2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24  След.
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение27.11.2015, 11:00 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Реакция - как положительная, так и отрицательная - на представленное мной доказательство отсутствует. Могу предположить, что тему ВТФ читают, главным образом, специалисты по теории чисел, которым лень вспоминать линейную алгебру. На этот случай я приведу самую общую схему доказательства.

1. Для степени $n$ строим два вектора $\vec n$ и $\vec x$ такие, что $(\vec n,\ \vec x)=x^n$ . По тому же правилу строим векторы $\vec y$ и $\vec z$ .

2. Предполагаем, что равенство $x^n+y^n=z^n$ выполняется. Следовательно, выполняется и равенство $(\vec n,\ \vec x+\vec y-\vec z)=0$ .

3. Чтобы проверить сделанное предположение строим вектор $\vec m=\lambda \vec n$ . Для этого векторно перемножаем вектор $\vec p=\vec x+\vec y-\vec z$ и необходимое для этого количество векторов ортогональных вектору $\vec n$ которые имеют вид $\vec n_i=(n_i,\ 0,\ \ldots\ -1\ \ldots\ \ 0)$ , где $(-1)$ расположена на $i$-й позиции.

4. Проверяем верность равенства $\frac{m_n}{m_1}=n_n$ где $m_1,\ m_n,\ n_n$ - соответствующие координаты векторов $\vec m=(m_1,\ \ldots \ m_n)$ и $\vec n=(n_1,\ \ldots \ n_n)$ .

5. Если последнее равенство не выполняется, то не выполняется и предположение $x^n+y^n=z^n$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.11.2015, 19:11 


31/03/06
1384
Начнём проверять доказательство для $n=3$.
Проверим в программе "Reduce", что $x^3=(\vec n,\vec x)$ выполняется:

Код:
n:=3;
1+(2^n-1)*(x-1)+(3^n-2*2^n+1)*(x-1)*(x-2)/2+(4^n-3*3^n+3*2^n-1)*(x-1)*(x-2)*(x-3)/6


Проверено.

Проверим теперь, что $\vec p=(1,\ s_1-1,\ \frac{1}{2!}(s_2-3s_1+2),\ \frac{1}{3!}(s_3-6s_2+11s_1-6))$:

Код:
n:=3;
s1:=x+y-z;
s2:=x^2+y^2-z^2;
s3:=x^3+y^3-z^3;
s1-1;
(s2-3*s1+2)/2;
((x-1)*(x-2)+(y-1)*(y-2)-(z-1)*(z-2))/2;
(s3-6*s2+11*s1-6)/6;
((x-1)*(x-2)*(x-3)+(y-1)*(y-2)*(y-3)-(z-1)*(z-2)*(z-3))/6;


Проверено.

Цитата:
Из векторного произведения вектора $\vec p$ и необходимого количества векторов ортогональных вектору $\vec n$ получим вектор пропорциональный вектору $\vec n$

$ \lambda\ \vec n= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k & \vec l \\ \\ 1 & s_1-1 & \frac{1}{2!}(s_2-3s_1+2) & \frac{1}{3!}(-6s_2+11s_1-6) \\ \\ 2^n-1 & -1 & 0 & 0 \\ \\ 3^n-2\cdot 2^n+1 & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

результатом будет вектор $\lambda\ \vec n$ где $p_4=\frac{1}{3!}(-6s_2+11s_1-6)$

$\lambda\ \vec n=(p_4,\ p_4(2^n-1),\ p_4(3^n-2\cdot 2^n+1), -6p_4)$

откуда видно, что он должен совпасть с вектором $\vec n$ при нормировании его компонентов на $p_4$.


Определите, пожалуйста, что обозначают векторы в первой строке детерминанта.
Определите, пожалуйста, что означает выражение "необходимое количество векторов ортогональных вектору $\vec n$".
Напомните, пожалуйста, как вычисляется векторное произведение при помощи детерминанта.
Скажите, пожалуйста, как Вы вычисляете приведённый детерминант.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение29.11.2015, 11:59 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
1. Векторы в первой строке детерминанта обозначают, что мы строим векторное произведение трёх 4-мерных векторов.

2. Чтобы построить указанное векторное произведение, являющееся 4-мерным вектором, нам требуется 4 вектора. Два из них это векторы $\vec o=\vec i + \vec j + \vec k + \vec l$ и $\vec p$ . Два недостающих вектора, ортогональных вектору $\vec n$ , мы получаем из него же.
Таким образом, необходимое количество векторов ортогональных вектору $\vec n$ для каждой степени $n$ будет равно $n-2$ .

3. Векторное произведение вычисляется при по мощи детерминанта так, как написано у меня - как разложение определителя по его первой строке, которую составляют орты.

4. Приведенный детерминант я вычисляю как сумму $\sum\limits_{j=n}^{1}(-1)^{i+j}M_{1j} \vec e_{1j}$ где $M_{1j}$ - миноры при соответствующих ортах, $i$ - номер строки определителя, $j$ - номер его столбца.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение29.11.2015, 18:54 


31/03/06
1384
serval в сообщении #1077859 писал(а):
1. Векторы в первой строке детерминанта обозначают, что мы строим векторное произведение трёх 4-мерных векторов.

2. Чтобы построить указанное векторное произведение, являющееся 4-мерным вектором, нам требуется 4 вектора. Два из них это векторы $\vec o=\vec i + \vec j + \vec k + \vec l$ и $\vec p$ . Два недостающих вектора, ортогональных вектору $\vec n$ , мы получаем из него же.
Таким образом, необходимое количество векторов ортогональных вектору $\vec n$ для каждой степени $n$ будет равно $n-2$ .


Вы понимаете, какие векторы Вы обозначили через $\vec i, \vec j, \vec k, \vec l$, а я нет.
Если речь идёт о 4-мерных векторах, может быть это: $\vec i=(1, 0, 0, 0), \vec j=(0, 1, 0, 0), \vec k=(0, 0, 1, 0), \vec l=(0, 0, 0, 1)$?
Что значит: "Два недостающих вектора, ортогональных вектору $\vec n$ , мы получаем из него же."?
Из чего и каким образом получаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение29.11.2015, 22:48 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
1. Именно так, это орты.
$\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ - стандартные обозначения первых трёх ортов. Для 4-й степени я добавил к ним следующую букву $\vec l$ без пояснений. Это моя вина, прошу прощения.
Дальше, для избежания недоразумений, я использовал обозначения ортов $\vec e_i\ ,\ i=1\ \ldots n$ , хотя и оно не вполне корректно. В данном контексте следует обозначать орты $\vec e_{1j}$ , где 1-й индекс указывает на их положение в 1-й строке определителя векторного произведения. В последующем я буду обозначать их так.

2. Как мы получаем недостающие векторы из имеющегося я пояснил далее, в общей схеме доказательства. Повторю.

Имея вектор $\vec a= (1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots \ a_n)$ мы можем получить ортогональные ему векторы положив равными нулю все его компоненты кроме двух, поменяв их местами и присвоив одному из них противоположный знак.
Например, векторы $\vec a= (a_2,\ -1,\ 0,\ \ldots \ 0)$ и $\vec a= (a_3,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \ 0)$ будут ортогональны исходному вектору.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.12.2015, 08:57 


31/03/06
1384
Хорошо, давайте проверять дальше.

Цитата:
2. Чтобы построить указанное векторное произведение, являющееся 4-мерным вектором, нам требуется 4 вектора. Два из них это векторы $\vec o=\vec i + \vec j + \vec k + \vec l$ и $\vec p$ . Два недостающих вектора, ортогональных вектору $\vec n$ , мы получаем из него же.


Я понимаю так: чтобы построить указанное векторное произведение, являющееся 4-мерным вектором, нам требуется 3 вектора:
$\vec p=(1,\ s_1-1,\ \frac{1}{2!}(s_2-3s_1+2),\ \frac{1}{3!}(s_3-6s_2+11s_1-6))$, $(2^n-1, -1, 0, 0)$, $(3^n-2 \cdot 2^n+1, 0, -1, 0)$.

Последние два вектора ортогональны вектору $\vec n$.

При чём здесь вектор $\vec o=\vec i + \vec j + \vec k + \vec l=(1, 1, 1, 1)$?

Цитата:
4. Приведенный детерминант я вычисляю как сумму $\sum\limits_{j=n}^{1}(-1)^{i+j}M_{1j} \vec e_{1j}$ где $M_{1j}$ - миноры при соответствующих ортах, $i$ - номер строки определителя, $j$ - номер его столбца.


Если нетрудно, распишите это вычисление подробно с указанием миноров, чтобы легче было проверять.

-- Пт дек 04, 2015 09:22:14 --

Я прошу расписать вычисление каждого минора $3$ x $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.12.2015, 10:07 


31/03/06
1384
Ещё вопрос: где в Вашем доказательстве используется, что $x, y, z$ - целые числа?
Не "доказали" ли Вы, что равенство $x^3+y^3=z^3$ невозможно для любых $x, y, z$, не только целых?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.12.2015, 20:38 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Уважаемый Феликс, прошу разрешения ответить на Ваши вопросы позже - как по объективным, так и по субъективным причинам. Объективная - длительные отключения электричества, субъективная - подозрения в собственной ошибке.
Касательно векторного произведения - это стандартный метод, преподаваемый в профильных ВУЗах.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.08.2016, 17:04 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Пусть имеется тройка чисел такая, что $x+y=z$ и $y-x=a,\ z-x=b$. Тогда:

Уравнение $x+y=z$ равносильно уравнению $x+ (a-b)=0$ .

Уравнение $x^2+y^2=z^2$ равносильно уравнению $x^2+ 2(a-b)x+(a^2-b^2)=0$. Из его решения следует условие для пифагоровых троек $b(b-a)=2k^2$ .

Уравнение $x^3+y^3=z^3$ равносильно уравнению $x^3+ 3(a-b)x^2+3(a^2-b^2)x+(a^3-b^3)=0$ . Его решение выглядит устрашающе и содержит квадратный корень стоящий под кубическим http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+%D1%85%5E3+%2B3(a-b)x%5E2%2B3(a%5E2-b%5E2)x%2B(a%5E3-b%5E3)%3D0. Почему оно не может быть выполнено в натуральных числах?

Но закономерность ясна - коэффициенты при слагаемых являются строками треугольника Паскаля, что позволяет легко построить соответствующее уравнение для любой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.08.2016, 06:26 


10/08/11
671
serval в сообщении #1142775 писал(а):
Но закономерность ясна - коэффициенты при слагаемых являются строками треугольника Паскаля, что позволяет легко построить соответствующее уравнение для любой степени.

Уважаемый serval, пусть $(a,b,c)$ - решение уравнения Ферма. Если. хотя бы одно число иррациональное (пусть это $c$ ). то это решение всегда существует. Далее Вы проводите операции над этими числами. В компонентах векторов число $(c)$ никак не проявляет своих свойств целого. Треугольник Паскаля дает целые коэффициенты для любых чисел. Как определяете, что противоречия возникают только тогда, когда $(c)$ - целое? Аналогичный вопрос Вам задавал Феликс Шмидель.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение03.12.2017, 16:10 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Удалось привести некоторые выражения второй степени к матричному виду. Пусть

$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ - матрица показателя степени,
и
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a(a-1)/2 & a & 1 \end{pmatrix} $ - матрица основания степени (для числа $ b $ - аналогично),

$ e_{1},\ e^{1} = . $ - ко- и контравариантные первые орты (вырезают из матрицы левый верхний элемент).

Тогда

$ a^2 = .PA. $

$ 3a^2 = .A^{T}PA. $

$ -a^2 = .(A^{-1})^{T}PA. $

$ b^2 + a^2 = .PAB. $

$ b^2 + 2ab = .A^{T}PB. $

$ b^2 - 2ab = .(A^{-1})^{T}PB. $

$ b^2 - a^2 = .(A^{-1})^{T}PAB. $

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение22.06.2018, 15:05 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Чтобы понять почему ВТФ не выполняется для степеней $n>2$ я пытаюсь разобраться в структуре пифагоровых троек. Поиски привели к следующему.

Пусть $a^2+b^2=c^2$

Тогда для оснований степеней выполняется равенство

$a(t+1)-b=c$

где $t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

и равно $t=\frac{(c-a)+b}{a}$

Таким образом для чисел $a,b,c$ удовлетворяющих уравнению $a^n+b^n=c^n$ существуют инварианты

при $n=1:\ a+b-c=0$

при $n=2:\ a(t+1)-b-c=0$

Возможно я опять получил то, что уже известно. Если это так, то, пожалуйста, дайте ссылки на источники.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение22.06.2018, 18:03 
Аватара пользователя


26/09/16
130
Снегири
Кажется, выражение $a(t+1) - b - c = 0$ при $t = \frac{(c-a)+b}{a}$ выполняется для всех $b$ и $c$ и любого ненулевого $a$. Если не верите, можно подставить $17$, $17$ и $17$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение22.06.2018, 19:54 
Аватара пользователя


25/02/07
766
Симферополь
Я не понял вас. Поскольку речь идет о суммах, то разными буквами обозначаются разные числа потому что иначе суммы не выполнятся - ни $17+17\neq17$ ни $17^2+17^2\neq17^2$ .

По условию числа $a,b,c$ должны удовлетворять уравнению $a^2+b=c^2$ .

Например для пифагоровой тройки $8^2+15^2=17^2$ получим

$t=\frac{17-8+15}{8}=\frac{24}{8}=\text{НОД}\ (17-8,15)=3$

Пусть теперь "любое ненулевое число" $a=9$ а числа $b,c$ оставим теми же. Тогда

$t=\frac{17-9+15}{9}=\frac{23}{9}\neq\text{НОД}\ (17-8,15)=3$

Совсем никак не равно.

Пожалуйста, дайте пример для произвольной тройки чисел не являющейся пифагоровой.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение26.06.2018, 17:47 
Аватара пользователя


26/09/16
130
Снегири
Чем же вам так не понравился мой пример?

Вот вы пишете, что для чисел $a,b,c$ удовлетворяющих уравнению $a^n+b^n=c^n$ существует инвариант
serval в сообщении #1321786 писал(а):
при $n=2:\ a(t+1)-b-c=0$

где $t=\frac{(c-a)+b}{a}$.
При этом, подставляя это $t$ в выражение $a(t+1)-b-c=0$ я получаю $0=0$ для любых $a,b,c$, необязательно удовлетворяющих уравнению $a^2+b^2=c^2$. Равенство выполняется всегда.

То есть, если $a,b,c$ не являются пифагоровыми тройками, но $t=\frac{(c-a)+b}{a}$, то можно записать выражение $a(t+1)-b-c=0$
Для примера:
$a = 17$, $b  = 17$, $c = 17$. Тогда $t = \frac{17-17+17}{17} = 1$, и очевидно что $17(1+1)-17-17 = 0 = 0$. Несмотря на то, что $17, 17, 17$ - не пифагорова тройка.

Что я в итоге хочу сказать. Называть выражение $a(t+1)-b-c=0$ инвариантом для пифагоровых троек - всё равно что для всех корней уравнения $a^n+b^n=c^n$ считать инвариантом выражение $0=0$. Бессмысленно и самоочевидно. Если что-то является инвариантом для всего, то оно не является инвариантом ни для чего является, конечно, но это уже другая история.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 351 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group