2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение29.03.2018, 13:32 


05/09/16
3894
pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):
Откуда легко сообразить, что
$$\frac{d^l}{dt^l}x_N(0)=0,\quad l=1,\ldots, N+2.$$

Правильно ли я понимаю, что тут написано "в начальный момент самый нижний шарик покоится (первая производная координаты по времени - скорость равна нулю), не ускорятся (вторая производная по времени - ускорение равно нулю) и все последующие производные тоже"?
Или, по-простому, "в нулевой момент времени нижний шарик еще не знает о том, что верхний уже отпустили"?
А это разве не очевидно прям сразу, просто повесив цепочку из трех шариков и двух пружин между ними на нитке за верхний и перерезав нитку в начальный момент, что в начальный момент времени пружина между верхним и средним шариком продолжит прикладывать к ним обоим силу которую прикладывала до этого, так что второй и третий шарики в этот момент будут неподвижны, их ускорения и последующие производные будут нулевые, а у верхнего шарика в начальный момент будет ускорение вниз равное $3g$?

-- 29.03.2018, 13:36 --

amon
Давайте все-таки вернемся вот к этому:
amon в сообщении #1300131 писал(а):
wrest в сообщении #1300126 писал(а):
$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному.

Вы продолжаете настаивать на том, что моя формула неверная?

-- 29.03.2018, 14:07 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):
при этом начальные положения $x_i(0)$ таковы, что $\ddot x_j(0)=0,\quad j>1,\quad \ddot x_1(0)\ne 0$.

Чему же равно $\ddot x_1(0)$? Под первым шариком висят $N-1$ таких же шариков. Тогда выходит что $\ddot x_1(0)=N$ так что ускорение первого шарика в первый момент времени при стремлении количества шариков к бесконечности тоже стремится к бесконечности. Наверное катастрофы тут нет, но все-таки получается немножко нефизично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение29.03.2018, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest, я с удовольствием с Вами обсужу эту задачку как только будет чуть больше времени. Формула $k=F/\Delta l=mg/2\Delta$ верная, но к делу отношения не имеющая. То $K,$ которое у меня и pogulyat_vyshel и Ваше $k$ это разные величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение29.03.2018, 14:20 


05/09/16
3894
amon
Спасибо, а то я уж было подумал что вы потеряли всякий интерес, а у меня в запасе еще есть некоторые вопросы :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение30.03.2018, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
Пока есть полчаса начну, хотя, как я уже говорил, популяризатор из меня хреновый.
wrest, тут у Вас, как я понимаю, есть два вопроса
1. Что такое написал pogulyat_vyshel и
2. Какое это имеет отношение к рассматриваемой задаче.

Начну с первого. Рассмотрим безотносительно к исходной длинной пружине такую задачу. Есть $N+1$ одинаковых шариков соединенных $N$ одинаковыми пружинками. Верхний шарик отпустили. Что будет с нижним шариком. Уравнения движения любого не крайнего шарика будет$$m\ddot{x}_n=K(x_{n+1}-x_n)-K(x_n-x_{n-1})-mg.$$Поделим все на $m,$ обозначим $\omega^2=\frac{K}{m}$ и получим$$\ddot{x}_n=\omega^2(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})-g$$Введем новые единицы времени и длины как я написал выше. Это эквивалентно замене переменных $\tilde{t}=\omega t,\;\tilde{x}=\frac{\omega^2 x}{g}.$ Получим уравнения pogulyat_vyshel. Теперь попробуем выяснить как будет двигаться нижний шарик после того, как мы отпустим верхний. Для этого заметим, что $x_{N+1}(t)$ можно попробовать представить рядом Тейлора: $x_{N+1}(t)=x_{N+1}(0)+t\dot{x}_{N+1}(0)+\frac{t^2}{2}\ddot{x}_{N+1}(0)+\dots.$ Теперь заметим, что все производные от $x_{N+1}$ в нуле равны нулю, вплоть до $N+1$-й. Получается это дифференцированием последнего уравнения по времени и подстановкой производных из предыдущих с учетом того, что $\dot{x}_k(0)=0$ для $\forall k,$ а $\ddot{x}_k(0)=0$ для $k>1.$ Это значит, ряд Тейлора для $x_{N+1}$ начинается с $\operatorname{const} \frac{t^{N+2}}{(N+2)!},$ и при большом $N$ и $\omega t<1$ нижний шарик практически не сдвинется.

Второй пункт позже посмотрим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение30.03.2018, 10:26 


05/09/16
3894
amon в сообщении #1300473 писал(а):
Получается это дифференцированием последнего уравнения по времени и подстановкой производных из предыдущих с учетом того, что $\dot{x}_k(0)=0$ для $\forall k,$ а $\ddot{x}_k(0)=0$ для $k>1.$

Вот это неясный момент. То что скорости в начальный момент нулевые - это ясно, насчет ускорений - ясно из физических соображений но не очень ясно из математики. Но поверю. Тогда правильно ли я понимаю, что
amon в сообщении #1300473 писал(а):
что все производные от $x_{N+1}$ в нуле равны нулю, вплоть до $N+1$-й.
обобщается на любой шарик кроме первых двух? То есть что все производные от $x_{k}$ в нуле равны нулю, вплоть до $k$-й для $k>2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение30.03.2018, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300503 писал(а):
обобщается на любой шарик кроме первых двух?
Вообще на любой: для первого отлична от нуля вторая производная, для второго - четвертая и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение30.03.2018, 12:27 


05/09/16
3894
amon в сообщении #1300509 писал(а):
Вообще на любой: для первого отлична от нуля вторая производная, для второго - третья и т.д.

Тогда, чтобы сделать вывод о "практической неподвижности" нижнего, достаточно рассмотреть цепочку из двух шариков (например неравной массы, нижний в $N$ раз тяжелее верхнего)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение31.03.2018, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300513 писал(а):
цепочку из двух шариков
Два все-таки маловато будет, хотя эффект частично сохранится. Отличия видны, если нарисовать $t^4$ и, скажем, $t^{10}$ на промежутке от 0 до 1. Я там третью производную на четвертую поправил. Третья нулем будет, а Вы меня не поймали, значит сами не проверили ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение31.03.2018, 19:05 


05/09/16
3894
amon в сообщении #1300640 писал(а):
а Вы меня не поймали, значит сами не проверили ;)

Да, в разложении только четные производные остаются.
Я нашел еще статью (написано что статья для математиков, думаю вам и pogulyat_vyshel понравится) где это расписывается : https://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/slinky.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение01.04.2018, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300716 писал(а):
Я нашел еще статью (написано что статья для математиков)
Ну, это они загнули. Статья (и задача) для студентов 3-го курса. Единственный забавный факт - неподвижность нижнего витка, получается элементарными средствами. Раз такая пьянка пошла, выведу то, что из Вас вынуть хотел - переход к волновому уравнению, заодно спинной мозг потренируете.

Итак, есть длинная тяжелая пружинка. Если разбить её на кусочки и каждый кусочек длиной $\Delta$ заменить на его массу $m$ и пружинку жесткостью $K,$ то получится уравнение$$m\ddot{x}_n=K(x_{n+1}-x_n)-K(x_n-x_{n-1})-mg.$$С ним такая сложность. Величины $m$ и $K$ зависят от того, на сколько кусочков я разрежу пружинку, причем $m$ пропорциональна $\Delta,$ а $K$ обратно пропорциональна, и $\Delta$ из уравнения не уходит. Тогда перейдем от масс и жёсткостей, к плотности и модулю Юнга: $m=\rho\Delta,\,K=\frac{E}{\Delta}$ ($E$ определяется из $\frac{\Delta l}{l}=\frac{F}{E}$). Получим
$$\ddot{x}_n=\frac{E}{\rho}\frac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\Delta^2}-g\rho$$При $\Delta\to0$ справа стоит вторая производная по координате и получается волновое уравнение. Это все выполняется везде, кроме последних звеньев.. Там будет $\rho\Delta\ddot{x}=E\frac{x_{N+1}-x_{N}}{\Delta}$ и аналогично на другом конце. В результате получим (координата вдоль "длинной тяжелой пружины" обозначена за $y$)
$$
\begin{align}
\frac{\partial^2x}{\partial t^2}&=\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2x}{\partial y^2}-g\rho\\
\frac{\partial x(t,0)}{\partial y}&=\frac{\partial x(t,L)}{\partial y}=0\\
x(0,y)&=\frac{\rho g}{E}(2yL-y^2).
\end{align}
$$Вот и вся премудрость. К стати, в приеденной Вами статье на пятой странице сверху, по-моему, какой-то бред написан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение01.04.2018, 02:35 


05/09/16
3894
amon
У растянутой под собственным весом пружины "линейная плотность" существенно меняется от верха к низу, а вы как режете (это мне не понятно) -- на кусочки одинаковой длины или одинаковой массы? Тогда и переход к модулю Юнга вместо жесткости, по-моему, требует пояснений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение10.04.2018, 14:28 


05/09/16
3894
amon
Помогите пож-ста разобраться со статьями

https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17301
M. G. Calkin, “Motion of a falling spring,” Am. J. Phys. 61, 261–264 (1993)

и

https://arxiv.org/abs/1208.4629
R. C. Cross, M. S. Wheatland, "Modeling a falling slinky"

Вторая ссылается на первую.
Там вводят непонятную координату $\xi$ следующим образом

Цитата:
We denote points on the spring by a dimansionless variable $\xi$, with $\xi=0$ at the upper end, $\xi=1$ at the lower end, and the difference in $\xi$ between any two point equal to the fraction of the mass of the spring between the two points. The motion of the spring is then described by giving the location $y(\xi,t)$ of all points $\xi$ of the spring as functions of time $t$. The variable $y(\xi,t)$ is measured positive downward from the initial point of support.


Я не понимаю что такое это $\xi$
В момент времени $t=0$ еще понятно: $\xi=0$ обозначает точку подвеса, $\xi=1$ обозначает нижний конец растянутой пружины. Даже понятно, что точка $\xi=1/2$ должна указывать на центр масс пружины. Но потом там пишут что типа "Как хорошо известно, функция $y(\xi,t)$ удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
$m\dfrac{\partial ^2y}{\partial t^2}=k\dfrac{\partial ^2y}{\partial \xi ^2}+mg$

У вас тоже есть неясное место
amon в сообщении #1300772 писал(а):
координата вдоль "длинной тяжелой пружины" обозначена за $y$

Если $y$ это координата вдоль пружины, то что тогда $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение10.04.2018, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1302931 писал(а):
Если $y$ это координата вдоль пружины, то что тогда $x$?
Продолжаем тренировку спинного мозга. Пусть у нас для простоты не пружинка, а резинка. Пока резинка не растянута, я каждую ее точку "пронумерую" координатой этой точки $y.$ Теперь я растянул резинку. Каждая точка нерастянутой резинки $y$ переместилась в точку $x(y).$ Буковка $y$ в такой записи как-то "нумерует" точки резинки, а $x(y,t)$ показывает дальнейшую судьбу пронумерованных таким способом точек. Это называется Лагранжевыми координатами. Можно поступить по-другому, и ввести Эйлеровы координаты. Для этого я приложу резинку к неподвижной линейке и буду следить за скоростями, плотностями и т.п. на фиксированном делении линейки. В первом (Лагранжевом) случае я раскрасил резинку, а во втором - пространство. Ясно, что одно можно выразить через другое. В статье в качестве Лагранжевой координаты принята величина $\xi,$ определенная как относительная координата нерастянутой пружины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение10.04.2018, 23:29 


05/09/16
3894
amon
То есть, $\xi=1/2$ это НЕ центр масс пружины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение10.04.2018, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3305
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1303052 писал(а):
То есть, $\xi=1/2$ это НЕ центр масс пружины?
Какой пружины? Если не растянутой, то центр, а если растянутой, то вообще говоря, нет. Разные половинки растянулись по-разному, и центр масс уехал. $\xi=1/2$ означает, что масса части с $\xi>1/2$ равна массе с $\xi<1/2,$ но растянуты эти части могут быть по всякому.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group