2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение17.06.2008, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Линейные оболочки совпадают со всевозможными линейными подпространствами Гильбертова пространства, поэтому Вам достаточно ответить на вопрос: "Всегда ли линейное подпространство Гильбертова пространства замкнуто?"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 20:27 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert подможеств этого линейного пространства или вообще?

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

а если подмножество является подпространством?

Добавлено спустя 1 минуту:

Brukvalub а это разве не по определению?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
Brukvalub а это разве не по определению?
Что "по определению"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 20:42 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Подпространство замкнуто...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
Подпространство замкнуто...
Я привык к такой терминологии: подмножества Гильбертова пространства, содержащие в себе все конечные линейные комбинации своих элементов называются его линейными подпространствами, если топологическое замыкание линейного подпространства совпадает с ним самим, то такое подпр-во наз. замкнутым.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:01 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Brukvalub а что значит топологическое замыкание? Если это присоединение предельных точек (пополнение) то так и получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
Brukvalub а что значит топологическое замыкание?

Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:11 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Brukvalub извиняюсь за возможно глупый вопрос, но это пересечение не равно просто замыканию подпространства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:14 


28/05/08
284
Трантор
Brukvalub писал(а):
Я привык к такой терминологии: подмножества Гильбертова пространства, содержащие в себе все конечные линейные комбинации своих элементов называются его линейными подпространствами, если топологическое замыкание линейного подпространства совпадает с ним самим, то такое подпр-во наз. замкнутым.


Это я Spook'у голову заморочил - сказал, что, говоря о подпространствах, имеют в виду замкнутые подпространства. Это так в книгах: Колмогорова-Фомина, Садовничего, Березанского-Уса-Шефтеля, (кажется) Кириллова-Гвишиани (для незамкнутых подпространств употребляется термин "линейное многообразие"). А вот у Рудина и Эдвардса, например, не так :( . Прошу прощения, Spook, я Вам о привычках моего университета говорил. В общем, всегда лучше добавлять "подпространство, не обязательно замкнутое", или "замкнутое подпространство", тогда точно поймут.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
дело вкуса, конечно, но в бесконечномерных случаях термин "подпространство" принято употреблять только для замкнутых множеств. В противном случае говорят просто "линейное".

Впрочем, я лично на всякий случай тоже предпочитаю дублировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 09:56 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Narn да я сам виноват, что так невнимателен. У нас термин вводился только для подпространства банахова пространства (более общие мы мало рассматривали) и говорили что это линейное замкнутое подмножество. Теперь буду занть, что вообще это так не для всех пространств.

Brukvalub тогда интересно узнать ответ на Ваш вопрос
Brukvalub писал(а):
"Всегда ли линейное подпространство Гильбертова пространства замкнуто?"

Я думаю, в силу полноты гильбертова пространства, это так. Поправте пожалуйста, если нет. И еще, как я понял замкнутость актуальна только для подпространств?

ewert писал(а):
1). Линейная оболочка изначально линейного множества совпадает с ним самим. С вытекающими отсюда последствиями относительно замкнутости.

2). Линейные оболочки других подмножеств не обязаны быть замкнутыми. В частности, они не замкнуты для счётного набора независимых элементов. (Специально для Brukvalub'а: ладно, как правило)

У Вас приставка "под" в слове "подмножество" означает только включение? То есть замкнутость не предполагается?

Теперь можно вернуться к изначальной проблеме :)
Narn я понял, что замкнутое подпространство и его дополнение не составляют всего пространства, то есть мое доказательство провалилось. Вот, что пока надумал $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$. В силу того, что третьего, ортогонального двум предудущи множествам не существует(по теореме о проекции их два) делаем вывод, что $x,z\in M$. Дальше надо что-то в чего-то включить,но пока не знаю как.
(кстати, про ЗД, я чего-то сразу и не понял :roll: )
MGM Ваш пример я осознал наконец-таки, но мой тоже верен:
Spook писал(а):
если у нас множество не замкнуто, но всюду плотно в $M$, то оно точно должно этому удовлетворять, получается как $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$


Все еще никак не доказал утверждение про линейную оболочку.
ewert писал(а):
не могу пока, т.е. не могу сосредоточиться. У меня ведь завтра тоже экзамен. И уже давно пора печатать билеты.

ewert ну теперь поясните, пожалуйста, ну или подскажите :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 11:01 


28/05/08
284
Трантор
Spook писал(а):
Теперь можно вернуться к изначальной проблеме :)
Вот, что пока надумал $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$.
<...>

Дальше надо что-то в чего-то включить,но пока не знаю как.


Не включить, а исключить. Зачеркните то, что относится к $z$ и посмотрите на оставшееся. Вообще, зачем брать $z\in (M^{\bot})^{\bot}$, если Вы доказываете, что $M$ - подмножество $(M^{\bot})^{\bot}$. Ну, взяли Вы произвольный $z$ - а дальше что? Он то ли в $M$, то ли не в $M$. Примеры ведь показывают, что включение может быть строгим. Нужно брать $x \in M$ и доказывать, что $x \in (M^{\bot})^{\bot}$ по определению этого множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
Я думаю, в силу полноты гильбертова пространства, это так. Поправте пожалуйста, если нет.
В той терминологии, которую сообщил Вам я, понятия линейного подпространства и замкнутного подпространства различаются. Как Вы думаете, это сделано по недомыслию, или намеренно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 15:17 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Narn из того что $(x,y)=0$ следует что $x\in M$ либо $x\in M^{\bot}^{\bot}$. Дальше пользоваться теоремой о проекции? Что-то никак не пойму, но чувствую что я где-то рядом.

Brukvalub я думаю, что это означает, что в гильбертовом пространстве существуют незамунутые подпространства, поэтому прошу снять мой предыдущий к Вам вопрос. Приведите, пожалуйста, пример такого подпространства, если можно, сам просто не могу это представить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 16:52 


28/05/08
284
Трантор
Spook писал(а):
Narn из того что $(x,y)=0$ следует что $x\in M$ либо $x\in M^{\bot}^{\bot}$. Дальше пользоваться теоремой о проекции? Что-то никак не пойму, но чувствую что я где-то рядом.


Если Вы о доказательстве включения, то Вы не где-то рядом - Вы уже там. Ну посмотрите, что написано: $x$ из $M$ ортогонален всем элементам из $M^{\bot}$.

А теоремой о проекции нужно воспользоваться, чтобы доказать, что $(M^{\bot})^{\bot}$ есть замыкание линейной оболочки $M$. Нужно будет еще доказать, что ортогональное дополнение к $M$ и к замыканию линейной оболочки $M$ совпадают.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group