2 задачи про последовательности

[loser228]

megatumoxa в сообщении #1272671 писал(а):

Значит $p>n$?
Если мы избавимся от$ p$, то ответ же будет просто 0.

$p$ принимает любое натуральное значение, $n$ надо сделать достаточно большим

[megatumoxa]

К сожалению, мне это мало о чем говорит. Я не могу понять разницу между $p$ и $n$, почему в разных заданиях мы в итоге оставляем разные переменные?

[loser228]

megatumoxa
Запишите критерий Коши. В итоге мы должны дать оценку для $n$, но чтобы при $\forall p\in \mathbb{N}$ полученное неравенство выполнялось.

[megatumoxa]

$\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n,p (n,p>N \Rightarrow |X_n_+_p - X_n| < \varepsilon)$

-- 06.12.2017, 22:35 --

Мы сами задаем что больше $n$ или $p$? Тогда как избавиться от $p$? Должно же получиться некое выражение, а не просто ноль.

[Lia]

megatumoxa в сообщении #1272693 писал(а):

$\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n,p (n,p>N \Rightarrow |X_n_+_p - X_n| < \varepsilon)$

Это неверное определение фундаментальности. Их есть два (которое по сути одно), так вот Вы в них и путаетесь. Выпишите оба, и без путаницы, пожалуйста.

[megatumoxa]

Нашел на просторах интернета.

$\forall \varepsilon > 0 \exists n_{0}\in \mathbb{N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon$

$\forall \varepsilon > 0 \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$

[Lia]

1) Найдите разницу со своим определением выше.
2) Сообразите, каким Вы собирались пользоваться.
3) Воспользуйтесь. Определение фундаментальности - это все от первого символа до последнего, а не только завершающее неравенство, которое всегда, вообще-то, не обязано выполняться.

[megatumoxa]

Lia в сообщении #1272714 писал(а):

1) Найдите разницу со своим определением выше.
2) Сообразите, каким Вы собирались пользоваться.
3) Воспользуйтесь. Определение фундаментальности - это все от первого символа до последнего, а не только завершающее неравенство, которое всегда, вообще-то, не обязано выполняться.

Я не указал, что $p\in \mathbb{N}$, а также перепутал знаки неравенств.
Собирался пользоваться $\forall \varepsilon > 0 \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon $
Для любого $n > n_{0} $ и для любого $p$ натурального должно выполнятся неравенство $\left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$

Значит нужно оценкой избавиться от $p$, а потом из неравенства $\left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$ выразить $n$. Чтобы найти такие $n$, при которых это неравенство будет выполняться?

[loser228]

megatumoxa в сообщении #1272720 писал(а):

Lia в сообщении #1272714 писал(а):

1) Найдите разницу со своим определением выше.
2) Сообразите, каким Вы собирались пользоваться.
3) Воспользуйтесь. Определение фундаментальности - это все от первого символа до последнего, а не только завершающее неравенство, которое всегда, вообще-то, не обязано выполняться.

Я не указал, что $p\in \mathbb{N}$, а также перепутал знаки неравенств.
Собирался пользоваться $\forall \varepsilon > 0 \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon $
Для любого $n > n_{0} $ и для любого $p$ натурального должно выполнятся неравенство $\left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$

Значит нужно оценкой избавиться от $p$, а потом из неравенства $\left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$ выразить $n$. Чтобы найти такие $n$, при которых это неравенство будет выполняться?

Да.

[Lia]

megatumoxa в сообщении #1272720 писал(а):

Я не указал, что $p\in \mathbb{N}$, а также перепутал знаки неравенств.

Знаков Вы вроде никаких не путали, а лишнее условие $p>N$ навесили. Перепутав со вторым определением.

[megatumoxa]

Lia в сообщении #1272724 писал(а):

Знаков Вы вроде никаких не путали, а лишнее условие $p>N$ навесили. Перепутав со вторым определением.

Я оба определения слепил в одно, потому что думал, что между ними нет разницы и еще я везде использовал строгое неравенство.
Теперь опять возвращение к оценке. Вот так вот просто выкидываем $2p$ и получаем ноль? И тогда условие не выполняется?

P.S. если мы используем второе определение, то мы должны найти n, а если используем первое, то находим либо n, либо p (большее значение находим, а от меньшего избавляемся)?

[Lia]

megatumoxa
Зачем Вы спрашиваете. Пишите неравенства. Смотрите сами, выполняются они или нет. А не так - можно я просто выкину. Просто - нельзя.

(Оффтоп)

Идите спать уже. Сегодня добра не будет. Или еще книжку почитайте.

[provincialka]

megatumoxa в сообщении #1272731 писал(а):

Вот так вот просто выкидываем $2p$ и получаем ноль?

Нет. Поймите, математическое доказательство -- это не произвольная манипуляция с символами. Каждое преобразование должно быть обосновано.
Например, мы хотим показать, что разность $\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2p+1}$ -- маленькая. Заметим, что это число положительное, так что достаточно оценить его сверху.
Вот посмотрите. Мы хотим увеличить разность. Что надо делать с вычитаемым? Взять его побольше величиной или поменьше?

А впрочем да. Отдохните!

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1272733 писал(а):

Мы хотим увеличить разность. Что надо делать с вычитаемым? Взять его побольше величиной или поменьше?

Нужно уменьшить вычитаемое, а значит увеличить знаменатель дроби.

[provincialka]

Ага! сильно-сильно-сильно увеличить! Делая $p$ все больше, БОЛЬШЕ, БОЛЬШЕ! И что получим?