ортогональность в гильбертовом пространстве

[Spook]

Пусть $H$ - гильбертово пространство, $M\subseteq{H}$. Требуется показать, что $M\subseteq{(M^{\bot})^{\bot}}$ и определить, когда включение строгое, а когда имеет место равенство, и что можно сказать в последнем случае о множестве $M$.

Я думаю, что в случае равенства $M$ - подпространство, но больше ничего сказать не могу(возможно ли вообще что-то еще определить?). При доказательстве включения я получаю, что $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$, откуда выходит, что $x$ вовсе не обязан быть из $(M^{\bot})^{\bot}$, не говоря уже о равенсве. Над этим пока и застрял.

[ewert]

Spook писал(а):

Пусть $H$ - гильбертово пространство, $M\subseteq{H}$. Требуется показать, что $M\subseteq{(M^{\bot})^{\bot}}$ и определить, когда включение строгое, а когда имеет место равенство, и что можно сказать в последнем случае о множестве $M$.

Этот вопроос тут уже пару дней назад поднимался (только не помню, где).

Вложение -- тривиально.
Равенство -- тогда и только тогда, когда исходное множество является подпространством (т.е. линейным и замкнутым).
В общем случае второе ортогональное дополнение есть замыкание линейной оболочки исходного множества.
Для доказательства требуется привлечь достаточно нетривиальный факт -- что любое подпространство в паре со своим ортогональным дополнением представляет всё пространство в виде ортогональной суммы. Фактически это -- теорема о проекции (что для каждого элемента существует представление в виде суммы двух, один из которых лежит в самом подпространвстве, а другой -- в его ортогональном дополнении).

[MGM]

Spook писал(а):

Пусть $H$ - гильбертово пространство, $M\subseteq{H}$. Требуется показать, что $M\subseteq{(M^{\bot})^{\bot}}$ и определить, когда включение строгое, а когда имеет место равенство, и что можно сказать в последнем случае о множестве $M$.

Я думаю, что в случае равенства $M$ - подпространство, но больше ничего сказать не могу(возможно ли вообще что-то еще определить?). При доказательстве включения я получаю, что $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$, откуда выходит, что $x$ вовсе не обязан быть из $(M^{\bot})^{\bot}$, не говоря уже о равенсве. Над этим пока и застрял.

Начните с простого примера.
Линия в 3Д пререходит в плоскость и обратно в линию. Если исходное множество отрезок, то равенства не будет.
Однако в линейной алгебре есть теоремы, цитировались выше.

[ewert]

MGM писал(а):

Однако в линейной алгебре есть теоремы, цитировались выше.

Это всё же не линейная алгебра. В конечномерном случае все вопросы замкнутости отпадают, и теорема о проекции становится достаточно очевидной.

[Spook]

Spook писал(а):

При доказательстве включения я получаю, что $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$, откуда выходит, что $x$ вовсе не обязан быть из $(M^{\bot})^{\bot}$, не говоря уже о равенсве. Над этим пока и застрял.

Это я глупость написал, любой элемент гильбертова пространства принадлежит $M$, либо $M^{\bot}$, либо им обоим, причем тогда этот элемент нулевой. Вложение тогда доказано.
По поводу строгого вложения

MGM писал(а):

Начните с простого примера.
Линия в 3Д пререходит в плоскость и обратно в линию. Если исходное множество отрезок, то равенства не будет.

Этого я не понял . Вот что думаю я: если у нас множество не замкнуто, но всюду плотно в $M$, то оно точно должно этому удовлетворять, получается как $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

ewert писал(а):

Равенство -- тогда и только тогда, когда исходное множество является подпространством (т.е. линейным и замкнутым).

Ну я вот как это обьясняю. Если есть равенство, то $M$ замкнуто в силу замкнутости ортогонального дополнения. Обратно, в силу теоремы об ортогональном дополнении $z=x+y$, умножая на $y$ скалярно получаем, что $z=x$.
ewert поясните пожалуйста про линейную оболочку
поподробнее, теорема об ортогональном дополнении мне известна.

ewert писал(а):

Этот вопроос тут уже пару дней назад поднимался (только не помню, где).

Наверное это я и был, только там немного другой вопрос. Ну да неважно

[ewert]

не могу пока, т.е. не могу сосредоточиться. У меня ведь завтра тоже экзамен. И уже давно пора печатать билеты.

[Spook]

ewert я полагаю Вы либо принимаете экзамен, либо распечатываете шпаргалки. Склоняюсь к первому В любом случае я подожду, может и сам чего нарешаю

[Narn]

Spook писал(а):

Это я глупость написал, любой элемент гильбертова пространства принадлежит $M$, либо $M^{\bot}$, либо им обоим, причем тогда этот элемент нулевой. Вложение тогда доказано.

Это утверждение неверно. То, что у Вас было написано до этого, верно, но бесполезно. А доказывается вложение чрезвычайно просто, по определению.

[Spook]

Narn, поясните пожалуйста, почему неверно.

[Narn]

Да оно даже в конечномерном случае неверно. MGM ведь прав в одном - надо геометрию в конечномерном случае себе представлять, а уж потом с бесконечномерным разбираться. А там (как пишет ewert) - свои сложности.

Простейший пример: плоскость (с координатной системой, стандартным скалярным произведением), $M$ - ось абсцисс. Тогда $M^{\bot}$ - ?
А что Вы скажете о $(1,1)$? Он лежит в $M$ или в $M^{\bot}$ ?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Spook писал(а):

Обратно, в силу теоремы об ортогональном дополнении $z=x+y$

И что это за теорема? как она звучит?

[Spook]

Narn писал(а):

Простейший пример: плоскость (с координатной системой, стандартным скалярным произведением), $M$ - ось абсцисс. Тогда $M^{\bot}$ - ?

Очевидно, ось ординат.

Narn писал(а):

А что Вы скажете о $(1,1)$? Он лежит в $M$ или в $M^{\bot}$ ?

Ну не там и не там. Я кажется понял, и у меня тогда возникают вопросы, как грамотно сформулирую - напишу.

Narn писал(а):

И что это за теорема? как она звучит?

Пусть $L_1$ подпространство гильбертова пространства $H$, $L_2$ - ортогональное дополнение к $L_1$. Тогда любой вектор $z\in{H}$ однозначно представляется в виде суммы $z=x+y$, где $x\in{L_1}, y\in{L_2}$.
Ну или как-то так, смысл такой.

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

Spook писал(а):

Это я глупость написал, любой элемент гильбертова пространства принадлежит $M$, либо $M^{\bot}$, либо им обоим, причем тогда этот элемент нулевой. Вложение тогда доказано.

да, это неверно. Тогда мое доказательство вложения - тоже неверно. Жаль.

[Narn]

Spook писал(а):

Narn писал(а):

Простейший пример: плоскость (с координатной системой, стандартным скалярным произведением), $M$ - ось абсцисс. Тогда $M^{\bot}$ - ?

Очевидно, ось ординат.

Ну да. Аж совестно, что спросил.

Spook писал(а):

Пусть $L_1$ подпространство гильбертова пространства $H$, $L_2$ - ортогональное дополнение к $L_1$. Тогда любой вектор $z\in{H}$ однозначно представляется в виде суммы $z=x+y$, где $x\in{L_1}, y\in{L_2}$.
Ну или как-то так, смысл такой.

Именно так, если определение подространства подразумевает (а это так в 99,99% случаев) замкнутость. Я про теорему-то спросил только потому, что она ясно показывает, что $H \ne L \cup L ^{\bot}$ даже для замкнутых подпространств (вот, сам добавляю на всякий случай).

А что Вам неясно с линейной оболочкой?

[Spook]

Narm писал(а):

А что Вам неясно с линейной оболочкой?

Собственно, хочу это доказать:

ewert писал(а):

В общем случае второе ортогональное дополнение есть замыкание линейной оболочки исходного множества.

Но не могу.
Это я кстати тоже не понял:

MGM писал(а):

Линия в 3Д пререходит в плоскость и обратно в линию. Если исходное множество отрезок, то равенства не будет.

Что, например, такое ЗД? Замыкание дополнения? А какого, ортогонального? Что-то не пойму.

И еще вот здесь:

Narm писал(а):

Именно так, если определение подространства подразумевает (а это так в 99,99% случаев) замкнутость. Я про теорему-то спросил только потому, что она ясно показывает, что $H \ne L \cup L ^{\bot}$ даже для замкнутых подпространств (вот, сам добавляю на всякий случай).

Да так и есть. Вообще-то я, кажется, запутался. Если речь о подпространствах, то и сумма элементов лежит в этом пространстве, а тут что-то не то. Наверное позднее время сказывается.

Добавлено спустя 5 минут 16 секунд:

А как это вложение доказывается по определению? Может и следует из него, но не сразу это точно.

Добавлено спустя 7 минут 33 секунды:

И раз уж затронулся вопрос про замкнутость, хотел уточнить, в чем различия между полным пространством и замкнутым?

[Narn]

Spook писал(а):

MGM писал(а):

Линия в 3Д пререходит в плоскость и обратно в линию. Если исходное множество отрезок, то равенства не будет.

Что, например, такое ЗД? Замыкание дополнения? А какого, ортогонального? Что-то не пойму.

3Д=3D. Имелось в виду трехмерное евклидово пространство, в котором ортогональное дополнение к прямой - перпендикулярная ей плоскость, и наоборот.

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Spook писал(а):

А как это вложение доказывается по определению? Может и следует из него, но не сразу это точно.

Возьмите $x \in M$ и докажите, что он лежит в $(M^{\bot})^{\bot}$. Для этого нужно доказать, что $x$ ортогонален всем элементам $M^{\bot}$.

Пространство (метрическое) называют полным, если в нем выполняется критерий Коши, то есть любая фундаментальная последовательность имеет в этом пространстве предел. Подмножество метрического (или топологического) пространства называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Вы находитесь в гильбертовом пространстве $H$ и рассматриваете его подмножество $M$ (не обязательно являющееся линейным подпространством). Скалярное произведение индуцирует на нем метрику, то есть это подмножество само является метрическим пространством. Вначале о замкнутости: если вы рассматриваете это подмножество как метрическое пространство, без учета объемлющего $H$, то оно, естественно, замкнуто (любое топ. пространство открыто и замкнуто). Когда говорят о замкнутости, то имеют в виду замкнутость $M$ как подмножества $H$.

Оно будет полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится. Но фундаментальная последовательность в $M$ сходится к какому-либо элементу $H$, так как $H$ полно. Вопрос лишь в том, принадлежит ли этот элемент $M$ или нет. Если для всех фунд. посл-тей ответ "да", то $M$ полно и замкнуто. Если нет - то $M$ неполно и незамкнуто.

А есть еще понятие полной и замкнутой системы векторов. Я всегда их путаю, оправдываясь тем, что эти свойства равносильны. Кажется, система замкнута, если замыкание ее линейной оболочки - все пространство, и полна, если нет вектора (ненулевого), ортогонального всем векторам системы.

[ewert]

Spook писал(а):

И раз уж затронулся вопрос про замкнутость, хотел уточнить, в чем различия между полным пространством и замкнутым?

Это по существу одно и то же. В том смысле, что полнота -- это, грубо говоря, "замкнутость в себе". Для подмножества полного метрического пространства (если оно рассматривается само по себе как пространство с той же метрикой) полнота -- это то же самое, что замкнутость во внешнем пространстве.