ортогональность в гильбертовом пространстве

[Brukvalub]

Narn писал(а):

А есть еще понятие полной и замкнутой системы векторов. Я всегда их путаю, оправдываясь тем, что эти свойства равносильны.

Эти свойства не всегда равносильны, но в Гильбертовом пространстве они действительно равносильны.

[ewert]

Narn писал(а):

А есть еще понятие полной и замкнутой системы векторов. Я всегда их путаю, оправдываясь тем, что эти свойства равносильны. Кажется, система замкнута, если замыкание ее линейной оболочки - все пространство, и полна, если нет вектора (ненулевого), ортогонального всем векторам системы.

Тут вообще терминология и система определений несколько плавает. Если имеется в виду ортогональная система элементов, то сразу несколько определений полноты эквивалентны:

1) если любой элемент раскладывается в ряд Фурье;
2) если для любого элемента справедливо равенство Парсеваля;
3) если из равенства нулю скалярных произведений некоторого элемента на все элементы последовательности следует равенство нулю самого этого элемента;
4) если замыкание линейной оболочки есть всё пространство;

и там ещё чего-то, не помню.

[Spook]

В таком случае пополнение пространства совпадает с замыкание? Неполное подмножество не замкнуто, а незамкнутое - неполно?

[Narn]

Brukvalub писал(а):

Narn писал(а):

А есть еще понятие полной и замкнутой системы векторов. Я всегда их путаю, оправдываясь тем, что эти свойства равносильны.

Эти свойства не всегда равносильны, но в Гильбертовом пространстве они действительно равносильны.

А где не равносильны? В банаховом рефлексивном пространстве (там обычно говорят о полной и тотальной системах) вроде равносильны.

[Spook]

Тогда я непонимаю, у замкнутого подмножества и линейная оболочка замкнута, зачем тогда нужно уточнять, что второе ортогональное дополнение - это именно замыкание линейной оболочки?

[Narn]

Spook писал(а):

Тогда я непонимаю, у замкнутого подмножества и линейная оболочка замкнута

Нет. $H=L_2[0, 2 \pi]$. Возьмите $\{1, \cos nx, \sin nx| n \in \mathbb{N} \}$. Это замкнутое подмножество, а лин. оболочка - триг. полиномы, которые не образуют замкнутого подпространства.

[Spook]

Хм... это правильно... Тогда я может путаю линейную оболочку с чем-нибудь другим? Я думал, что это совокупность линейных комбинаций векторов нашего пространства, но гильбертово пространство линейно, а значит совпадает со своей линейной оболочкой. Кроме того оно еще и полно по норме, порожденной скалярным произведением, а значит совпадает со своим замыканием. Но вот тут что-то несостыковывается

[Narn]

Spook писал(а):

Хм... это правильно... Тогда я может путаю линейную оболочку с чем-нибудь другим? Я думал, что это совокупность линейных комбинаций векторов нашего пространства, но гильбертово пространство линейно, а значит совпадает со своей линейной оболочкой. Кроме того оно еще и полно по норме, порожденной скалярным произведением, а значит совпадает со своим замыканием. Но вот тут что-то несостыковывается

Все правильно (хотя что означает "гильбертово пространство линейно, а значит совпадает со своей линейной оболочкой"?). Что не состыковывается?

[Brukvalub]

Narn писал(а):

Brukvalub писал(а):
Narn писал(а):
А есть еще понятие полной и замкнутой системы векторов. Я всегда их путаю, оправдываясь тем, что эти свойства равносильны.
Эти свойства не всегда равносильны, но в Гильбертовом пространстве они действительно равносильны.


А где не равносильны? В банаховом рефлексивном пространстве (там обычно говорят о полной и тотальной системах) вроде равносильны.

Равносильности нет в случае произвольного бесконечномерного евклидова пространства. В этом случае из полноты, скажем, ортонормированной системы ее замкнутость не следует, а наоборот - верно.

[Narn]

Brukvalub, спасибо. Даже и не подумал про неполные пространства, в голове - только гильбертовы и банаховы

[ewert]

Spook писал(а):

Хм... это правильно... Тогда я может путаю линейную оболочку с чем-нибудь другим? Я думал, что это совокупность линейных комбинаций векторов нашего пространства, но гильбертово пространство линейно, а значит совпадает со своей линейной оболочкой.

Линейная оболочка -- это совокупность конечных линейных комбинаций. Пространство, конечно, совпадает со своей линейной оболочкой. И даже вообще любое линейное подмножество -- совпадает. А вот будет ли то подмножество замкнуто или нет -- вопрос совсем другой.

[Spook]

Но гильбертово же пространство полно по определению, разве отсюда не следует замкнутость линейной оболочки? Я опять что-то путаю?

[ewert]

Spook писал(а):

Но гильбертово же пространство полно по определению, разве отсюда не следует замкнутость линейной оболочки?

Конечно, следует. Но -- линейной оболочки самого этого пр-ва. Речь же о линейных оболочках произвольных подмножеств.

[Spook]

То есть Вы утверждаете, что линейная оболочка подмножества полного гильбертова пространства может быть незамкнута, в то время как для всего пространства она замнута. Я правильно понял?

[ewert]

Не знаю, правильно или нет. Имелись в виду два простых факта.

1). Линейная оболочка изначально линейного множества совпадает с ним самим. С вытекающими отсюда последствиями относительно замкнутости.

2). Линейные оболочки других подмножеств не обязаны быть замкнутыми. В частности, они не замкнуты для счётного набора независимых элементов. (Специально для Brukvalub'а: ладно, как правило).