ортогональность в гильбертовом пространстве

[Spook]

Narn, меня смущает то, что я мог взять $x\in M^{\bot}^{\bot}$ и сказать, что он ортогонален всем элементам из $M^{\bot}$. Про линейную оболочку пока еще подумаю.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Brukvalub я думаю, что это означает, что в гильбертовом пространстве существуют незамунутые подпространства, поэтому прошу снять мой предыдущий к Вам вопрос. Приведите, пожалуйста, пример такого подпространства, если можно, сам просто не могу это представить.

Рассмотрите в

\[L_2 [ - \pi \;;\;\pi ]\]

подпростанство триг. полиномов.

[Spook]

Brukvalub, оно не замкнуто, так как в пределе линейных комбинаций мы можем получить функцию, не являющуюся тригонометрическим полиномом?

[Brukvalub]

Да, см. теорию рядов Фурье.

[Spook]

Narn до меня дошло: если $x\in M,y\in M^{\bot}$ то $(x,y)=0$ отсюда следует $x\in M^{\bot}^{\bot}$ иначе бы $(y,x)\neq 0$. В обратную сторону рассуждать так нельзя в силу того, что $M^{\bot}^{\bot}$ это замкнутое подпространство, которым $M$ быть не обязано.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert ну теперь поясните, пожалуйста, ну или подскажите

Потерпите, у меня завал, каждый день -- то экзамен, то ещё какое занятие. Впрочем, Вам ведь вроде вполне квалифицированно подсказывают.

[Narn]

Spook писал(а):

Narn до меня дошло: если $x\in M,y\in M^{\bot}$ то $(x,y)=0$ отсюда следует $x\in M^{\bot}^{\bot}$ иначе бы $(y,x)\neq 0$. В обратную сторону рассуждать так нельзя в силу того, что $M^{\bot}^{\bot}$ это замкнутое подпространство, которым $M$ быть не обязано.

Ура! Включение доказано. Теперь доказывайте, что $M^{\bot}^{\bot}$ - замыкание линейной оболочки $M$. Выше уже немного про это написано.

Кстати, совпадают ли замыкание лин. оболочки и лин. оболочка замыкания? Если нет, то является ли одно из этих множеств подмножеством другого? (мало ли, вдруг Вас какой-нибудь педант спросит я бы спросил )

[Spook]

Мне нравятся такие вопросы, но и боюсь их тоже Моё мнение: совпадают всегда.
А к доказательству про замыкание линейной оболочки обязательно приступлю, только послезавтра, щас небольшие трудности с сессией.

[Narn]

Spook писал(а):

Моё мнение: совпадают всегда.

Alas...

[Spook]

Narn, рассмотрим линейное пространство. Если оно замкнуто, то и линейная оболочка замкнута и совпадает со своим замыканием - в итоге получаем исходное пространство. Линейная оболочка замакания опять же совпадает с исходным простарнством. Пусть теперь протсранство не замкнуто. Линейная оболочка с ним совпадает и тоже не замкнута, ее замыкание дает замыкание исходного пространства, что равно линейной оболочка замыкания.
Это верно? Я пользовался тем, что линейная оболочка линейного пространства совпадает с ним.

[Narn]

Я ведь о произвольном множестве спрашивал.

[ewert]

Spook писал(а):

Моё мнение: совпадают всегда.

А ведь не далее как позавчера поступило сообщение:

Narn писал(а):

Нет. $H=L_2[0, 2 \pi]$. Возьмите $\{1, \cos nx, \sin nx| n \in \mathbb{N} \}$. Это замкнутое подмножество, а...

Собственно, тригонометрия тут не при чём, можно брать любую ортогональную последовательность.

[Narn]

Вот-вот. А Brukvalub еще раз напомнил, но в тот раз я уж не стал писать

[Spook]

Виноват . Совпадают не всегда. Замыкание линейной оболочки всегда замкнутое множество, а линейная оболочка замыкаяния - нет (пример: любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству). Отсюда вывод, что $span\overline{M}\subseteq\overline{spanM}$. Надеюсь, сейчас правильно.
Теперь стало интересно, а верно ли, что $\overline{span\overline{M}}=\overline{span{M}}$? Если нет, то является ли одно из этих множеств подмножеством другого? Мало ли, вдруг меня какой-нибудь педант спросит(Narn бы спросил), а мои соображения замкнутости тут не помогают.

[ewert]

Spook писал(а):

любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству).

Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов. Во-вторых, я надеюсь, что в последнее утверждение слово "не" попало по рассеянности.

Spook писал(а):

Отсюда вывод, что $span\overline{M}\subseteq\overline{spanM}$. Надеюсь, сейчас правильно.

Правильно; только откуда "отсюда"? -- не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

Spook писал(а):

а верно ли, что $\overline{span\overline{M}}=\overline{span{M}}$?

верно, т.к. $\overline{{\rm span}\,\overline{M}}\subseteq\overline{{\rm span}\,M}$ следует из предыдущего, а обратное вложение $\overline{{\rm span}\,\overline{M}}\supseteq\overline{{\rm span}\,M}$ тривиально.