По тому что в (7.), куда или почему исчезают выражения в скобках, которые были в (6.)? Если же считаете степени тройки в левой и правой частях, то зачем тогда в (7.) нужны буквы, обозначающие переменные? Если

сократить на

, то это совсем не

, как у вас записано. Так что подробно объясните, что у вас в (7.) и как это получается.
Берем выражение (6.)
![$$\frac{1}{9}a+2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$\frac{1}{9}a+2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/2/6b282eae3995ce5b748da93222c9580d82.png)

![$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/b/16bb687c632feab6cb4529630a87010d82.png)
Считаем тройки:

-три тройки.
![$$\sqrt[3]{3a}$$ $$\sqrt[3]{3a}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/f/94f39fdff1295a8db785a0048d9948c482.png)
-две тройки.
![$$((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/e/b0e6d5f2bf31b946171792d45165580282.png)
-одна тройка.Заметим,что когда вынесем эту тройку за скобки,то скобка не будет кратна

.
![$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/4/334143cd2d2153f1e4697b3814372c6082.png)
-не известно сколько троек,но если здесь одна или больше двух троек,то выражение (6.) не имеет решений в целых числах.Поэтому предполагаем две тройки.Кратно

.
Теперь сокращаем выражение (6.) на

и смотрим,что остается.
Начнем с правой части .
Берем множитель
![$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/4/334143cd2d2153f1e4697b3814372c6082.png)
Он есть также и во втором слагаемом слева,а значит должен быть и в первом.Сокращаем его.
Из оставшейся скобки
![$$((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/e/b0e6d5f2bf31b946171792d45165580282.png)
Выносим тройку и сокращаем ее. Остается
![$$\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$ $$\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/9/a8910f83cd6e8963f5b324ab60f0af5682.png)
Переходим к левой части.

Мы сократили это слагаемое на
![$$3(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$3(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/6/9864fb0f0ffff7faa10d2750c667bf2b82.png)
И ,если там что-то осталось,то это есть и во втором слагаемом и нет в правой части,а значит не подходит.
остаток равен

Осталось одно слагаемое
![$$ 2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$ 2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/f/35faf7f66b75af3927a3f7668e041c2a82.png)
После сокращения остается
![$$ \frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}$$ $$ \frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/5107454e350656b9634664a8d23d5a7582.png)
В предыдущем сообщении я приравнял
![$\frac{1}{3}\sqrt[3]{3a}$ $\frac{1}{3}\sqrt[3]{3a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/a/94ae0fbfac7996006bf1e7c19d2df88682.png)
к трем,но сейчас не буду этого делать(засомневался).Поэтому только:
![$$\frac{1}{9}a=3(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $$\frac{1}{9}a=3(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47f07d7ae0e9984cfb7ace63f6dd759782.png)
Получаем выражение (7.)
![$$1+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}=\frac{a^2}{3^7}+\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$ $$1+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}=\frac{a^2}{3^7}+\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/0/240a81a0bdbeaa1bbd92fb551719a3e782.png)
А это выражение не верно при любых

и

.
Благодарен за комментарии.