Простое ОДУ с обобщенной функцией ?

[Divergence]

Рассмотрим уравнения
$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T), \quad (1)$
$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)+f(x(t)) \delta(t-2T), \quad (2)$
где T - положительное число, $\delta(\tau)$ - дельта функция Дирака, а $f(x(t))$ например $f(x(t))=x^2(t)$.

На физическом уровне строгости, решаю так: Интегрирую уравнение сначала от от нуля до t<T, а потом от нуля до t>T,
$ \int^t_0 d\tau \, D^1_\tau x(\tau)= \int^t_0 d\tau \, f(x(\tau)) \delta(\tau-T)$
получаю
$ x(t)-x(0)=0 \quad (0<t<T),$
$ x(t)-x(0)= f(x(T))\quad (t>T),$
объединяю решения в виде
$ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T))\quad (t>0),$
где $H(z)$ - функция Хевисайда ($H(z)=0$ при $z<0$, $H(z)=1$ при $z\ge 0$).
Аналогично получаю решение для уравнения (2):
$ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T)) + H(t-2T) \, f(x(2T)) \quad (t>0).$

Однако решение - полученная функция не дифференцируема в стандартном смысле.
Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором пространстве основных функций.
Вопрос: Как записать получение решений более строго (используя теорию обобщенных функций) ?

Записываю уравнение в функциональном виде
$<D^1_t x(t);\phi(t)> =<f(x(t)) \delta(t-T);\phi(t)> \quad (3a).$
на пространстве основных функций $\phi(t)$ всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке.
Перекидываю производную (интегрирование по частям) и функцию
$ - <x(t); D^1_t \phi(t)> =<\delta(t-T); f(x(t)) \phi(t)> \quad (3b).$

и что делать дальше?

[amon]

Divergence в сообщении #1172981 писал(а):

$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T), \quad (1)$

Бредовое, какое-то уравнение. Если все правильно сделать, то получится условие в точке $T$:
$x(T+0)-x(T-0)=f(x(T))$, т.е. разрыв функции определяется ее значением в точке разрыва.

[Divergence]

Как аккуратно получить решение на языке функционалов (обобщенных функций) на пространстве основных функций?

[Markiyan Hirnyk]

Может оказаться полезным ответ к $x'(t)=x(t)^2 \delta(x-T)$, производимый как Мэйплом, так и Математикой (с точность до обозначений): $x \left( t \right) =- \left( {\it Heaviside} \left( t-T \right) -{\it \_C} \right) ^{-1}, $ где ${\it \_C}$ - постоянная, а ${\it Heaviside}$ - функция Хевисайда. Понятно, что это какое-то обобщенное решение, а не классическое. В общем случае с $f(x(t))$ обе системы производят общее решение в неявном виде.

[Divergence]

Мне нужно не просто получение решения, а именно получение (пошаговое обоснование) на языке теории обобщенных функций.

[Markiyan Hirnyk]

Знание ответа полезно. В частности, он противоречит результату ваших попыток.

[Divergence]

Решение полезно, но оно уже выписано: $ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T))\quad (t>0).$

Можно по другому $x(T+0)=x(T-0)+ f(x(T)), где
$x(T-0)=x(0); $x(T+0)=x(t) \quad (t>T).

[Markiyan Hirnyk]

И Мэйпл, и Математика производят результат, сильно отличающийся от вашего:
${\it Heaviside} \left( t-T \right) -\int ^{x \left( t \right) }\! \left( f \left( {\it \_a} \right) \right) ^{-1}{d{\it \_a}}+{\it \_C}=0. $

[amon]

Divergence,
Уравнение $D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)$ имеет формальное решение $x(t)=f(\theta(0))\theta(t-T)+C,$ но $\theta(0)$ это все, что угодно, значит и ответ какой угодно.

[Markiyan Hirnyk]

amon в сообщении #1173044 писал(а):

Divergence,
Уравнение $D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)$ имеет формальное решение $x(t)=f(\theta(0))\theta(t-T)+C,$ но $\theta(0)$ это все, что угодно, значит и ответ какой угодно.

Пожалуйста, обоснуйте это.

[Red_Herring]

Markiyan Hirnyk
Я обращал уже ваше внимание, что недопустимо ставить в разделе ПРР решения, некорректно полученные с помощью систем типа Мэпла и Математики. Обобщенных функций вы не знаете, равно как и ОДУ и УЧП.

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):

amon в сообщении #1172999 писал(а):

Бредовое, какое-то уравнение

Это уравнение вполне нормальное и даже замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение

$$ x'(t)=f(x(t))\delta (t-T). $$

Очевидно, что решение постоянно при $t<T$ и при $t>T$, и может иметь скачок при $t=T$. Но
Произведение справа неопределено, если $f(x(t))$ имеет разрыв при $t=T$.
Поэтому, если f монотонна, то это может быть только когда $f(x(t))$ непрерывна в $t=T$. Т.е. единственным решением будет$ x(t)=c$, где $f(c)=0$.

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\pm$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.

$$\left\{\begin{aligned} &f(c_-)=f(c_+)=d,\\ &c_+ -c_-=f(d).\\ \end{aligned}\right.$$

Первое уравнение это условие непрерывности. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

Для $f(x)=x^3$ Мэйпл производит ответ, отличающийся от предложенного вами:

dsolve((D(x))(t) = x(t)^3*Dirac(t-T), x(t));
x(t) = 1/sqrt(_C1-2*Heaviside(t-T)), x(t) = -1/sqrt(_C1-2*Heaviside(t-T))

-- 30.11.2016, 16:21 --

Red_Herring в сообщении #1173065 писал(а):

Markiyan Hirnyk
Я обращал уже ваше внимание, что недопустимо ставить в разделе ПРР решения, некорректно полученные с помощью систем типа Мэпла и Математики. Обобщенных функций вы не знаете, равно как и ОДУ и УЧП.

Привожу компьютерные решения для сравнения. Необоснованные высказывания о моей компетенции не производят положительное впечатление.

[Red_Herring]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1173066 писал(а):

отличающийся от предложенного вами:

Запишите ответ в LaTeX, как положено по правилам форума. И тогда поговорим. При этом без ссылок на то "а я считал, у меня получилось".

-- 30.11.2016, 09:32 --

Вполне возможно, что и Мэпл и Математика используют неявное и нестандартное определение $g(t)\delta (t)=\frac{1}{2}(g(+0)+g(-0))\delta(t)$, если $g$ имеет скачок в $0$. Увы, помимо сомнительных достоинств подобное нововведение имеет несомненные недостатки, и потому должно быть отвергнуто.

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, вот решения, протранслированные в LaTeX: $x \left( t \right) ={\frac {1}{\sqrt {{\it \_C}-2\,{\it Heaviside} \left( t-T \right) }}} $ и $x \left( t \right) =-{\frac {1}{\sqrt {{\it \_C}-2\,{\it Heaviside} \left( t-T \right) }}}. $ Здесь ${\it \_C}$- постоянная, а ${\it Heaviside}$ - функция Хевисайда. Мэйпловские обозначения зачастую несколько отличаются от стандартных математических обозначений.

Цитата:

Вполне возможно, что и Мэпл и Математика используют неявное и нестандартное определение $g(t)\delta (t)=\frac{1}{2}(g(+0)+g(-0))\delta(t)$, если $g$ имеет скачок в $0$. Увы, помимо сомнительных достоинств подобное нововведение имеет несомненные недостатки, и потому должно быть отвергнуто.

Необоснованные высказывания не производят положительное впечатление.

[Red_Herring]

Ну и теперь: 1) распишите значения при $t<T$ и $t>T$ и подставьте в уравнение, чтобы проверить, удовлетворяется ли оно,.