Унитарное преобразование

[AlexDem]

Читал тут статью На что способны квантовые компьютеры? (в бумажном варианте), там рассматривается тема о классах вычислительной сложности, покрываемых КК.

В связи с этим возник вопрос - каждому ли унитарному оператору $U$ соответствует некий физически реализуемый гамильтониан $H$ такой, что $U = e^{iH}$ (если не ошибаюсь), или их набор (по-моему, каждому $U$ может соответствовать множество $H$)?

Потому как в противном случае, если квантовый алгоритм реализуется последовательностью преобразований $\psi = U_n...U_2U_1\varphi$, то произведение $U_n...U_2U_1$ есть опять некий унитарный оператор $U$ и тогда любой алгоритм можно выполнить за один шаг: $\psi = U\varphi$ - что, судя по статье, не так.

Добавлено спустя 14 минут 41 секунду:

Или тут важна зависимость от времени: $U = e^{iHt}$? Как тогда показать, что это время всегда эквивалентно сумме времён $t_1, t_2,.. t_n$, где $U_n = e^{iH_nt_n}$?

[PSP]

А Вы уверены, что гамильтонов подход -единственный путь развития КМ? И ,соответственно,квантовых компьютеров?

Основой как классической, так и квантовой механики является представление о том, что функционал, из которого надо исходить, должен быть функционалом первого порядка $A[f] = \int_{t_1}^{t_2} L(t,x,x') dt$ , и тогда полными характеристиками для частицы являются импульс$x'$ и координата$x$.И когда в микромире обнаружили, что эти характеристики фактически являются не полными, то воленс-неволенс ввели понятие вероятности и т.д...
А если функционал, из которого надо исходить, должен быть функционалом не первого,а второго порядка$A[f] = \int_{t_1}^{t_2} L(t,x,x',x'') dt$ (или даже более высшего) ? То тогда всё кардинально меняется и значение теоремы Белла сводится к нулю...
И так же меняеется вся ситуация с квантовыми компьютерами..

[AlexDem]

Если бы Вы мне в матричное представление переложили, то, возможно, я бы Вас понял. Что будет означать функционал 2-го порядка? Нелинейность? Неунитарность?

[PSP]

AlexDem писал(а):

Если бы Вы мне в матричное представление переложили, то, возможно, я бы Вас понял. Что будет означать функционал 2-го порядка? Нелинейность?

Нелинейность?Можно сказать и так.
А с физической точки это означает обобщение 1-го закона Ньютона...
Насчёт неунитарности не могу сказать,я до матричного представления на этом пути не дошёл пока..

[Cervix]

AlexDem писал(а):

Потому как в противном случае, если квантовый алгоритм реализуется последовательностью преобразований $\psi = U_n...U_2U_1\varphi$, то произведение $U_n...U_2U_1$ есть опять некий унитарный оператор $U$ и тогда любой алгоритм можно выполнить за один шаг: $\psi = U\varphi$ - что, судя по статье, не так.

Основная затрата времени в алгоритмах для квантовых компьюторов заключается в том, что любое измерение безвозвратно портит систему. Именно поэтому на сегодняшний день придумано совсем не много классов задач, которые было реально выгоднее решать на таких компьютерах.

[AlexDem]

Общие принципы я смотрел - давно, правда, может что забыл. Предполагается идеальный КК (что, скорее всего и делается при расчёте вычислительной сложности), не уверен даже, что теоретики включают необходимость множества запусков КК для суммирования вероятностей. Или всё же включают? И тогда, действительно, вычислительная сложность может зависеть от числа необходимых запусков (что я не учитывал).

Всё же главный вопрос для меня в том, любой ли унитарный оператор физичен? Статья о КК - лишь повод для вопроса.

[PSP]

AlexDem писал(а):

Общие принципы я смотрел - давно, правда, может что забыл. Предполагается идеальный КК (что, скорее всего и делается при расчёте вычислительной сложности), не уверен даже, что теоретики включают необходимость множества запусков КК для суммирования вероятностей. Или всё же включают? И тогда, действительно, вычислительная сложность может зависеть от числа необходимых запусков (что я не учитывал).

Всё же главный вопрос для меня в том, любой ли унитарный оператор физичен? Статья о КК - лишь повод для вопроса.

А если обернуть? Любая ли физика выражается в унитарных операторах?

[AlexDem]

Насколько я понимаю, КМ говорит, что да?

[PSP]

AlexDem писал(а):

Насколько я понимаю, КМ говорит, что да?

КМ говорит -да, а вот так ли говорит мадам Природа в экспериментах?

[Аурелиано Буэндиа]

AlexDem писал(а):

Всё же главный вопрос для меня в том, любой ли унитарный оператор физичен?

А что вы понимаете под выражением "физичный оператор"?
Я это потому спрашиваю, что если вы определите это пронятие строго, то и ответить будет проще

[AlexDem]

А этого определения не достаточно? Не знаю, как точнее сформулировать...

AlexDem писал(а):

В связи с этим возник вопрос - каждому ли унитарному оператору $U$ соответствует некий физически реализуемый гамильтониан $H$ такой, что $U = e^{iH}$ (если не ошибаюсь), или их набор (по-моему, каждому $U$ может соответствовать множество $H$)?

Физически реализуемый - что можно задать такую конфигурацию внешних полей, чтобы гамильтониан $H$ нашей системы $\varphi$ в этих полях соответствовал бы любому наперёд выбранному нами оператору эволюции $U$.

[PSP]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

AlexDem писал(а):

Всё же главный вопрос для меня в том, любой ли унитарный оператор физичен?

А что вы понимаете под выражением "физичный оператор"?

Ну, это слишком прямолинейно...Как я понял, под физичностью понимается физический смысл,возможночть физической интерпретации, а не какой-то "физичный оператор".

У AlexDem термин "физичный оператор" вообще отсутствует..

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

AlexDem писал(а):

А этого определения не достаточно? Не знаю, как точнее сформулировать...

AlexDem писал(а):

В связи с этим возник вопрос - каждому ли унитарному оператору $U$ соответствует некий физически реализуемый гамильтониан $H$ такой, что $U = e^{iH}$ (если не ошибаюсь), или их набор (по-моему, каждому $U$ может соответствовать множество $H$)?

Физически реализуемый - что можно задать такую конфигурацию внешних полей, чтобы гамильтониан $H$ нашей системы $\varphi$ в этих полях соответствовал бы любому наперёд выбранному нами оператору эволюции $U$.

Я так и понял.Но не исключено, что есть и такие конфигурации, которые гамильтонианом описыватиься не смогут...

[Аурелиано Буэндиа]

PSP писал(а):

такие конфигурации, которые гамильтонианом описыватиься не смогут

Конфигурации чего? Полей? Каких именно полей? Приведите пример!

[AlexDem]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Приведите пример!

Не могу.

PS: А, прошу прощения - не заметил, что вопрос не ко мне.

Добавлено спустя 21 минуту 29 секунд:

Может тогда перенесём прямой вопрос насчёт "конфигураций, которые гамильтонианом описыватиься не смогут" - в отдельную тему?

Есть ли всё же ответ на обратный вопрос - тот, что задавал я? Или он всё равно недостаточно ясен? Смысл в том, что все ли варианты, описываемые математически, могут реализоваться физически?

Насколько я читал где-то здесь на форуме, в ОТО, например, вроде как есть "нефизичные" решения. Нет ли подобного же и в КМ?

[Аурелиано Буэндиа]

Математически любой унитарный оператор можно записать через эрмитовый U=e^{i H(t_2-t_1)}, a любой эрмитовый оператор интерпретировать как оператор взаимодействия (физического!). Но в реальности все намного сложнее, не каждое взаимодействие можно реализовать на практике... хотя можно пытаться последовательно комбинировать те взаимодействия, которые можно реализовать, для получения нужного преобразования