Унитарное преобразование

[AlexDem]

Угу, ладно, спасибо
Пока лучше остановиться, наверное - посмотрю...

[Mopnex]

AlexDem писал(а):

В связи с этим возник вопрос - каждому ли унитарному оператору $U$ соответствует некий физически реализуемый гамильтониан $H$ такой, что $U = e^{iH}$ (если не ошибаюсь), или их набор (по-моему, каждому $U$ может соответствовать множество $H$)?

Вроде бы, согласно теореме Стоуна, это именно так. На счёт физической реализуемости ничего сказать не могу, но по крайней мере такой самосопряжённый оператор $H$ точно найдётся.

[AlexDem]

Да, доказательство есть у Гантмахера в "Теория матриц" на с.251, только оно там не оформлено теоремой (и, соответственно, без названия).

[AlexDem]

Freude писал(а):

AlexDem писал(а):

У меня сложилось такое предварительное представление, что после любого взаимодействия частицы запутаются - даже если они потом разойдутся.

Да, это так, они могут обмениваться - принцип неразличимости.

AlexDem писал(а):

смесь не может описываться вектором состояния

Почему не может? Вектором состояния может описываться что угодно - это главный постулат квантовой механики, если речь не идет об открытых системах с неполной информацией.

AlexDem писал(а):

О, этот вопрос я Вам тоже собирался задать - как описать составную систему в терминах волновых функций, не встречали?

Встречал. Надо из волновых функций построить полную систему ортонормированных фукнций. Если такая сисnема есть, то любую новую волновую функцию можно по ней разложить в ряд. Т.е. волновая функция всей системы может быть разложена в ряд по волновым функциям составляющих частей. В результате, волновая функция системы будет смесью волновых функции ее составляющих.

AlexDem писал(а):

Состояние подсистемы при запутанном состоянии системы не описывается волновой функцией вообще (как и вектором состояния) - только матрицей плотности.

Насколько я знаю, такое возможно в единственном случае, когда нет всей необходимой информации о системе и мы вынуждены прибегать к статистическим методам. Например, когда система взаимодействует с окружающей средой, но это не рассматриваемый случай.

AlexDem писал(а):

То есть, если у нас есть система в несепарабельном состоянии (когда её подсистемы запутаны между собой), то состояние каждой из этих подсистем в отдельности описать волновой функцией в принципе нельзя.

Если подситемы взаимодействующие, то они уже одна система, которая характеризуется своим вектором состояния. Но, взаимодействие может быть очень малым, тогда состояния подсистемы будут возмущаться под влиянием других подсистем.

Переход к новому базису не должен приводить к каким либо изменениям системы и к движению в том числе.

Добавлено спустя 1 час 44 минуты 17 секунд:

Цитата:

AlexDem писал(а):

О, этот вопрос я Вам тоже собирался задать - как описать составную систему в терминах волновых функций, не встречали?

Встречал. Надо из волновых функций построить полную систему ортонормированных фукнций. Если такая сисnема есть, то любую новую волновую функцию можно по ней разложить в ряд. Т.е. волновая функция всей системы может быть разложена в ряд по волновым функциям составляющих частей. В результате, волновая функция системы будет смесью волновых функции ее составляющих.

Но вопрос теперь, как построить такую полную систему. Фок придумал пространство состояний совокупности частиц, построенное из состояний каждой отдельной частицы.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%BA%D0%B0

Можно просто аппроксимировать линейной комбинацией:

http://en.wikipedia.org/wiki/Slater_determinant

================================================

Freude, я предлагаю переехать отсюда - сюда, чтобы не засорять ветку PSP.

Добавлено спустя 6 минут 15 секунд:

================================================

Freude писал(а):

Переход к новому базису не должен приводить к каким либо изменениям системы и к движению в том числе.

Так не переходил я к новому базису. В той книге "Давыдов - Квантовая механика", что Вы рекомендовали, на с.144 (это параграф 31) написано:

Цитата:

До настоящего времени мы рассматривали унитарные преобразования, операторы которых не содержали ремени. Путем одновременного изменения векторов состояний и операторов мы переходили к разным способам описания одного и того же состояния в данный момент времени. Одновременное проведение унитарного преобразования волновых функций и операторов по правилам (30.9) и (30.10) изменяет их вид, но не изменяет состояния системы. Теперь мы покажем, что с помощью унитарных преобразований можно также выражать и изменение состояний с течением времени.

- именно это я и проделал (надеюсь, без ошибок). Как иначе задать изменение системы?

[zbl]

AlexDem писал(а):

В той книге "Давыдов - Квантовая механика"

Извините, что встреваю со флудом, но таки не могу удержаться...
Выкиньте в форточку эту книгу! таки просто выкиньте в форточку!
Могу подробно обосновать эту рекомендацию, но то будет совсем мимо темы данной ветки...

[AlexDem]

zbl писал(а):

Извините, что встреваю со флудом, но таки не могу удержаться... Выкиньте в форточку эту книгу! таки просто выкиньте в форточку! Могу подробно обосновать эту рекомендацию, но то будет совсем мимо темы данной ветки...

Можно в личку, хотя если никто не возражает - можно и здесь...

[Freude]

Цитата:

Как иначе задать изменение системы?

Да, хорошо, что переехали, там это был флуд. Надо подумать над Вашим вопросом. С унитарными преобразованиями, содержащими время, Вы и Давыдов наверное правы. Тут наверное главное не то, что они содержат время, а то, что они содержат гамильтониан, который описывает эволюцию системы.

Цитата:

Могу подробно обосновать эту рекомендацию, но то будет совсем мимо темы данной ветки...

Ага, интереcно, обоснуйте, плз.

[zbl]

Freude писал(а):

Ага, интереcно, обоснуйте, плз.

Мне пришлось как-то придумывать вопросы на засыпку по квантовой механике для тренировки выпускника, который должен был пересдавать по ней экзамен.
Так тот очень слаб оказался, и вот уже дошли где-то до уравнения Шредингера.
От меня-то просили именно назасыпку, вот и говорю: в картине Гейзенберга (которую обычно называют представлением, хотя это и не совсем академично) уравнения Шредингера-то не будет, так? -- "Так", говорит студент (что он под этим понимал, я выяснять не стал, хотя было интересно).
А что будет вместо него? -- спрашиваю -- "Не знаю", -- говорит.
Ну, так про такие вещи в любом учебнике написано, иди учи -- ушёл.
Приходит, спрашиваю: нашёл? -- "Представление Гейзенберга нашёл, а про то, что будет вместо уравнения Шредингера в учебнике не написано." -- Знаем мы, как не написано, -- говорю.
Иди ещё раз прочитай, и найди ещё заоодно, чем волновой вектор (или иначе говорят квантовомеханическое состояние) отличается от волновой функции (эта та, квадрат модуля которой равен плотности вероятности).
Это в самом начале учебника нужно искать, ещё до того места, где в первый раз вводится понятие волновой функции.
Приходит в следующий раз и говорит, что ничего такого в книге нет совсем.
Я уже в понятном состоянии пребывая говорю: неси книгу, сам найду.
Приносит Давыдова.
Вы не поверите...

Я в таком шоке был, что даже подумал, что то у меня самого сдвиг по фазе и это я печатный текст перестал понимать.
Придя домой, побежал скорей читать начало Ландау и Лифшица... только тогда успокоился совсем...
Давыдов -- это не учебник, это нечто...
Уж лучше взять что-нибудь по общей физике, Л-Л, конечно, трудноват для чтения, особенно для не-физиков или физиков не-теоретиков.

[Freude]

Т.е. учебник плохой потому что весь материал сформулирован в "картине" Шредингера?

[zbl]

Freude писал(а):

Т.е. учебник плохой потому что весь материал сформулирован в "картине" Шредингера?

Какая разница в какой картине излагать? дело не в том.
Да это и не учебник вовсе.
Впрочем, я уже засомневался Давыдов ли это был, правда вряд ли я бы забыл фамилию автора такого шедевра...
Однако, надо бы скачать в электронном виде, ибо спускаться в библиотеку положительно лень.
Квантовая механика не такая простая дисциплина, чтобы в учебнике можно было что-то писать неясно или что-то важное опускать.
Не скачав, сейчас помню только самое начало, но и оно уже очень примечательно: типа, начинается книга с обоснования необходимости неклассической механики из-за невозможности объяснить некоторые экспериментальные факты.
Факты-то подобраны не лучшим образом, но дальше-то раз, и вводится понятие волновой функции и пошли поехали.
Между тем обоснованием необходимости в новой теории и введением волновой функции вообще ничего вразумительного не сказано.
Автор видимо вообще не представлял себе человека, который будет читать его книгу: это ж не учебник по общей физике для гуманитарных специальностей, читатель уже прошёл мимо курса общей физики, где ему обстоятельно рассказали об основных экспериментах, доказывающих необходимость новой теории и волновых свойствах элементарных частиц -- он всё это уже хорошо знает, и поэтому весь этот кусок материала совершенно тут бесполезен, и достаточно было одного абзаца или даже предложения.
Ни принципа суперпозиции (не математического выражения, а физического принципа), да вообще ничего нет: это не учебник и не по квантовой механике, не по физике -- точно.
Одним словом -- жуть.

Хороших книг по квантмеху море не мерянное.
Правда, какая больше подойдёт сильно зависит от того, какое базовое образование у читателя и покой ему сдалась квантмеханика.
Мне например очень запомнилась книга Борисоглебский Краткий курс квантовой механики.
Этот краткий курс толще тома Ландау, но он действительно краткий, просто, там все выкладки выписаны подробнее некуда.

Добавлено спустя 26 минут 38 секунд:

Попробовал вчитаться, но предмет обсуждения понимаю пока туго...

AlexDem писал(а):

Интересует же исключительно экспериментальная физика - то есть такой случай, когда математически оператор легален, а физически - соответствующий гамильтониан принципиально нереализуем (и соответственно - те принципы, почему не реализуем).

Это просто.
Если не ограничиваться отдельной дисциплиной, то запретить использование данного гамильтониана может только нарушение законов физики.
Физический же закон всяко можно описать как некоторую симметрию гамильтониана (тривиальное обобщение теоремы Нётер).
Но, разве в физике есть законы, которые нельзя никак нарушить?
Если бы такие законы были, то физический гамильтониан обязан был бы обладать соответствующими свойствами симметрии.
Даже, если, например, построить $H(x,p)$ так, что он равен единице при $x/p$ равном иррациональному числу и равен нулю в противном случае, то всё равно комбинируя внешние поля можно, думается, и такое реализовать.

Добавлено спустя 45 минут 33 секунды:

Freude писал(а):

Совет от новичка (в данный момент я пытаюсь освоить методы квантовой механики): уделите время на освоение формализма бра- и кет-векторов. С ними все записи станут компактными. Формализм бра-/кет-векторов, ИМХО, очень удобен и располагает к пониманию.

Очень полезный совет, присоединяюсь.
Могу порекомендовать книгу: Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики.
Легко доступна в электронном виде.

[AlexDem]

zbl писал(а):

Мне например очень запомнилась книга Борисоглебский Краткий курс квантовой механики.

Зато у этой книги есть один очевидный минус - её не найти в электронном виде

Freude писал(а):

Если подситемы взаимодействующие, то они уже одна система, которая характеризуется своим вектором состояния. Но, взаимодействие может быть очень малым, тогда состояния подсистемы будут возмущаться под влиянием других подсистем.

Нет, рассмотрите ЭПР-пару. Там никакого взаимодействия нет, но каждая из частиц не имеет собственной волновой функции. Есть только волновая функция полной системы.

Freude писал(а):

AlexDem писал(а):

смесь не может описываться вектором состояния

Почему не может? Вектором состояния может описываться что угодно - это главный постулат квантовой механики, если речь не идет об открытых системах с неполной информацией.

Смесь не описывается вектором состояния по определению. Если состояние описывается волновой функцией (вектором состояния) - это не смесь. Тот же Давыдов в параграфе 14 (с.59) пишет: "Если система находится в смешанном состоянии, т. е. в состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, <...>".

Менский в приведённой мной ранее статье пишет:

Цитата:

Иногда различают два типа смешанных состояний, имеющих одинаковые матрицы плотности: 1) собственные смешанные состояния замкнутой системы, которые возникают, если неизвестно точно, в каком из чистых состояний эта система находится, и 2) несобственные смешанные состояния, возникающие, как в нашем случае, при редуцировании, т.е. при переходе от замкнутой системы к её подсистеме. <...> Никакими опытами, проведёнными в рамках некоторой системы, находящейся в смешанном состоянии, невозможно выяснить, является ли эта система замкнутой (и тогда смесь описывает неполное знание) или открытой (и тогда она является следствием запутывания системы с окружением).

В принципе, я совсем недавно пытался свести запутанные состояния к первому типу (недостатку знаний о подсистеме), но это не прошло, так как существуют несепарабельные состояния - их нельзя разделить даже формально. Приведу здесь основные моменты того обсуждения:

AlexDem писал(а):

Например, можно рассмотреть случай когда две системы $x = |a1>|a2>$ и $y = |b1>|b2>$ при взаимодействии обмениваются своими частями и потом расходятся в виде $m = |a1>|b2>$ и $n = |b1>|a2>$. Но пусть мы ничего не знаем о составляющих подсистемах и считаем, что две системы $x$ и $y$ провзаимодействовали, запутались и разошлись. Далее, если мы будем рассматривать только систему $m$ в отдельности, то, очевидно, мы "потеряем" часть $|a2>$ исходной системы $x$. А при рассмотрении неполной системы, как известно, приходится прибегать к матрице плотности - точно так, как описано у Менского в случае с резервуаром.

AlexDem писал(а):

Важно лишь то, что состояние одной системы записывается в состоянии другой. Или можно сказать - происходит обмен информацией, которая, естественно, обязана иметь материальный носитель. поэтому встаёт вопрос о том - что считать системой.

AlexDem писал(а):

Возьмём 2 листа бумаги разного размера, нарисуем на них две совершенно одинаковые окружности в центре и вырежем кружки по этим окружностям. Запишем, что же такое мы сделали: пусть $a1$, $b1$ - состояния исходных листков, $a2$, $b2$ - те же листки с дырками, $S$ - преобразование "вырезать круг", а $c$ - состояние кружка (они одинаковы для обоих кружков в силу их равенства). Тогда наше преобразование для первого и второго листка запишется в виде:
$|a2>|c> = S|a1>$
$|b2>|c> = S|b1>$
Допустим, нас интересует только кружок, а остальные части листов мы выбрасываем в мусор. Тогда преобразование $S$ не может быть линейным, поскольку преобразовало разные листки в равные кружки. То есть это преобразование не описывается средствами КМ в принципе. Таким образом, простым неосторожным выбором результирующей системы мы можем выйти за пределы действия её формализма (хм, а верно ли мы выбрали систему $m$ тогда?).

Нет, забывать про оставшиеся части нельзя, говорим мы себе, и рассматриваем ситуацию в комплексе - кружки вместе с остатками листков. Но что такое $|a2>|c>$? Это как раз исходная система $|a1>$ с применённым оператором вырезания: $S|a1>$. И если мы приспособим к первому кружку остаток второго листа, то мы получим другую систему, а система $S|a1>$ никуда не денется - просто она теперь будет расположена в пространстве не локальным образом: кружок войдёт в состав одной системы, а остаток листа - другой. И её состояние по-прежнему остаётся чистым.

Понятно, что этот пример не описывает все случаи (хотя не всё же, по-моему, не является интерпретацией скрытых параметров, если верно то, что вектор состояния существует объективно). Не описывает всех случаев потому, что, по крайней мере, существуют несепарабельные состояния – векторы которых не могут быть представлены тензорным произведением других векторов даже формально.

В случае волновых функций наблюдается та же самая картина. Я нашёл более подробное рассмотрение молекулы водорода у Блохинцева " Основы квантовой механики", с.555. Там решением УШ $[H_a(1) + H_b(2)]\psi = E\psi$ просто выбирается функция вида $\psi(x_1, x_2) = \varphi(x_1)\varphi(x_2)$. Тому же уравнению формально удовлетворила бы и функция $\psi(x_1, x_2) = \varphi(x_1) + \varphi(x_2)$. Так что, по-моему, в определённой степени это похоже на некоторое соглашение - главное, чтобы размерность пространства увеличилась. Хотелось бы выяснить этот момент поподробнее - но пока не могу сообразить, куда копать.

В любом случае, далеко не все функции $\psi(x_1, x_2)$ могут быть представлены в виде $\varphi(x_1)\varphi(x_2)$. Те, что не могут - по всей видимости будут соответствовать несепарабельным состояниям системы $\psi(x_1, x_2)$.

zbl писал(а):

Попробовал вчитаться, но предмет обсуждения понимаю пока туго...

Судя по ответу - понимаете . Как было выяснено, каждому унитарному оператору соответствует некоторое множество гамильтонианов, вопрос теперь только в том, каждому ли гамильтониану соответствует некоторая физреальность.

Только ответ для меня разобрать сложновато - не могли бы Вы его развернуть? Ну, например, что означает симметрия гамильтониана в данном случае?

[zbl]

AlexDem писал(а):

zbl писал(а):

Мне например очень запомнилась книга Борисоглебский Краткий курс квантовой механики.

Зато у этой книги есть один очевидный минус - её не найти в электронном виде :)

Ну, это не от неё зависит...
Полные координаты у неё, видимо, такие:
www.lib.unn.ru/php/catalog.php?Index=11&IdField=273963&DB=1

AlexDem писал(а):

Нет, рассмотрите ЭПР-пару. Там никакого взаимодействия нет, но каждая из частиц не имеет собственной волновой функции. Есть только волновая функция полной системы.

"ЭПР-пара" -- это кто такой?
Если взаимодействие было, но потом выключилось, то волновой функции действительно не будет? или как?
Конец рабдня...

AlexDem писал(а):

Смесь не описывается вектором состояния по определению. Если состояние описывается волновой функцией (вектором состояния) - это не смесь. Тот же Давыдов в параграфе 14 (с.59) пишет: "Если система находится в смешанном состоянии, т. е. в состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, <...>".

Смешанным по определению называют состояние без волновой функции (с матрицей плотности).

AlexDem писал(а):

Как было выяснено, каждому унитарному оператору соответствует некоторое множество гамильтонианов, вопрос теперь только в том, каждому ли гамильтониану соответствует некоторая физреальность.

Нефизреальность -- эта такая реальность, которая противоречит законам физики.
Закон физики математически обычно описывается уравнением там каким-нибудь.
Законы сохранения -- очень частный случай.
Но если уравнение, соответствующее закону, есть свойство гамильтониана, то это только то означает, что есть некая группа преобразований гамильтониана, относительно которой тот инвариантен (для законов сохранения -- это теорема Нётер).
Например, если импульс сохраняться должен, то гамильтониан должен быть трансляционно инвариантным.

[AlexDem]

zbl писал(а):

"ЭПР-пара" -- это кто такой?

Та пара, что фигурирует в Парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена

zbl писал(а):

Если взаимодействие было, но потом выключилось, то волновой функции действительно не будет? или как?

Да:

Доронин писал(а):

После взаимодействия состояния подсистем могут быть только смешанными, для них нельзя записать векторы состояния.

[Freude]

Цитата:

Менский в приведённой мной ранее статье пишет:
Цитата:
Иногда различают два типа смешанных состояний, имеющих одинаковые матрицы плотности: 1) собственные смешанные состояния замкнутой системы, которые возникают, если неизвестно точно, в каком из чистых состояний эта система находится, и 2) несобственные смешанные состояния, возникающие, как в нашем случае, при редуцировании, т.е. при переходе от замкнутой системы к её подсистеме. <...> Никакими опытами, проведёнными в рамках некоторой системы, находящейся в смешанном состоянии, невозможно выяснить, является ли эта система замкнутой (и тогда смесь описывает неполное знание) или открытой (и тогда она является следствием запутывания системы с окружением).

Все понятно. Меня сбила с толку терминология. В западной литературе часто называют смешаным состоянием состояние, которое является линейной комбинацией других состояний. Т.е. система характеризуется состояниями $|a>$ и $|b>$, потом с ней что-то сделали и ее собственными состояниями стали: $|a'>=c_{11} |a>+ c_{12} |b>$, $|b'>=c_{21} |a>+ c_{22} |b>$ Гамильтониан был вначале диагональным, потом, вследствии добавления дополнительного члена, стал недиагональным. Коэффициенты $c_{ij}$ находятся путем диагонализации нового гамильтониана. В журналах это называется mixing effect. Например в полупроводниках есть band mixing effect.

[AlexDem]

Сдаётся мне, что я видел где-то и наш термин "когерентная смесь", но не припомню где.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 35 секунд:

zbl писал(а):

Например, если импульс сохраняться должен, то гамильтониан должен быть трансляционно инвариантным.

Я всё-таки не уловил из Ваших ответов - такие гамильтонианы есть, или таких гамильтонианов - нет? Можно ли привести пример гамильтониана, несимметричного относительно трансляций? (Просто я с ними вообще дела никогда не имел, поэтому туго соображаю).