Простое доказательство теоремы ФЕРМА.

[ydgin]

Ищем целое n такое ,что если $A^k+B^k=C^k$ тогда $A+B=C+n$
Введем новые переменные $a$ маленькое и b маленькое.
$C-A=B-n=b$
$C-B=A-n=a$
1.
k=2
$A^2+B^2=C^2$

$$n^2=2ab$$

Эта формула описывает все возможные "пифагоровы тройки".
n- любое четное число.

$$A=a+n,B=b+n,C=a+b+n$$

2.
k=3 , все корни кубические.

$$n^3=3ab(A+B)$$

Докажем,что не существует целого n,удовлетворяющему этому равенству.
Будем считать "3"-ки, их число должно быть кратно трем.
Допустим a-кратно 9(две тройки).
Считаем тройки : 3a - куб целого числа и три "3"-ки,b-куб целого числа нет "3"-ек,$A+B=a+b+2n$ - куб целого числа нет троек.
Тогда n- одна тройка.
Обратим внимание :если ( x+y) или ( x-y) кратно z тройкам,то $x^3+y^3$ или $x^3-y^3$ кратно z+1 тройкам

$$x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)$$

Значит сумма или разность кубов целых чисел не может быть кратно одной тройке.
Проверяем :$ A+B-b=a+2n$
$A+B$ - куб,b - куб.
$a +2n$ - кратно одной тройке, а это не возможно для кубов целых чисел.
Допустим a - кратно $3^5$ (пять троек)
Тогда n- две тройки.
Преобразуем равенство

$$A+B=a+b+2n$$

1.

$$a=\frac{1}{9}a+\frac{8}{9}a$$

2.

$$2n=2\sqrt{3a}\sqrt{b}\sqrt{A+B}$$

3.

$$b+\frac{8}{9}a=(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3-2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$

4.

$$A+B-(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3=(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(.....)$$

5.

$$2n-2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})=2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$

В итоге получаем равенство

$$\frac{1}{9}a+2\sqrt{3a}\sqrt{b}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})=(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(....)$$

Посчитаем тройки

$$\frac{1}{9}a+\sqrt{3a}(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})=3(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-{\frac{2}{3}\sqrt{3a}})$$

В целых числах равенство не возможно ,так как

$$\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a}\ne\frac{1}{3}\sqrt{3a}\ne3$$

Значит не существует целого n,а также целых A,B,C.
Доказательство для остальных простых k ,после комментариев.Заранее благодарен.

[yk2ru]

Цитата:

"$a +2n$ - кратно одной тройке, а это не возможно для кубов целых чисел.

Почему кратно только одной тройке? Возможно и больше троек у результата суммы. Вынесли тройку за скобки, сумма же оставшихся чисел без троек вполне может как содержать, так и не содержать тройки в итоге.

[yk2ru]

Не то написал я, если первое кратно 9-и. Почему далее корни квадратные, а не кубические?

[iifat]

ydgin в сообщении #1278158 писал(а):

3a - куб целого числа и три "3"-ки,b-куб целого числа нет "3"-ек,$A+B=a+b+2n$ - куб целого числа нет троек

Вот этот переход не поясните? Произведение — куб, это понятно; почему каждый из сомножителей обязан быть кубом?

[ydgin]

Почему кратно только одной тройке?
$a$-две тройки,2n-одна тройка,сумма-одна тройка.

-- 24.12.2017, 11:23 --

почему каждый из сомножителей обязан быть кубом?
Сомножители взаимно простые.

-- 24.12.2017, 11:57 --

Забыл дописать.

$$(\sqrt{A+B}-\sqrt{b}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})^3=\frac{1}{9}a+2n-3(\sqrt{A+B}-\sqrt{b})(\sqrt{A+B}-\frac{2}{3}\sqrt{3a})(\sqrt{b}+\frac{2}{3}\sqrt{3a})$$

Все рассуждения не зависят от первоначального количества троек (главное,что больше двух).

[yk2ru]

Написание корней у вас неправильное, корни же кубические, не квадратные.

[yk2ru]

В (4.) $\frac{1}{9}a$ потеряли, а (В итоге получаем равенство) её уже быть не должно, так как сократится с потерянным в (4.).

[ydgin]

yk2ru в сообщении #1278248 писал(а):

В (4.) $\frac{1}{9}a$ потеряли, а (В итоге получаем равенство) её уже быть не должно, так как сократится с потерянным в (4.).

Это не потеря.Это фрагмент .$\frac{1}{9}a $появится в конце.

[yk2ru]

В $A+B=a+b+2n$ поставьте для начала выражения из (2.) и (3.), покажите что получается. Затем посмотрим, какое (4.) из этого получится, потеряли или нет при преобразовании. Вместо многоточий записывайте что там должно быть. И почитайте как кубический корень записывать в формулах.

[ydgin]

yk2ru в сообщении #1278392 писал(а):

В $A+B=a+b+2n$ поставьте для начала выражения из (2.) и (3.), покажите что получается. Затем посмотрим, какое (4.) из этого получится, потеряли или нет при преобразовании. Вместо многоточий записывайте что там должно быть. И почитайте как кубический корень записывать в формулах.

От выражения

$$a+b+2n=A+B$$

переходим к итоговому выражению

$$\frac{1}{9}a+2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$

$ =$

$$ {(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))((\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$

Две части равенства получились на разных строчках (случайно).
Для перехода мы сделали следующие шаги:
1.

$$a=\frac{1}{9}a+\frac{8}{9}a$$

разбили $a$ на два куба кратных трем.
2.Взяли два куба $\frac{8}{9}a$ и $b$ мы соединили в куб суммы.

$$b+\frac{8}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$

3.Куб суммы перенесли к $A+B$. Получили разность кубов

$$(A+B)-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3$$

Это разбито на множители в начальном выражении.
4.Остаток этой суммы соединяем с 2n

$$2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{A+B}-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})=2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$

После этих действий мы получили итоговое выражение. Анализируя его мы видим что все члены кратны трем. Выпишем все множители которые содержат тройку и посчитаем их (тройки) при $a$ кратно $3^5$.

$$\frac{1}{9}a$$

три тройки

$$\sqrt[3]{3a}$$

две тройки

$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$

неизвестно количество троек,но итоговое выражение имеет смысл только при двух тройках.

$$(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))^2+3\sqrt[3]{A+B}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})$$

одна тройка.
Сокращаем итоговое выражение на три тройки.
У нас остается только одна тройка в слагаемом

$$2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a}))$$

Подходит для этого любое из выражений:

$$\frac{1}{3}\sqrt[3]{3a},\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+B}-(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})) $$

или просто тройка.
Делаем вывод,что они все равны.
Но когда подставляем тройку в итоговое выражение,то получаем,что равенство не возможно в целых числах.
Значит не существует целого n и A, B,C.
Заранее благодарен за комментарии.

[yk2ru]

ydgin в сообщении #1278853 писал(а):

Остаток этой суммы соединяем с 2n

И также соедините остаток и с $\frac{1}{9}a$, так как этот остаток от $b+\frac{8}{9}a$, а не от $a+b$
Или сразу расписывайте так:

$$b+\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})+\frac{1}{9}a$$

и затем подставляйте всё это в начальное выражение вместо $a+b$ и перекидывайте части выражения далее по сторонам.

[ydgin]

yk2ru в сообщении #1279456 писал(а):

ydgin в сообщении #1278853 писал(а):

Остаток этой суммы соединяем с 2n

И также соедините остаток и с $\frac{1}{9}a$, так как этот остаток от $b+\frac{8}{9}a$, а не от $a+b$
Или сразу расписывайте так:

$$b+\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a=(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})^3-2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{b}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{3a})+\frac{1}{9}a$$

и затем подставляйте всё это в начальное выражение вместо $a+b$ и перекидывайте части выражения далее по сторонам.

Можно расписать и так,но на итоговом равенстве это не отражается.

[yk2ru]

Ну так продолжайте, подставляйте правую часть с $\frac{1}{9}a$ и $2n$ в начальное тождество, переносите куб к $A+B$, и покажите что получится в (4.), которое было с многоточиями. Но только без многоточий, пишите всё что должно быть.

[ydgin]

yk2ru в сообщении #1279949 писал(а):

Ну так продолжайте, подставляйте правую часть с $\frac{1}{9}a$ и $2n$ в начальное тождество, переносите куб к $A+B$, и покажите что получится в (4.), которое было с многоточиями. Но только без многоточий, пишите всё что должно быть.

С Новым годом!
На все Ваши замечания даёт ответ итоговое выражение. А из него видно, что независимо от начального количества "троек" в $a$ и для любого $b$ - куба целого числа это равенство не может быть истинным. А это значит что не существует целого $n$, что мы и доказываем.

[Someone]

ydgin в сообщении #1281256 писал(а):

На все Ваши замечания даёт ответ итоговое выражение.

Ответ неправильный.
Если Вас просят что-то объяснить, значит, что-то непонятно. Тем более, что Вы поленились написать промежуточные преобразования полностью.
Кроме того, Вы напрямую нарушаете правила дискуссионного раздела форума, пункт 3.2.