ДУ с обобщенной функцией.

[Sicker]

Lia
Я использую стандартное определение из вики delta-function

-- 01.02.2018, 13:44 --

Lia
Сейчас перепишу то уравнения в апроксимации дельта-функции в вике ступенька.

-- 01.02.2018, 14:04 --

Собственно, вот.
Дано уравнение $y'=(\pi+\sin(y-c_1))\delta(t)$. Все условия для $f$ соблюдены $f(c_1)=f(c_2=c_1+\pi)=c_2-c_1=\pi$
Пусть до некоторого момента времени $t=0$ решение было $y_0=c_1$
Рассмотрим аппроксимацию дельта-функции в виде ступенька $\delta(t)=1/d при $t=(0:d)$
Тогда уравнение на $t=(0:d)$ примет вид $y'=\frac{(\pi+\sin(y-c_1))}{d}$
Значение $y(d)$ должно быть равным $c_2=c_1+\pi$, но очевидно что оно не будет его равно по итогам эволюции по этому уравнению.
И если для удобства расcмотреть его в новом времени $t_1=\frac{t}{d}$, то оно примет вид
$y'=(\pi+\sin(y-c_1))$
$y_0=c_1$; $t_1=(0:1) $

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1289085 писал(а):

Ну дык слышал, только это особенность в точке, но дельта-функция тоже определена в точке.

А разница между обычными, хотя и не очень хорошими функциями и "дельтой" Вам не известна.

Sicker в сообщении #1289098 писал(а):

Сейчас перепишу то уравнения в апроксимации дельта-функции в вике ступенька.

Марк Твен в «Как я редактировал сельскохозяйственную газету» писал(а):

– Потрясите вашу бабушку! Брюква не растет на дереве!

Если Вы замените дельту ее аппроксимацией, задача потеряет всякий смысл.

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1289098 писал(а):

Тогда уравнение на $t=(0:d)$ примет вид $y'=\frac{(\pi+\sin(y-c_1))}{d}$

Именно так. Только надо правильно понимать что тут написано, а написано тут вот что
Для любого $\psi\in\mathcal D(\mathbb{R}),\quad \mathrm{supp}\,\psi\subset(0,\infty)$ верно следующее

$$-\int_{\mathbb{R}}y(t)\psi'(t)dt=\lim_{d\to 0}\int_0^d\frac{(\pi+\sin(y(t)-c_1))}{d}\psi(t)dt$$

это действительно верно для $y(t)=c_2$ при $t>0$ Получается $0=0$

-- 01.02.2018, 16:26 --

а теперь сами проверьте равенство

$$-\int_{\mathbb{R}}y(t)\psi'(t)dt=\lim_{d\to 0}\int_0^d\frac{(\pi+\sin(y(t)-c_1))}{d}\psi(t)dt$$

для $\psi\in\mathcal D(\mathbb{R}),\quad \psi(0)\ne 0$
когда $y(t)=c_1,\quad t<0$
и $y=c_2,\quad t>0$

-- 01.02.2018, 16:26 --

при этом $y(0)$ можете выбрать на свой вкус

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1289123 писал(а):

Если Вы замените дельту ее аппроксимацией, задача потеряет всякий смысл.

Если в задаче дельту нельзя заменить аппроксимацией, то задача вообще не имеет никакого смысла. Если мы можем показать, что ответ не зависит от аппроксимации дельта, то значит можно решить и просто использую только символьную дельта. А у вас получается, что предельные решения не стремятся к истинному.

-- 01.02.2018, 16:16 --

pogulyat_vyshel
"Бузина в огороде, а дядька в Киеве"
Это вы к чему и что вообще написали?

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1289147 писал(а):

Если в задаче дельту нельзя заменить аппроксимацией, то задача вообще не имеет никакого смысла. Если мы можем показать, что ответ не зависит от аппроксимации дельта, то значит можно решить и просто использую только символьную дельта. А у вас получается, что предельные решения не стремятся к истинному.

-- 01.02.2018, 16:16 --

pogulyat_vyshel
"Бузина в огороде, а дядька в Киеве"
Это вы к чему и что вообще написали?

Безнадежный случай

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1289148 писал(а):

Безнадежный случай

Не, надежда есть. Пока теплится. Просто этого клиента я дольше знаю.

Sicker в сообщении #1289147 писал(а):

символьную дельта

Так дельта это вовсе не просто символ, а вполне конкретный математический объект.

[Sicker]

pogulyat_vyshel
не хамите мне молодой человек, а то модераторы не заставят себя ждать
Взять хотя бы

Цитата:

это действительно верно для $y(t)=c_2$ при $t>0$ Получается $0=0$

при $t=0$ у нас $y(t)=c_1$, и ваша запись тогда нуждается в уточнении.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Red_Herring слов "символьную дельта" я не произносил

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1289152 писал(а):

Так дельта это вовсе не просто символ, а вполне конкретный математический объект.

Его можно понимать как слабый предел из синуса деленного на икс?

[Red_Herring]

(pogulyat_vyshel)

Не Вы, я поправил, извините (кнопочки попутал)

-- 01.02.2018, 08:43 --

Sicker в сообщении #1289155 писал(а):

Его можно понимать как слабый предел из синуса деленного на икс?

Вы что, действительно хотите оправдать диагноз?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1289159 писал(а):

Вы что, действительно хотите оправдать диагноз?

Нет я понял что вы имеет ввиду. Дескать сначала рассмотрим непрерывные функции, всюду определенные, выведем на них свойства дельта-функции, которые будут совпадать со свойствами предельных обычных функций, и теперь заменим определение непрерывных функций на такой - функция считается непрерывной в точке, если ее левый и правый предел совпадают. (и не важно определена ли она там) Но! Мы тогда потеряли те свойства, которые выполнялись для функций предельных для дельта-функции.
Ну все же, почему нельзя использовать функции, которые сходятся к дельта? Если нельзя, потому что нельзя, то ладно.

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1289153 писал(а):

при $t=0$ у нас $y(t)=c_1$

и каким же образом значение функции в одной единственной точке может повлиять на интеграл?

-- 01.02.2018, 18:36 --

ведь я вам уже намекал:

pogulyat_vyshel в сообщении #1289125 писал(а):

при этом $y(0)$ можете выбрать на свой вкус

как об стенку

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1289175 писал(а):

и каким же образом значение функции в одной единственной точке может повлиять на интеграл?

Так она там не в единственной точке, а плавно изменяется от $c_1$ до $c_2$ на $[0;d]$

pogulyat_vyshel в сообщении #1289175 писал(а):

как об стенку

горох

-- 01.02.2018, 17:58 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1289125 писал(а):

Только надо правильно понимать что тут написано

Нет, там вроде написано то что написано, и не больше

[pogulyat_vyshel]

Вообще-то если вы в дифференциальном уравнении меняете дельта-функцию на дельта-образную последовательность, то полученная последовательность классических решений классических систем ДУ совсем не обязана сходиться в каком-либо смысле к обобщенному решению исходной системы. В данном случае может и сходится, мне просто проверять лень.
И задачи Коши тут ставить тоже, вообще говоря, совершенно бессмысленно.
Дельта-образная последовательность сходится к дельта-функции $*-$ слабо в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ (ну или там в сопряженном к какому-нибудь пространству непрерывных или сколько то раз дифференцируемых функций) просто по определению. Вы хотели дельта-образную последовательность -- вот я вам выписал, ваш дифур в терминах предела дельта-образной последовательности. Вы можете перейти к этому пределу в этих формулах и убедиться, что решение, которое предложил Red_Herring это действительно решение, и что от значения $y(0)$ ни чего не зависит. Обобщенные функция это глобальный объект, даже такая простая как дельта-функция. И если вы видите дифур в обобщенных функциях, то понимайте, что на самом деле это интегральное тождество, даже если оно записано в форме дифура. И пытаться разглядывать обобщенные решения в отдельных точках -- это совершенно пустое занятие.

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1289198 писал(а):

В данном случае может и сходится, мне просто проверять лень.

Так вот очевидно, что не сходится

-- 01.02.2018, 19:17 --

pogulyat_vyshel
функция $y=x, при x\in R/0; y=2 , при x=0$ является или нет непрерывной в нуле?