ортогональность в гильбертовом пространстве

[Spook]

ewert писал(а):

Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность(если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.

да, что-то я не подумал про это Кстати, обычно норму считают неотрицательной, значит она ограниченна снизу.

ewert писал(а):

Во-вторых, я надеюсь, что в последнее утверждение слово "не" попало по рассеянности.

Наверное Вы во мне разочаруетесь (жаль...), но моё утверждение осмысленно. Я сделал такой вывод в частности из:

Spook писал(а):

Brukvalub, оно не замкнуто, так как в пределе линейных комбинаций мы можем получить функцию, не являющуюся тригонометрическим полиномом?

Brukvalub писал(а):

Да, см. теорию рядов Фурье.

Касательно включения:

ewert писал(а):

Правильно; только откуда "отсюда"? -- не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.

Еще такой вопрос: сколько может быть предельных точек? А именно, как может измениться мощность замыкания?

[ewert]

Spook писал(а):

, обычно норму считают неотрицательной, значит она ограниченна снизу.

Именно по этой причине под "отделённостью от нуля" принято понимать, что все нормы ограничены снизу одним и тем же положительным числом.

-----------------------------------------------
(кстати, давайте будем точными: норма по определению не просто неотрицательна, но -- строго положительна, за исключением тривиального случая. Впрочем, к обсуждаемому вопросу это не относится)

[Spook]

ewert, а остальное правильно? Если да, то хочу начать разговор про замыкание линейной оболочки .

[ewert]

а что именно "остальное"? я уже забыл, тут много о чём речь

[Spook]

ewert писал(а):

а что именно "остальное"? я уже забыл, тут много о чём речь

Хотелось бы разобраться вот с этим:
1.

ewert писал(а):

Spook писал(а):

любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству).

Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов. Во-вторых, я надеюсь, что в последнее утверждение слово "не" попало по рассеянности.

Я так и не понял, почему там не должно быть "не"?

2.

Spook писал(а):

ewert писал(а):

...не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.

Это неправильно?

3.Вопрос про замыкание. На сколько может измениться мощность множества, после применения к нему операции замыкания?

4.Все еще интересует вопрос, почему второе ортогональное дополнение является замыканием линейной оболочки исходного множества. Хочется узнать просто ход доказательства или небольшую подсказочку.

[ewert]

1.

Spook писал(а):

ewert писал(а):

Spook писал(а):

любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству).

Я так и не понял, почему там не должно быть "не"?

Потому что тут вообще невозможно понять логику. А вот если слово "не" убрать, то рассуждение станет верным, хотя и не аккуратным. Любая счётная линейная комбинация (если вообще имеет смысл, т.е. если соотв. ряд сходится) принадлежит замыканию линейной оболочки, но не самой линейной оболочке. Именно поэтому последняя и не замкнута.

2. Допустим.

3. Не знаю. Я вообще с мощностями знаком поверхностно.

4.

Цитата:

Все еще интересует вопрос, почему второе ортогональное дополнение является замыканием линейной оболочки исходного множества. Хочется узнать просто ход доказательства или небольшую подсказочку.

Тут вроде по кусочкам док-во уже было. Ну попробуем ещё раз. Я буду обозначать линейную оболочку $M$ как $L_M$.

1). Вложение $\overline{L_M}\subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ в точности означает, что $\overline{L_M}$ ортогонально $M^{\perp}$ (т.е. что каждый элемент первого ортогонален любому элементу второго). Это вполне элементарно:
а) само $M$ ортогонально $M^{\perp}$ просто по определению $M^{\perp}$;
б) тогда $L_M \perp M^{\perp}$ в силу линейности скалярного произведения;
в) тогда $\overline{L_M} \perp M^{\perp}$ в силу непрерывности скалярного произведения.

2). Замыкание линейной оболочки -- всегда подпространство, что тоже элементарно: а) линейная оболочка -- это линейное множество; б) замыкание любого множества замкнуто и в) замыкание не нарушает линейности (в силу непрерывности нормы).

3) Нетривиальная часть доказательства -- это что $\overline{L_M}$ именно совпадает с $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$. Впрочем, на уровне формальных выкладок тут тоже всё просто:
а) из $\overline{L_M}\subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ следует $\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}\supset\left(\left(M^{\perp}\right)^{\perp}\right)^{\perp}=M^{\perp}$;
б) с другой стороны, из $M\subset\overline{L_M}$ следует $M^{\perp}\supset\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}$;
в) следовательно, $M^{\perp}=\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}$, откуда $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}= \left(\left(\overline{L_M})^{\perp}\right)^{\perp}=\overline{L_M}$.
Нетривиальность в том, что тут неявно используется заранее совсем не очевидная теорема о проекции. Её можно переформулировать так: если $L$ -- подпространство, то $H=L\oplus L^{\perp}$. Ввиду симметрии утверждения относительно $L$ и $L^{\perp}$ отсюда следует, что для любых подпространств $L= \left(L^{\perp}\right)^{\perp}$. Тогда все предыдущие рассуждения корректны.
(Да, ещё тут использован тот факт, что $M^{\perp}$ -- это всегда подпространство. Он сам по себе очень важен, но и очень прост: моментально следует из линейности и непрерывности скалярного произведения.)

[Someone]

Spook писал(а):

3.Вопрос про замыкание. На сколько может измениться мощность множества, после применения к нему операции замыкания?

Это зависит от топологических свойств того пространства, в котором берётся замыкание.

В произвольном топологическом пространстве мощность замыкания множества может оказаться любой (естественно, не меньшей мощности самого множества).

Если $X$ - хаусдорфово топологическое пространство, то для любого множества $A\subseteq X$ будет $|[A]_X|\leqslant 2^{2^{|A|}}$. "Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности. Такая оценка следует из того, что если $x\in[A]_X$, то пересечение всевозможных окрестностей точки $x$ с множеством $A$ даёт некоторое семейство непустых подмножеств множества $A$, однозначно определяющее точку $x$ (благодаря хаусдорфовости $X$), поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$. В множестве $A$ имеется $2^{|A|}$ подмножеств и, следовательно, $2^{2^{|A|}}$ семейств подмножеств.

Однако Вы сейчас обсуждаете линейные пространства со скалярным произведением, поэтому на них существует норма $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$ и, следовательно, метрика $\rho(x,y)=\|x-y\|$. Если пространство $X$ метрическое, то для каждой точки $x\in[A]_X$ существует последовательность точек множества $A$, сходящаяся к точке $x$ (и ни к какой другой - метрические пространства хаусдорфовы). Поэтому количество точек $[A]_X$ не превосходит количества последовательностей точек множества $A$, то есть, $|[A]_X|\leqslant|A|^{\aleph_0}$, где $\aleph_0$ - это мощность множества натуральных чисел $\mathbb N$.

[Spook]

ewert писал(а):

Любая счётная линейная комбинация (если вообще имеет смысл, т.е. если соотв. ряд сходится) принадлежит замыканию линейной оболочки, но не самой линейной оболочке. Именно поэтому последняя и не замкнута.

Ну прмерно это и имелось ввиду, наверное мы просто говорили о разных пространствах.

ewert,Someone, спасибо вам за обьяснения, но у меня появилось ещё несколько вопросов.

ewert писал(а):

Допустим.

На всякий случай уточню, это относится к:

Spook писал(а):

По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.

или к тому, что это неправильно?

Someone писал(а):

"Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности.

Означает ли это, что "хаусдорфость"=="дискретность"?(может и глупый вопрос, но таких пространств мы не рассматривали)

Someone писал(а):

поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$.

Вот здесь непонятно, у нас любое пересечение окрестности точки $x$ с множеством $A$ дает подмножество $A$, то есть пересечений не больше кол-ва подмножеств:$2^{|A|}$. Разве не так?

ewert, можно ли тот факт, что из $A\subset{M}$ следует $M^{\bot}\subset{A^{\bot}}$ доказать так:
$X=A\oplus A^{\bot},X=M\oplus M^{\bot}\Rightarrow M^{\bot}\oplus A\subset X\Rightarrow M^{\bot}\subset A^{\bot}$?
И еще вопрос. Пусть $C=A\oplus B$. Означает ли это, что $c\in C$ единственным образом представляется в виде $c=a+b$, где $a\in A,b\in B$?

[ewert]

Spook писал(а):

ewert, можно ли тот факт, что из $A\subset{M}$ следует $M^{\bot}\subset{A^{\bot}}$ доказать так:
$X=A\oplus A^{\bot},X=M\oplus M^{\bot}\Rightarrow M^{\bot}\oplus A\subset X\Rightarrow M^{\bot}\subset A^{\bot}$?

Может быть, и можно -- но не нужно. Всё гораздо тривиальнее. Чем шире исходное множество, тем больше требований предъявляется к его ортогональному дополнению и, следовательно, тем уже это дополнение.

Spook писал(а):

И еще вопрос. Пусть $C=A\oplus B$. Означает ли это, что $c\in C$ единственным образом представляется в виде $c=a+b$, где $a\in A,b\in B$?

Конечно. Он представляется таким образом просто по определению суммы, а единственность следует из ортогональности слагающих подпространств.

[Someone]

Spook писал(а):

Someone писал(а):

"Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности.

Означает ли это, что "хаусдорфость"=="дискретность"?(может и глупый вопрос, но таких пространств мы не рассматривали)

Дискретное пространство - это такое пространство, в котором каждое одноточечное подмножество является открытым. (Когда-то очень давно было другое определение, не эквивалентное этому: пространство называлось дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств было открытым множеством.)

Хаусдорфово пространство не обязано быть дискретным. Определения у Вас не было, скорее всего, потому, что Вы рассматривали исключительно метрические пространства (векторные пространства с нормой или скалярным произведением - метрические), а они все хаусдорфовы, хотя и не дискретны.

Рассмотрим, например, обычную плоскость. Окрестностью точки на плоскости называется круг любого радиуса с центром в этой точке (обычно граничную окружность исключают, чтобы окрестность была открытым множеством, хотя это и не обязательно). Возьмём любые две различные точки на плоскости. Они имеют непересекающиеся окрестности (какие?), поэтому плоскость является хаусдорфовым пространством, хотя и не дискреным.

Spook писал(а):

Someone писал(а):

поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$.

Вот здесь непонятно, у нас любое пересечение окрестности точки $x$ с множеством $A$ дает подмножество $A$, то есть пересечений не больше кол-ва подмножеств:$2^{|A|}$. Разве не так?

Видите ли, это одно подмножество, вообще говоря, не определяет точку $x\in[A]_X$. Поэтому мы не можем сопоставить число точек и число подмножеств. Точка определяется именно семейством подмножеств - пересечений всевозможных её окрестностей с множеством $A$.

[Spook]

ewert писал(а):

Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.

Касательно наличия предельных элементов: последовательность ${e_k}$ (единичка на $k$-м месте) вроде как имеет предел, и он равен $\theta$.

ewert писал(а):

Spook писал(а):

Отсюда вывод, что $span\overline{M}\subseteq\overline{spanM}$. Надеюсь, сейчас правильно.

Правильно; только откуда "отсюда"? -- не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

ну разве мы не можем неортогональный элемент представить в виде линейной комбинации из ортогональных?

Someone писал(а):

Определения у Вас не было, скорее всего, потому, что Вы рассматривали исключительно метрические пространства (векторные пространства с нормой или скалярным произведением - метрические)

Да, у нас были только метрические пространства, затем банаховы, гильбертовы, евклидовы и эрмитовы...

Someone писал(а):

Возьмём любые две различные точки на плоскости. Они имеют непересекающиеся окрестности (какие?).

Ну, видимо, радиус окрестности (открытой) равен половине расстояния между точками.

Someone писал(а):

Видите ли, это одно подмножество, вообще говоря, не определяет точку $x\in[A]_X$. Поэтому мы не можем сопоставить число точек и число подмножеств. Точка определяется именно семейством подмножеств - пересечений всевозможных её окрестностей с множеством $A$.

Cпасибо, теперь стало понятно.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert писал(а):

Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.

Касательно наличия предельных элементов: последовательность ${e_k}$ (единичка на $k$-м месте) вроде как имеет предел, и он равен $\theta$.

не знаю, кто такая тета, но никакого предела та последовательность с единичками определённо не имеет. (В стандартном смысле -- по норме -- не имеет; в слабом-то смысле она стремится к нулю, но кому это интересно).

[Spook]

ewert писал(а):

никакого предела та последовательность с единичками определённо не имеет. (В стандартном смысле -- по норме -- не имеет; в слабом-то смысле она стремится к нулю, но кому это интересно).

По норме - да, она не сходится. Я просто не знал, что в стандартном смысле - это по норме.

И вот, наверное, последний вопрос.

ewert писал(а):

...замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу)

Как я понял здесь существенно требовние ограниченности снизу положительным числом. Не мог бы кто-нибудь обьяснить, почему это так?

[ewert]

Spook писал(а):

И вот, наверное, последний вопрос.

ewert писал(а):

...замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу)

Как я понял здесь существенно требовние ограниченности снизу положительным числом. Не мог бы кто-нибудь обьяснить, почему это так?

Потому что если это не так, то для такой последовательности нулевой элемент будет предельной точкой (соотв., мн-во эл-тов последовательности будет незамкнутым). А вот других предельных точек быть не может в любом случае.

[Spook]

ewert так тогда заместо нуля, предельным элементом будет просто то положительное число.