2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение27.03.2018, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300105 писал(а):
Насчет струны не понял.
Продольные колебания длинной пружины и продольные колебания струны в линейном приближении описываются волновым уравнением. Это уравнение можно получить так: возьмем цепочку из шариков и пружинок, каждый шарик и пружинку разрежем пополам и вставим половинку шарика между половинками пружинок. В пределе должно получиться волновое уравнение, в котором можно проследить связь между скоростью "звука" и исходными $m$ и $K$ (общая длина цепочки при такой процедуре не меняется). Тогда можно сообразить, во что перейдет $T\gg\sqrt{l/(2g)}$ при такой процедуре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 00:10 


05/09/16
11468
amon
Вот у меня есть пружина массой $m$ (165 грамм, ну не важно), под собственным весом она растягивается с 0,1 метра до 2,1 метра
жесткость $k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
период колебаний $T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{2m\Delta l/mg}=2\pi\sqrt{2\Delta l/g}$
"Время падения" $t=\sqrt{\Delta l/2g}$, и теперь делим $\dfrac{T}{t}=4\pi$ :shock: :?:
Может где лишняя двойка затесалась, но погоды она не делает.
Куда-то вдруг пропала жесткость, от неё ничего не зависит :shock:

Где-то я ошибся?

Выходит так, что любая пружина у которой витки слипаются при соприкосновении и потом не разлипаются, будет падать так, как на ролике в стартовом посте. Независимо от жесткости. Слипание витков можно обеспечить "преднапряжением", а можно просто клеем или какими-нибудь защелками. И всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300126 писал(а):
$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному. Лучше разберитесь тогда с массивными шариками, соединенными невесомыми пружинками. Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$ где $K$ --жесткость одной пружинки. При предельном переходе к "струне" (длинной тяжелой пружине) меняется как $m,$ так и $K.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 00:31 


05/09/16
11468
amon в сообщении #1300131 писал(а):
Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному.

За это отвечает двойка в знаменателе. Но даже если там не двойка, а другая константа, то принципиально это ничего же не меняет.

И все-таки хотелось бы исходить из имеющегося, так сказать, "в натуре": масса пружины 165 грамм, длина в сложенном состоянии 10 сантиметров, длина растянутой под собственным весом пружины 210 сантиметров.

-- 28.03.2018, 00:44 --

amon в сообщении #1300131 писал(а):
Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$

Это даже лучше, ибо не по делу затесавшееся в формулу число $\pi$ пропадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300132 писал(а):
За это отвечает двойка в знаменателе.
Для длинной тяжелой пружины, вообще говоря, $F\ne K\Delta x.$ Последняя формула -- упрощение для случая, когда можно пренебречь волновыми процессами в пружине и считать, что ее массой можно пренебречь, а взаимодействие от одного конца до другого пробегает мгновенно. Реальная пружина описывается в первом приближении волновым уравнением, вывод которого на модели с тяжелыми шариками и идеальными пружинами я и пытаюсь из Вас извлечь (полезное упражнение для головного мозга, когда это действие перейдет в спинной, считайте что Вы начали слегка понимать физику ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 00:54 


05/09/16
11468
amon в сообщении #1300133 писал(а):
Для длинной тяжелой пружины, вообще говоря, $F\ne K\Delta x.$

Конечно нет, вы правы. Нужен еще коэффициент. Двойка.
Смотрите: пружина под собственным весом растянулась на 2 метра. Масса её 165 грамм. Допустим пружина невесомая, какую массу надо подвесить к ней чтобы она растянулась на 2 метра? Я полагаю, надо подвесить два раза по 165 грамм, то есть 330 грамм. Или наоборот, половину от 165. Тут я путаюсь.
Ну мы конечно полагаем пружину всюду "гуковской" на растяжение, как только растяжение началось. Хотя и тут есть вопрос: растяжение нашей реальной пружины из сжатого состояния начнется не от нулевой силы, а от какой-то пороговой (но очень небольшой, по ощущениям).

-- 28.03.2018, 01:14 --

amon в сообщении #1300133 писал(а):
Реальная пружина описывается в первом приближении волновым уравнением, вывод которого на модели с тяжелыми шариками и идеальными пружинами я и пытаюсь из Вас извлечь

Зачем его извлекать из меня, если его можно извлечь из почти любой книжки по ураматам, сопромату, да и наверное из обычного Сивухина в готовом виде?
Только у нас не обычная пружина: она должна быть все время растянута. Если её отпустить, она просто схлопнется и не будет никаких колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
wrest в сообщении #1300136 писал(а):
Ну мы конечно полагаем пружину всюду "гуковской" на растяжение, как только растяжение началось.

Вы полагаете, что вправе так полагать и при этом не потерять связь с реальностью? Для малых деформаций всё понятно, а они у вас малы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 07:53 


05/09/16
11468
StaticZero в сообщении #1300144 писал(а):
Вы полагаете, что вправе так полагать и при этом не потерять связь с реальностью?

Да, "на глаз" пружина вполне "гуковская" при растяжении под собственным весом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 13:31 


05/09/16
11468
amon в сообщении #1300131 писал(а):
wrest в сообщении #1300126 писал(а):
$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному. Лучше разберитесь тогда с массивными шариками, соединенными невесомыми пружинками. Упомянутый выше "период колебаний" это $T=\sqrt{\frac{m}{K}},$ где $K$ --жесткость одной пружинки. При предельном переходе к "струне" (длинной тяжелой пружине) меняется как $m,$ так и $K.$
Вот статья в "Кванте" про эти пружины ("слинки"):
Чокин Д. Слинки — шагающая пружинка //Квант. — 1991. — № 6. — С. 42-44.
http://www.physbook.ru/index.php/Kvant. ... 0%BA%D0%B8
У них получается общий коэффициент жесткости пружины исходя из длины растянутой под собственным весом пружины в точности как у меня в вышепроцитированном.

А там еще написано вот что:
Цитата:
Интересно, что время одного шага не зависит от высоты ступеньки и что это время одного порядка с периодом свободных колебаний пружинки и со временем падения тела с высоты $L_0$. Взяв значение $L_0$ равным, например, 1 м, получим $T\approx~ 0,5$ с, что хорошо подтверждается экспериментом.
Ну и вот, это в точности соответствует моему:
wrest в сообщении #1300126 писал(а):
жесткость $k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$
период колебаний $T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{2m\Delta l/mg}=2\pi\sqrt{2\Delta l/g}$
"Время падения" $t=\sqrt{\Delta l/2g}$, и теперь делим $\dfrac{T}{t}=4\pi$ :shock: :?:
Но с учетом конечно что $2\pi$ я туда по ошибке недоумству приписал, так что $T=2t$

Итого: период свободных колебаний растянутой под собственным весом пружинки типа "слинки" -- одного порядка со временем падения тела с высоты на которую растягивается пружинка под собственным весом. Независимо от жесткости. :!:

P.S. Очень хочется пошутить про спинной мозг, но не буду. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300187 писал(а):
Очень хочется пошутить про спинной мозг, но не буду.
Сейчас некогда. Тут со спинным мозгом такая проблема. В решении pogulyat_vyshel длинная пружина разрезана на короткие. При этом как масса $m$ эффективного шарика, так и величина $K$ для маленькой пружинки зависит от того, как я большую пружинку порубал на маленькие. И бабушка надвое сказала, что предел "число кусочков к бесконечности" совпадет с тем, что получается из эффективного $k$ и полного $M$ для целой пружины, притом растянутой специальным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 13:58 


05/09/16
11468
amon в сообщении #1300190 писал(а):
И бабушка надвое сказала,

В указанной статье в Кванте подробный и понятный вывод этого. С разрезанием пружинки на мелкие части, их суммированием и предельным переходом количества частей к бесконечности, все как положено.

-- 28.03.2018, 14:04 --

amon в сообщении #1300190 писал(а):
притом растянутой специальным образом.

Растяжение специальным образом (а именно: под действием своего собственного веса) это обязательное условие опыта. Собственно, именно из-за этого специального способа растяжения из формул и пропадает жесткость, поскольку чем больше жесткость тем меньше период колебаний, но тем короче растянется пружинка, а значит и "время падения" уменьшится. В итоге все сокращается и остается безразмерный коэффициент отношения периода колебаний ко времени падения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 19:29 


05/09/16
11468
Удивительная штука эта пружина.

Оказывается, верхняя часть пружины во время падения очень быстро разгоняется (ускорение вниз) до большой скорости и затем двигается с замедлением (sic! - ускорение вверх) пока не упадет до нижнего витка и только потом уже вся пружина двигается с ускорением (вниз, свободного падения). В разных моделях разгоняется по-разному. В некоторых разгоняется мгновенно (т.е. в нулевой момент времени имеет ненулевую скорость), в других, более реалистичных -- не мгновенно, но тоже очень быстро. Натурные эксперименты это (быстрый разгон падающей части, затем замедление до конца коллапса) вроде подтверждают. Лично я хоть и снимал с замедленной съемкой, но без линейки на фоне и замеров скорости не делал, но верю что так оно и есть.

Кто бы мог подумать, уму спинному мозгу не постижимо, да и головной не сразу принимает...

Кстати, помогите, пож-ста скачать: https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17301
M. G. Calkin, “Motion of a falling spring,” Am. J. Phys. 61, 261–264 (1993)

И еще вот это https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1986571
T. W. Edwards and R. A. Hultsch, “Mass distribution and frequencies of a vertical spring,”
Am. J. Phys. 40, 445–449 (1972).

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение28.03.2018, 21:31 


05/09/16
11468
Кстати! То, что падающий верх пружины замедляется, по сути означает, что витки в нем испытывают сжатие! Поэтому, в том числе, верхняя часть летит как монолит, без всяких там колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение29.03.2018, 09:55 


05/09/16
11468
pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):
Направим ось $x$ вертикально вверх, и пусть $x_i$ -- координата и $i$-ой материальной точки. Тогда
$$\ddot x_k=-1+x_{k+1}+x_{k-1}-2x_k,\quad k=2,\ldots,N-1;$$

А откуда тут первое слагаемое, минус единица?

 Профиль  
                  
 
 Re: Падающая пружина, если кому интересно...
Сообщение29.03.2018, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
wrest в сообщении #1300295 писал(а):
А откуда тут первое слагаемое, минус единица?
От $-mg.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group