2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 20  След.
 
 Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 00:09 


08/12/17
115
Ищем целое n такое ,что если $A^k+B^k=C^k$ тогда $A+B=C+n$
Введем новые переменные $a$ маленькое и b маленькое.
$C-A=B-n=b$
$C-B=A-n=a$
1.
k=2
$A^2+B^2=C^2$
$$n^2=2ab$$
Эта формула описывает все возможные "пифагоровы тройки".
n- любое четное число.
$$A=a+n,B=b+n,C=a+b+n$$
2.
k=3 , все корни кубические.
$$n^3=3ab(A+B)$$
Докажем,что не существует целого n,удовлетворяющему этому равенству.
Будем считать "3"-ки, их число должно быть кратно трем.
Допустим a-кратно 9(две тройки).
Считаем тройки : 3a - куб целого числа и три "3"-ки,b-куб целого числа нет "3"-ек,$A+B=a+b+2n$ - куб целого числа нет троек.
Тогда n- одна тройка.
Обратим внимание :если ( x+y) или ( x-y) кратно z тройкам,то $x^3+y^3$ или $x^3-y^3$ кратно z+1 тройкам $$x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)$$
Значит сумма или разность кубов целых чисел не может быть кратно одной тройке.
Проверяем :$ A+B-b=a+2n$
$A+B$ - куб,b - куб.
$a +2n$ - кратно одной тройке, а это не возможно для кубов целых чисел.
Допустим a - кратно $3^5$ (пять троек)
Тогда n- две тройки.
Преобразуем равенство$$A+B=a+b+2n$$
1.$$a=\frac{1}{9}a+\frac{8}{9}a$$
2.$$2n=2\sqrt{3a}\sqrt{b}\sqrt{A+B}$$
3.$$b+\frac{8}{9}a=(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3-2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$
4.$$A+B-(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3=(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(.....)$$
5.$$2n-2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})=2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$
В итоге получаем равенство
$$\frac{1}{9}a+2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})=(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(....)$$
Посчитаем тройки
$$\frac{1}{9}a+\sqrt{3a}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})=3(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-{\frac{2}{3}\sqrt{3a}})$$
В целых числах равенство не возможно ,так как $$\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a}\ne\frac{1}{3}\sqrt{3a}\ne3$$
Значит не существует целого n,а также целых A,B,C.
Доказательство для остальных простых k ,после комментариев.Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 00:28 


03/10/06
816
Цитата:
"$a +2n$ - кратно одной тройке, а это не возможно для кубов целых чисел.

Почему кратно только одной тройке? Возможно и больше троек у результата суммы. Вынесли тройку за скобки, сумма же оставшихся чисел без троек вполне может как содержать, так и не содержать тройки в итоге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 01:55 


03/10/06
816
Не то написал я, если первое кратно 9-и. Почему далее корни квадратные, а не кубические?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 06:42 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
ydgin в сообщении #1278158 писал(а):
3a - куб целого числа и три "3"-ки,b-куб целого числа нет "3"-ек,$A+B=a+b+2n$ - куб целого числа нет троек
Вот этот переход не поясните? Произведение — куб, это понятно; почему каждый из сомножителей обязан быть кубом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 10:22 


08/12/17
115
Почему кратно только одной тройке?
$a$-две тройки,2n-одна тройка,сумма-одна тройка.

-- 24.12.2017, 11:23 --

почему каждый из сомножителей обязан быть кубом?
Сомножители взаимно простые.

-- 24.12.2017, 11:57 --

Забыл дописать.
$$(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3=\frac{1}{9}a+2n-3(\sqrt{A+B}-\sqrt{b})(\sqrt{A+B}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$
Все рассуждения не зависят от первоначального количества троек (главное,что больше двух).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 12:12 


03/10/06
816
Написание корней у вас неправильное, корни же кубические, не квадратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 13:28 


03/10/06
816
В (4.) $\frac{1}{9}a$ потеряли, а (В итоге получаем равенство) её уже быть не должно, так как сократится с потерянным в (4.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 17:38 


08/12/17
115
yk2ru в сообщении #1278248 писал(а):
В (4.) $\frac{1}{9}a$ потеряли, а (В итоге получаем равенство) её уже быть не должно, так как сократится с потерянным в (4.).

Это не потеря.Это фрагмент .$\frac{1}{9}a $появится в конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение24.12.2017, 20:07 


03/10/06
816
В $A+B=a+b+2n$ поставьте для начала выражения из (2.) и (3.), покажите что получается. Затем посмотрим, какое (4.) из этого получится, потеряли или нет при преобразовании. Вместо многоточий записывайте что там должно быть. И почитайте как кубический корень записывать в формулах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение26.12.2017, 13:26 


08/12/17
115
yk2ru в сообщении #1278392 писал(а):
В $A+B=a+b+2n$ поставьте для начала выражения из (2.) и (3.), покажите что получается. Затем посмотрим, какое (4.) из этого получится, потеряли или нет при преобразовании. Вместо многоточий записывайте что там должно быть. И почитайте как кубический корень записывать в формулах.

От выражения $$a+b+2n=A+B$$ переходим к итоговому выражению
$$\frac{1}{9}a+2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ $ =$ $$ {(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$
Две части равенства получились на разных строчках (случайно).
Для перехода мы сделали следующие шаги:
1.$$a=\frac{1}{9}a+\frac{8}{9}a$$ разбили $a$ на два куба кратных трем.
2.Взяли два куба $\frac{8}{9}a$ и $b$ мы соединили в куб суммы.

$$b+\frac{8}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$

3.Куб суммы перенесли к $A+B$. Получили разность кубов $$(A+B)-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3$$
Это разбито на множители в начальном выражении.
4.Остаток этой суммы соединяем с 2n
$$2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{A+B}-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})=2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$
После этих действий мы получили итоговое выражение. Анализируя его мы видим что все члены кратны трем. Выпишем все множители которые содержат тройку и посчитаем их (тройки) при $a$ кратно $3^5$.
$$\frac{1}{9}a$$ три тройки $$\sqrt[3]{3a}$$ две тройки $$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$ неизвестно количество троек,но итоговое выражение имеет смысл только при двух тройках.
$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$
одна тройка.
Сокращаем итоговое выражение на три тройки.
У нас остается только одна тройка в слагаемом
$$2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$
Подходит для этого любое из выражений:
$$\frac{1}{3}\sqrt[3]{3a},\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})) $$
или просто тройка.
Делаем вывод,что они все равны.
Но когда подставляем тройку в итоговое выражение,то получаем,что равенство не возможно в целых числах.
Значит не существует целого n и A, B,C.
Заранее благодарен за комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение28.12.2017, 14:30 


03/10/06
816
ydgin в сообщении #1278853 писал(а):
Остаток этой суммы соединяем с 2n

И также соедините остаток и с $\frac{1}{9}a$, так как этот остаток от $b+\frac{8}{9}a$, а не от $a+b$
Или сразу расписывайте так: $$b+\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})+\frac{1}{9}a$$
и затем подставляйте всё это в начальное выражение вместо $a+b$ и перекидывайте части выражения далее по сторонам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение29.12.2017, 19:55 


08/12/17
115
yk2ru в сообщении #1279456 писал(а):
ydgin в сообщении #1278853 писал(а):
Остаток этой суммы соединяем с 2n

И также соедините остаток и с $\frac{1}{9}a$, так как этот остаток от $b+\frac{8}{9}a$, а не от $a+b$
Или сразу расписывайте так: $$b+\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})+\frac{1}{9}a$$
и затем подставляйте всё это в начальное выражение вместо $a+b$ и перекидывайте части выражения далее по сторонам.

Можно расписать и так,но на итоговом равенстве это не отражается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение29.12.2017, 21:52 


03/10/06
816
Ну так продолжайте, подставляйте правую часть с $\frac{1}{9}a$ и $2n$ в начальное тождество, переносите куб к $A+B$, и покажите что получится в (4.), которое было с многоточиями. Но только без многоточий, пишите всё что должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение04.01.2018, 19:08 


08/12/17
115
yk2ru в сообщении #1279949 писал(а):
Ну так продолжайте, подставляйте правую часть с $\frac{1}{9}a$ и $2n$ в начальное тождество, переносите куб к $A+B$, и покажите что получится в (4.), которое было с многоточиями. Но только без многоточий, пишите всё что должно быть.

С Новым годом!
На все Ваши замечания даёт ответ итоговое выражение. А из него видно, что независимо от начального количества "троек" в $a$ и для любого $b$ - куба целого числа это равенство не может быть истинным. А это значит что не существует целого $n$, что мы и доказываем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое доказательство теоремы ФЕРМА.
Сообщение04.01.2018, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
ydgin в сообщении #1281256 писал(а):
На все Ваши замечания даёт ответ итоговое выражение.
Ответ неправильный.
Если Вас просят что-то объяснить, значит, что-то непонятно. Тем более, что Вы поленились написать промежуточные преобразования полностью.
Кроме того, Вы напрямую нарушаете правила дискуссионного раздела форума, пункт 3.2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 297 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 20  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group