2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение05.02.2018, 05:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker в сообщении #1290175 писал(а):
Я думаю чтобы нас рассудить надо позвать в тему Munin и amon, тогда счет будет 3:2

При всем уважении, и Munin, и amon--физики, и звать их рассудить чисто математический вопрос--нелепо. И, я почему-то думаю что вы сильно ошибаетесь по поводу счета
Sicker в сообщении #1290175 писал(а):
Кстати, в моем решении функция $f$ просто постоянна, а не немонотонна

Функция $f$ задана, а не является решением.

(Оффтоп)

Нет, похоже что перерыв в активности на форуме вам явно на пользу не пошел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение05.02.2018, 05:42 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1290177 писал(а):
При всем уважении, и Munin, и amon--физики

Вот собственно поэтому я их и позвал :D
Red_Herring в сообщении #1290177 писал(а):
и звать их рассудить чисто математический вопрос--нелепо.

Никто вам не давал монополию на понимание дельта-функции :roll:
Red_Herring в сообщении #1290177 писал(а):
Функция $f$ задана, а не является решением.

Я имею ввиду, что функция должна иметь такой вид чтобы было решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение05.02.2018, 07:22 


20/03/14
12041
 !  Sicker
Достаточно. Предупреждение за захват темы. Эта часть будет отделена.


Определения учите. Хотите вводить другие - обосновывайте, почему они равносильны старым. В учебном разделе диктовать ответы отвечающим нелепо.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 15:17 
Модератор


19/10/15
1196
 !  Sicker, тему открыл, если хотите ее обсуждать - приведите определения $\delta$-функции и решения ДУ с обобщенными функциями, которыми Вы пользуетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 15:49 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Я пользуюсь стандартным определением дельта-функции, не в этом суть. Я не согласен с этим выражением $f(\theta(x))\delta(x)$ как осмысленным (где $\theta(x)$ - функция Хэвисайда, а $f(0)=f(1)$). Потому что если взять ее производную, то вылезает дельта в квадрате, что является глубокой патологией с точки зрения чистых математиков. И у этого выражения поэтому не будут свойства дельта-функции как линейного функционала.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 16:51 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Sicker в сообщении #1291411 писал(а):
Я не согласен с этим выражением $f(\theta(x))\delta(x)$ как осмысленным (где $\theta(x)$ - функция Хэвисайда, а $f(0)=f(1)$).

Вы не считаете осмысленным умножение дельта-функции на константу? :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker в сообщении #1291411 писал(а):
то вылезает дельта в квадрате, что является глубокой патологией с точки зрения чистых математиков

Скажите это Ж. Ф. Коломбо, Ю.В.Егорову и В.К.Иванову. Впрочем, я с Вами полностью и искренне согласен, и хочу иметь дело со Шварцевскими обобщенными функциями, а не с патологиями и прочими извращениями (в которым мосье Коломбо толк понимает) :D

Но поскольку $f(x(t))$ непрерывна при $t=T$, при ее дифференцировании никакой $\delta$ функции не возникает, и соответсвенно никакого квадрата ее не будет. А для этой непрерывности необходимо и достаточно, чтобы $f(c_-)=f(c_+)$, что и было потребовано.

В частности, в Вашем примере $f(\theta(x))$ будет константой при условии $f(0)=f(1)$, а уж на константу умножать дельту никому не заказано, даже таким пуристам как мы :D

Ну и дифференцируете Вы как то странно. Скажем, мы дифференцируем произведение $\theta (x)\theta(-x)$, которая равна $0$ тождественно (если мы определяем $\theta (x)=0$ при $x\le 0$, $\theta (x)=1$ при $x> 0$). Согласно Лейбницу должно получиться $\delta(x)\theta(-x) -\theta(x)\delta(x)$ и поскольку ни один из членов смысла не имеет (для нас, пуристов), а является патологией, то согласно Вашей логике $\theta (x)\theta(-x)$ тоже смысла не имеет.

-- 09.02.2018, 09:02 --

Sicker в сообщении #1290178 писал(а):
Вот собственно поэтому я их и позвал

А они на зов не откликнулись...

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1291432 писал(а):
А они на зов не откликнулись...
Что там насчет лиха-то было...
А вот тоже блесну необразованностью и вопрос задам. Пусть $f(x)=e^x.$ Тогда, согласно вышеизложенному, уравнение, вроде как, решения не имеет. А что, если я по крестьянской простоте напишу $x(t)=\theta(t)$ с условием $\theta(0)=0.$
Проверяем себя:
$$
\begin{align}
x'=\theta'(t)&=\delta(t)\\
\int x'(t)\varphi(t)dt&=\varphi(0)\\
\int e^x\delta(t)\varphi(t)dt&=e^0\varphi(0)=\varphi(0)
\end{align}
$$Т.е. формально всё выполнено. Есть нюанс, связанный с тем, что в правой части стоит произведение, запрещенное религией. Но если я поклянусь мамой и здоровьем покойных родителей, что я ничего дифференцировать больше не буду, а интегрировать буду только с хорошенькими финитными бесконечно дифференцируемыми функциями, то что мешает провозгласить это решением?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 18:01 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
у вас функция $e^{\theta(t)}$ разрывна в нуле, а дельта-функция не определена на разрывных функциях. Нет канонического способа продолжить линейный функционал $\delta$ с пространства скажем $C[-1,1]$ до непрерывного функционала на пространство кусочно непрерывных функций на $[-1,1]$ с нормой равномерной сходимости. Т. е. такое продолжение не единственно

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1291445 писал(а):
Нет канонического способа

Разумеется можно взять какой-нибудь способ (их всего однопараметрическое семейство, при условии локальности) и объявить его каноническим. Тогда это уравнение будет пониматься в рамках расширенного определения и количество решений увеличится. А оно нам надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 19:33 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1291458 писал(а):
азумеется можно взять какой-нибудь способ (их всего однопараметрическое семейство) и объявить его каноническим.

не, ну можно и на $L^\infty$ продолжить по теореме Хана-Банаха :)

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 20:18 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
amon в сообщении #1291439 писал(а):
что мешает провозгласить это решением?
Да ничего не мешает. Просто по идее надо сначала сказать, в каком пространстве ищем решение, в каком смысле понимается производная, что такое $\delta$, откуда можно брать $f$ и что такое композиция $f$ с $x$. А тут происходит игра, которая называется "дополни набор символов до корректного условия задачи максимально разумным способом". А способов больше одного, и можно думать, какой разумнее. А можно играть в другую игру: "придумай ещё один набор символов, назови его решением, а потом думай, что это такое и для какой задачи это решение".

pogulyat_vyshel в сообщении #1291463 писал(а):
можно и на $L^\infty$ продолжить по теореме Хана-Банаха :)
Неконструктивно... А на кусочно непрерывных можно определить $\delta(g)=g(0)$ (вариант, который использует amon), или $\delta(g)=g(-0)$, или $\delta(g)=\frac12 (g(-0)+g(+0))$, или ещё что-нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение09.02.2018, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1291458 писал(а):
А оно нам надо?
Вам не знаю, а нам частенько надо. Периодически приходится считать что-то вроде
$$
\lim\limits_{a\to0,b\to0}\int dx\frac{a-b}{(x-a+i0)(x-b-i0)}
$$(Для знатоков - это поляризационная петля, упрощенная до безобразия.) При этом результат зависит от порядка взятия пределов, и в этом месте нужны сложные упражнения с бубном, что бы получить хороший результат. Результат этот будет наблюдаемой величиной, и можно свериться с ответом у самого господа бога. У меня в этом месте всю жизнь возникает ощущение, что я не знаю чего-то, что без этого бубна позволяет обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
amon в сообщении #1291489 писал(а):
Периодически приходится считать что-то вроде

Для начала, что такое
$$(a-b)(x-a+i0)^{-1}(x-b-i0)^{-1}$$
Канонического определения нет. Но разумная интерпретация:
$$(x-b-i0)^{-1}-(x-a+i0)^{-1},$$
где оба слагаемых определены.

Действительно, если есть аналитическая функция $f(z)$ в верхней (нижней) комплексной полуплоскости, которая при приближении к вещественной оси растет не быстрее, чем $C|\operatorname{Im} z|^{-M}$, то определена обобщенная ф-я $f(x\pm i0)$. В частности, определены
$$(x\pm i0)^{-1}=x^{-1}\mp \pi i\delta (x),$$
где действие $x^{-1}$ понимается в смысле главного значения интеграла $\int x^{-1}\varphi(x)\,dx$, и потому $x^{-1}= (\ln |x|)'$. Посему при $(a-b)\to 0$ мы имеем $(x-a)^{-1}-(x-b)^{-1}$ стремится к $0$ (в смысле теории обобщенных функций, разумеется. Более того, $(a-b)^{-1}[(x-a)^{-1}-(x-b)^{-1}]$ имеет предел, равный $-[(x-a)^{-1}]' = -[\ln |x-a|]''$.

А вот $\pi i [ \delta (x-a)+\delta (x-b)]$ очевидно стремится к $2\pi i \delta(x-a)$. И все без шаманизма и прочих извращений (в которых понимает толк месье Коломбо) и глубоких патологий.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Замечание

1) Когда мы берем предел $f(x\pm i0)$, мы получаем обобщенную функцию, которая распространяется на $C_0^{s}$ при любом $s>M$. М.б. даже можно улучшить это в общем случае.

2) На самом деле, полной аналитичности не надо, достаточно чтобы $|\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}|\le C'|\operatorname{Im} z|^N$ с $N=N(M)$. Можно это $N(M)$ указать, но неинтересно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group