ДУ с обобщенной функцией.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1172999 писал(а):

Бредовое, какое-то уравнение

Это уравнение вполне нормальное и даже замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение

$$ x'(t)=f(x(t))\delta (t-T). $$

Очевидно, что решение постоянно при $t<T$ и при $t>T$, и может иметь скачок при $t=T$. Но
Произведение справа неопределено, если $f(x(t))$ имеет разрыв при $t=T$. Поэтому правая часть определена
только если math]$f(x(t))$[/math] непрерывна в $t=T$.

Поэтому, если $f$ строго монотонна, то это может быть только когда $x(t)$ непрерывна при $t=T$ Т.е. единственным решением будет$x(t)=c$, где $f(c)=0$.

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\mp$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.

$$\left\{\begin{aligned} &f(c_-)=f(c_+)=d,\\ &c_+ -c_-=d.\qquad \text{corrected}\\ \end{aligned}\right.$$

Первое уравнение это условие непрерывности $f(x(t))$. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\mp$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.

$$\left\{\begin{aligned} &f(c_-)=f(c_+)=d,\\ &c_+ -c_-=d.\qquad \text{corrected}\\ \end{aligned}\right.$$

Первое уравнение это условие непрерывности $f(x(t))$. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

Мне кажется тут че-то не то. По первому условию функция не будет непрерывной, ибо в $x(T)$ она неопределена, ровно как неопределено произведение справа.
Вот попробуйте решить задачу через представлению дельта-функции в виде равнобедренного треугольника с бесконечно малым основанием и бесконечно большой высотой, площадь которого единица (т.к. мы дельту тут только интегрируем, то такое представление пойдет), фигня же выйдет.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1288717 писал(а):

ибо в $x(T)$ она неопределена

На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1288719 писал(а):

На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

Только на такие, которые определены в $k$.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1288720 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1288719 писал(а):

На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

Только на такие, которые определены в $k$.

Отнюдь. Непрерывные в $k$

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1288724 писал(а):

Отнюдь. Непрерывные в $k$

Так они не могут быть непрерывными если они неопределены в $k$.
Так что насчет моей задачки?

[Lia]

Sicker в сообщении #1288778 писал(а):

Так что насчет моей задачки?

Sicker
Своей задачкой занимайтесь у себя в теме, а не в других и не по ЛС.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):

е замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение

$$ x'(t)=f(x(t))\delta (t-T). $$

а в каком смысле мы понимаем производную в левой части? Если в смысле теории обобщенных функций т.е.

$$-\int_\mathbb{R}x(t)\psi'(t)dt=f(x(T))\psi(T),\quad \forall \psi\in \mathcal D(\mathbb{R})$$

Отсюда следует что $f(x(T))=0$ и $x(t)=const$ почти всюду. Те решение данного дифура это $x(t)=c$ где $c$ это любой корень функции $f$, которую я подразумеваю непрерывной на $\mathbb{R}$

-- 31.01.2018, 13:21 --

по-крайней мере это так в классе функций $x(t)\in C(\mathbb{R})$

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1288790 писал(а):

по-крайней мере это так в классе функций $x(t)\in C(\mathbb{R})$

Конечно, но могут быть и решения со скачками: см.
сообщение #1173059

Нам же нужна непрерывность $f(x(t))$, а не $x(t)$

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1288812 писал(а):

Нам же нужна непрерывность $f(x(t))$

Так она не будет непрерывной, если неопределена в какой-то точке. (т.е. она там как бы может испытывать скачок)

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1288812 писал(а):

о, но могут быть и решения со скачками: см.
сообщение #1173059

выходит, что вы решение уже написали, а что мы обсуждаем? :)

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1288825 писал(а):

выходит, что вы решение уже написали, а что мы обсуждаем? :)

Как что, его нелегитимность!

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1288818 писал(а):

Так она не будет непрерывной, если неопределена в какой-то точке. (т.е. она там как бы может испытывать скачок)

Именно, что "как бы". Про устранимые особенности слышали?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1288914 писал(а):

Именно, что "как бы". Про устранимые особенности слышали?

Ну дык слышал, только это особенность в точке, но дельта-функция тоже определена в точке. Т.е. у них области определения пересекаются, и там выходит тоже самое, что и при разрывной функции.
Вот решите ваше уравнение с апроксимацией дельта-функции хотя бы ступенькой, там вылезает то же самое что и было бы в случае монотонной $f$ и разрывном $x(t)$

[Lia]

Sicker
Ну раз уж Вы сюда влезли, пишите определение дельта-функции тут. А то все разговор не пойми о чем. Вернее, все об одном, а Вы о чем-то другом, похоже.