п.) , но первый из них случается вообще не на малых числах, а на каких нибудь больших типа - больше миллиона?

К примеру, для кортежа из 9-ти простых чисел, минимальный отрезок, равен $30$, и вот такое случается -
$ (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) $ .

Действительно , $9$ простых чисел идут на отрезке $30$ -- $(88819 - 88789)$, а мЕньшего уже быть не может для кортежа из 9-ти! (мы говорим про кортежи, которые могут повторяться, а не про тривиальные случаи с самыми малыми простыми типа 2,3 - расстояние между простыми 1, но такое только один раз),

Но.. на таком же отрезке есть $(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) $ -- тоже получите 9 простых чисел,
и отрезок тот же , $30$.

Если бы первый какой нибудь кортеж из $n$ простых, на минимиально возможном отрезке, возникал бы не на малых числах, а на неких больших, типа от миллиона и больше, я от удивления упал бы на месте..