Падающая пружина, если кому интересно...

[amon]

wrest в сообщении #1300105 писал(а):

Насчет струны не понял.

Продольные колебания длинной пружины и продольные колебания струны в линейном приближении описываются волновым уравнением. Это уравнение можно получить так: возьмем цепочку из шариков и пружинок, каждый шарик и пружинку разрежем пополам и вставим половинку шарика между половинками пружинок. В пределе должно получиться волновое уравнение, в котором можно проследить связь между скоростью "звука" и исходными $m$ и $K$ (общая длина цепочки при такой процедуре не меняется). Тогда можно сообразить, во что перейдет $T\gg\sqrt{l/(2g)}$ при такой процедуре.

[wrest]

amon
Вот у меня есть пружина массой $m$ (165 грамм, ну не важно), под собственным весом она растягивается с 0,1 метра до 2,1 метра
жесткость $k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
период колебаний $T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{2m\Delta l/mg}=2\pi\sqrt{2\Delta l/g}$
"Время падения" $t=\sqrt{\Delta l/2g}$, и теперь делим $\dfrac{T}{t}=4\pi$
Может где лишняя двойка затесалась, но погоды она не делает.
Куда-то вдруг пропала жесткость, от неё ничего не зависит

Где-то я ошибся?

Выходит так, что любая пружина у которой витки слипаются при соприкосновении и потом не разлипаются, будет падать так, как на ролике в стартовом посте. Независимо от жесткости. Слипание витков можно обеспечить "преднапряжением", а можно просто клеем или какими-нибудь защелками. И всё.

[amon]

wrest в сообщении #1300126 писал(а):

$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$

Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному. Лучше разберитесь тогда с массивными шариками, соединенными невесомыми пружинками. Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$ где $K$ --жесткость одной пружинки. При предельном переходе к "струне" (длинной тяжелой пружине) меняется как $m,$ так и $K.$

[wrest]

amon в сообщении #1300131 писал(а):

Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному.

За это отвечает двойка в знаменателе. Но даже если там не двойка, а другая константа, то принципиально это ничего же не меняет.

И все-таки хотелось бы исходить из имеющегося, так сказать, "в натуре": масса пружины 165 грамм, длина в сложенном состоянии 10 сантиметров, длина растянутой под собственным весом пружины 210 сантиметров.

-- 28.03.2018, 00:44 --

amon в сообщении #1300131 писал(а):

Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$

Это даже лучше, ибо не по делу затесавшееся в формулу число $\pi$ пропадает.

[amon]

wrest в сообщении #1300132 писал(а):

За это отвечает двойка в знаменателе.

Для длинной тяжелой пружины, вообще говоря, $F\ne K\Delta x.$ Последняя формула -- упрощение для случая, когда можно пренебречь волновыми процессами в пружине и считать, что ее массой можно пренебречь, а взаимодействие от одного конца до другого пробегает мгновенно. Реальная пружина описывается в первом приближении волновым уравнением, вывод которого на модели с тяжелыми шариками и идеальными пружинами я и пытаюсь из Вас извлечь (полезное упражнение для головного мозга, когда это действие перейдет в спинной, считайте что Вы начали слегка понимать физику ;)

[wrest]

amon в сообщении #1300133 писал(а):

Для длинной тяжелой пружины, вообще говоря, $F\ne K\Delta x.$

Конечно нет, вы правы. Нужен еще коэффициент. Двойка.
Смотрите: пружина под собственным весом растянулась на 2 метра. Масса её 165 грамм. Допустим пружина невесомая, какую массу надо подвесить к ней чтобы она растянулась на 2 метра? Я полагаю, надо подвесить два раза по 165 грамм, то есть 330 грамм. Или наоборот, половину от 165. Тут я путаюсь.
Ну мы конечно полагаем пружину всюду "гуковской" на растяжение, как только растяжение началось. Хотя и тут есть вопрос: растяжение нашей реальной пружины из сжатого состояния начнется не от нулевой силы, а от какой-то пороговой (но очень небольшой, по ощущениям).

-- 28.03.2018, 01:14 --

amon в сообщении #1300133 писал(а):

Реальная пружина описывается в первом приближении волновым уравнением, вывод которого на модели с тяжелыми шариками и идеальными пружинами я и пытаюсь из Вас извлечь

Зачем его извлекать из меня, если его можно извлечь из почти любой книжки по ураматам, сопромату, да и наверное из обычного Сивухина в готовом виде?
Только у нас не обычная пружина: она должна быть все время растянута. Если её отпустить, она просто схлопнется и не будет никаких колебаний.

[StaticZero]

wrest в сообщении #1300136 писал(а):

Ну мы конечно полагаем пружину всюду "гуковской" на растяжение, как только растяжение началось.

Вы полагаете, что вправе так полагать и при этом не потерять связь с реальностью? Для малых деформаций всё понятно, а они у вас малы?

[wrest]

StaticZero в сообщении #1300144 писал(а):

Вы полагаете, что вправе так полагать и при этом не потерять связь с реальностью?

Да, "на глаз" пружина вполне "гуковская" при растяжении под собственным весом.

[wrest]

amon в сообщении #1300131 писал(а):

wrest в сообщении #1300126 писал(а):

$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$

Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному. Лучше разберитесь тогда с массивными шариками, соединенными невесомыми пружинками. Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$ где $K$ --жесткость одной пружинки. При предельном переходе к "струне" (длинной тяжелой пружине) меняется как $m,$ так и $K.$

Вот статья в "Кванте" про эти пружины ("слинки"):
Чокин Д. Слинки — шагающая пружинка //Квант. — 1991. — № 6. — С. 42-44.
http://www.physbook.ru/index.php/Kvant. ... 0%BA%D0%B8
У них получается общий коэффициент жесткости пружины исходя из длины растянутой под собственным весом пружины в точности как у меня в вышепроцитированном.

А там еще написано вот что:

Цитата:

Интересно, что время одного шага не зависит от высоты ступеньки и что это время одного порядка с периодом свободных колебаний пружинки и со временем падения тела с высоты $L_0$. Взяв значение $L_0$ равным, например, 1 м, получим $T\approx~ 0,5$ с, что хорошо подтверждается экспериментом.

Ну и вот, это в точности соответствует моему:

wrest в сообщении #1300126 писал(а):

жесткость $k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
период колебаний $T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{2m\Delta l/mg}=2\pi\sqrt{2\Delta l/g}$
"Время падения" $t=\sqrt{\Delta l/2g}$, и теперь делим $\dfrac{T}{t}=4\pi$

Но с учетом конечно что $2\pi$ я туда по ошибке недоумству приписал, так что $T=2t$

Итого: период свободных колебаний растянутой под собственным весом пружинки типа "слинки" -- одного порядка со временем падения тела с высоты на которую растягивается пружинка под собственным весом. Независимо от жесткости.

P.S. Очень хочется пошутить про спинной мозг, но не буду.

[amon]

wrest в сообщении #1300187 писал(а):

Очень хочется пошутить про спинной мозг, но не буду.

Сейчас некогда. Тут со спинным мозгом такая проблема. В решении pogulyat_vyshel длинная пружина разрезана на короткие. При этом как масса $m$ эффективного шарика, так и величина $K$ для маленькой пружинки зависит от того, как я большую пружинку порубал на маленькие. И бабушка надвое сказала, что предел "число кусочков к бесконечности" совпадет с тем, что получается из эффективного $k$ и полного $M$ для целой пружины, притом растянутой специальным образом.

[wrest]

amon в сообщении #1300190 писал(а):

И бабушка надвое сказала,

В указанной статье в Кванте подробный и понятный вывод этого. С разрезанием пружинки на мелкие части, их суммированием и предельным переходом количества частей к бесконечности, все как положено.

-- 28.03.2018, 14:04 --

amon в сообщении #1300190 писал(а):

притом растянутой специальным образом.

Растяжение специальным образом (а именно: под действием своего собственного веса) это обязательное условие опыта. Собственно, именно из-за этого специального способа растяжения из формул и пропадает жесткость, поскольку чем больше жесткость тем меньше период колебаний, но тем короче растянется пружинка, а значит и "время падения" уменьшится. В итоге все сокращается и остается безразмерный коэффициент отношения периода колебаний ко времени падения.

[wrest]

Удивительная штука эта пружина.

Оказывается, верхняя часть пружины во время падения очень быстро разгоняется (ускорение вниз) до большой скорости и затем двигается с замедлением (sic! - ускорение вверх) пока не упадет до нижнего витка и только потом уже вся пружина двигается с ускорением (вниз, свободного падения). В разных моделях разгоняется по-разному. В некоторых разгоняется мгновенно (т.е. в нулевой момент времени имеет ненулевую скорость), в других, более реалистичных -- не мгновенно, но тоже очень быстро. Натурные эксперименты это (быстрый разгон падающей части, затем замедление до конца коллапса) вроде подтверждают. Лично я хоть и снимал с замедленной съемкой, но без линейки на фоне и замеров скорости не делал, но верю что так оно и есть.

Кто бы мог подумать, уму спинному мозгу не постижимо, да и головной не сразу принимает...

Кстати, помогите, пож-ста скачать: https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17301
M. G. Calkin, “Motion of a falling spring,” Am. J. Phys. 61, 261–264 (1993)

И еще вот это https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1986571
T. W. Edwards and R. A. Hultsch, “Mass distribution and frequencies of a vertical spring,”
Am. J. Phys. 40, 445–449 (1972).

[wrest]

Кстати! То, что падающий верх пружины замедляется, по сути означает, что витки в нем испытывают сжатие! Поэтому, в том числе, верхняя часть летит как монолит, без всяких там колебаний.

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):

Направим ось $x$ вертикально вверх, и пусть $x_i$ -- координата и $i$-ой материальной точки. Тогда

$$\ddot x_k=-1+x_{k+1}+x_{k-1}-2x_k,\quad k=2,\ldots,N-1;$$

А откуда тут первое слагаемое, минус единица?

[amon]

wrest в сообщении #1300295 писал(а):

А откуда тут первое слагаемое, минус единица?

От $-mg.$