2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение30.11.2016, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
amon в сообщении #1172999 писал(а):
Бредовое, какое-то уравнение
Это уравнение вполне нормальное и даже замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение
$$
x'(t)=f(x(t))\delta (t-T).
$$
Очевидно, что решение постоянно при $t<T$ и при $t>T$, и может иметь скачок при $t=T$. Но
Произведение справа неопределено, если $f(x(t))$ имеет разрыв при $t=T$. Поэтому правая часть определена
только если math]$f(x(t))$[/math] непрерывна в $t=T$.

Поэтому, если $f$ строго монотонна, то это может быть только когда $x(t)$ непрерывна при $t=T$ Т.е. единственным решением будет$x(t)=c$, где $f(c)=0$.

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\mp$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.
$$\left\{\begin{aligned}
&f(c_-)=f(c_+)=d,\\
&c_+ -c_-=d.\qquad \text{corrected}\\
\end{aligned}\right.$$
Первое уравнение это условие непрерывности $f(x(t))$. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 02:15 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):
Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\mp$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.
$$\left\{\begin{aligned}
&f(c_-)=f(c_+)=d,\\
&c_+ -c_-=d.\qquad \text{corrected}\\
\end{aligned}\right.$$
Первое уравнение это условие непрерывности $f(x(t))$. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

Мне кажется тут че-то не то. По первому условию функция не будет непрерывной, ибо в $x(T)$ она неопределена, ровно как неопределено произведение справа.
Вот попробуйте решить задачу через представлению дельта-функции в виде равнобедренного треугольника с бесконечно малым основанием и бесконечно большой высотой, площадь которого единица (т.к. мы дельту тут только интегрируем, то такое представление пойдет), фигня же выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Sicker в сообщении #1288717 писал(а):
ибо в $x(T)$ она неопределена

На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 02:26 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1288719 писал(а):
На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

Только на такие, которые определены в $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 04:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Sicker в сообщении #1288720 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1288719 писал(а):
На какие функции можно умножать $\delta(x-k)$?

Только на такие, которые определены в $k$.

Отнюдь. Непрерывные в $k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 11:51 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1288724 писал(а):
Отнюдь. Непрерывные в $k$

Так они не могут быть непрерывными если они неопределены в $k$.
Так что насчет моей задачки? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 12:12 


20/03/14
12041
Sicker в сообщении #1288778 писал(а):
Так что насчет моей задачки? :-)

Sicker
Своей задачкой занимайтесь у себя в теме, а не в других и не по ЛС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 12:16 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):
е замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение
$$
x'(t)=f(x(t))\delta (t-T).
$$

а в каком смысле мы понимаем производную в левой части? Если в смысле теории обобщенных функций т.е.
$$-\int_\mathbb{R}x(t)\psi'(t)dt=f(x(T))\psi(T),\quad \forall \psi\in \mathcal D(\mathbb{R})$$
Отсюда следует что $f(x(T))=0$ и $x(t)=const$ почти всюду. Те решение данного дифура это $x(t)=c$ где $c$ это любой корень функции $f$, которую я подразумеваю непрерывной на $\mathbb{R}$

-- 31.01.2018, 13:21 --

по-крайней мере это так в классе функций $x(t)\in C(\mathbb{R})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1288790 писал(а):
по-крайней мере это так в классе функций $x(t)\in C(\mathbb{R})$

Конечно, но могут быть и решения со скачками: см.
сообщение #1173059

Нам же нужна непрерывность $f(x(t))$, а не $x(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 13:25 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1288812 писал(а):
Нам же нужна непрерывность $f(x(t))$

Так она не будет непрерывной, если неопределена в какой-то точке. (т.е. она там как бы может испытывать скачок)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 13:34 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1288812 писал(а):
о, но могут быть и решения со скачками: см.
сообщение #1173059


выходит, что вы решение уже написали, а что мы обсуждаем? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 13:50 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
pogulyat_vyshel в сообщении #1288825 писал(а):
выходит, что вы решение уже написали, а что мы обсуждаем? :)

Как что, его нелегитимность! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение31.01.2018, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Sicker в сообщении #1288818 писал(а):
Так она не будет непрерывной, если неопределена в какой-то точке. (т.е. она там как бы может испытывать скачок)

Именно, что "как бы". Про устранимые особенности слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение01.02.2018, 13:14 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1288914 писал(а):
Именно, что "как бы". Про устранимые особенности слышали?

Ну дык слышал, только это особенность в точке, но дельта-функция тоже определена в точке. Т.е. у них области определения пересекаются, и там выходит тоже самое, что и при разрывной функции.
Вот решите ваше уравнение с апроксимацией дельта-функции хотя бы ступенькой, там вылезает то же самое что и было бы в случае монотонной $f$ и разрывном $x(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение01.02.2018, 13:18 


20/03/14
12041
Sicker
Ну раз уж Вы сюда влезли, пишите определение дельта-функции тут. А то все разговор не пойми о чем. Вернее, все об одном, а Вы о чем-то другом, похоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group