2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  След.
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение26.06.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
И мне непонятно, в каком смысле здесь употребляется слово "инвариант". Обычно это слово используют для обозначения величины, которая не изменяется в результате действия заданных преобразований. Какие здесь рассматриваются преобразования?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение27.06.2018, 13:12 
Аватара пользователя


26/09/16
197
Снегири
Не уверен, что ТС сразу найдёт что ответить. Чтобы помочь, предлагаю, например, такое преобразование :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2018, 07:46 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Извините, что не отвечаю - навалилась работа.

Любое число $k^n$ где $k,n$ натуральные можно представить как результат скалярного произведения векторов $(\vec k,\ \vec n)$ компоненты которых также натуральны.

Есть линейные преобразования: $(A^p_1\vec k,\ \vec n)=(k+p)^n, (\vec k,\ A^q_2\vec n)=k^{n+q}$

Меня интересует преобразование $F(a+b-c=0) \rightarrow (a^n+b^n-c^n=0)$ , но пока только для $(a^2+b^2-c^2=0)$

Как представить пифагорову тройку при помощи преобразований $A_1,A_2$ я нашел, а как при помощи них представить $F$ - ищу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2018, 15:35 


03/03/12
1372
serval в сообщении #1321786 писал(а):
Таким образом для чисел $a,b,c$ удовлетворяющих уравнению $a^n+b^n=c^n$ существуют инварианты

при $n=1:\ a+b-c=0$

при $n=2:\ a(t+1)-b-c=0$


Вам был приведен в другой теме grizzly контрпример $(33;56;65)$ и дана подсказка, как найти условие, при котором Ваша гипотеза, возможно, будет верна. Т.е. добавка дополнительного общего свойства может позволить сделать таки экстраполяцию Вашего утверждения.
В этой теме также дана интересная подсказка topic193-345.html (дерево примитивных пифагоровых троек). Интересно, верно ли Ваше утверждение для верхней ветви этого дерева (т.е. обладают ли те тройки свойством: $m-n=1$.)
SVD-d, Ваш контрпример не является контрпримером. Вы проверяете не то условие, которое надо проверить. Надо проверить, что
serval в сообщении #1321786 писал(а):
где $t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

и равно $t=\frac{(c-a)+b}{a}$


Надо проверять равенство правых частей.
serval в сообщении #1321867 писал(а):
Пожалуйста, дайте пример для произвольной тройки чисел не являющейся пифагоровой.

Эта формулировка мне не понятна. Утверждение
serval в сообщении #1321867 писал(а):
для произвольной тройки чисел не являющейся пифагоровой

доказать или опровергнуть надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2018, 17:58 
Аватара пользователя


26/09/16
197
Снегири
TR63 в сообщении #1323147 писал(а):
Ваш контрпример не является контрпримером

Та часть, которая про НОД вполне неплохо обсуждается в другом месте и без моего участия. Я хотел обратить внимание на другую часть этого утверждения, потому что именно из неё - то есть, из поиска некой "закономерности" - ТС пытался делать глубокомысленные выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2018, 20:03 


03/03/12
1372
SVD-d в сообщении #1323185 писал(а):
именно из неё - то есть, из поиска некой "закономерности" - ТС пытался делать глубокомысленные выводы

serval
всего лишь немного не дожал в поисках закономерности. И получилась осечка. Но, возможно, она поправима. Одно из условий экстраполяции-наличие общего свойства в анамнезе. SVD-d, Ваша ссылка ему может пригодится в поисках закономерности. Возможно он сам найдёт другое общее свойство (не то, которое получается, если решать в лоб), на основании которого сможет экстраполировать своё утверждение в полученной области определения так, что, по крайней мере, контрпример найти не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение20.08.2018, 19:11 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Чтобы найти подход к пониманию того, почему нет натуральных числовых троек удовлетворяющих условию $a^n+b^n=c^n,\ n>2$ следует выяснить условия существования пифагоровых троек.

Для этого рассмотрим следующую задачу.

Дана функция $f(x)=2x$. Для наглядности можно нарисовать её график.

Пусть по оси $x$ от начала координат в положительном направлении отложен отрезок длины $S_0$. В момент времени $T_0$ края отрезка одновременно начинают движение в положительном направлении оси со скоростями: левый край $l$ - со скоростью $V_l$, правый край $r$ - со скоростью $V_r$ такими, что $V_l>V_r$ (левый край стартовавший из $0$ догоняет правый край стартовавший из $S_0$).

Интервал $S(T)$, имевший в начальный момент времени значение $S(T_0)=S_0$, будет сокращаться по закону $S(T)=S_0+V_r T-V_l T=S_0-(V_l-V_r)T$.

Рассмотрим два события:

1. Момент $T_1$, в который квадрат (расстояния пройденного левым краем $l$) станет равен разности квадрата (расстояния пройденного правым краем $r$ в сумме с начальным интервалом $S_0$) и квадрата (начального интервала $S_0$):

$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2$. Из этого условия найдём значение времени $T_1$:

$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2=S_0^2+2S_0 V_r T_1+V_r^2 T_1^2-S_0^2$, $(V_l^2-V_r^2)T_1^2=2S_0 V_r T_1$

$T_1=S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}$

2. Момент $T_2$, в который левый край $l$ догонит правый край $r$:

$V_l T_2=S_0+V_r T_2$. Из этого условия найдём значение времени $T_2$:

$(V_l-V_r)T_2=S_0$

$T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}$

Далее, найдем время прошедшее между этими событиями $\Delta T=T_2-T_1$:

$\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}-S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}=S_0 \frac{V_l+V_r-2V_r}{V_l^2-V_r^2}$

$\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}$

Из одновременного выполнения условий

$\begin{cases}
T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}\\
\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}
\end{cases}$

следует, что безразмерно $S_0=V_l^2-V_r^2$

Тогда

$T_1=2V_r$, откуда $V_l T_1=2V_l V_r$

$S_1(T_1)=S_0+V_r T_1=V_l^2-V_r^2+2V_r^2$, откуда $S_1(T_1)=V_l^2+V_r^2$

что при простом переобозначении:

$S_0=a$ - начальный интервал

$V_l T_1=b$ - расстояние пройденное левым краем $l$

$S_1(T_1)=c$ - расстояние пройденное правым краем $r$ в сумме с начальным интервалом $S_0$

$V_l=m$ - скорость левого края $l$

$V_r=n$ - скорость правого края $r$

совпадает с хорошо известными заменами членов примитивной пифагоровой тройки:

$a=m^2-n^2$

$b=2mn$

$c=m^2+n^2$

При этом, условия 1 и 2, из которых были получены итоговые значения, одинаковы для любой исходной функции такой, что $\int\limits_0^x f(x)dx=x^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение21.08.2018, 11:53 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Указанные замены выводятся каким-либо иным способом, или я изобрёл велосипед?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение23.08.2018, 14:11 
Аватара пользователя


26/09/16
197
Снегири

(Оффтоп)

serval в сообщении #1333662 писал(а):
$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2=S_0^2+2S_0 V_r T_1+V_r^2 T_1^2-S_0^2$, $(V_l^2-V_r^2)T_1^2=2S_0 V_r T_1$

Используйте, пожалуйста, перенос строк вместо запятой или хотя бы делайте расстояние между различными формулами побольше.


serval в сообщении #1333605 писал(а):
Из одновременного выполнения условий

$\begin{cases}
T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}\\
\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}
\end{cases}$

следует, что безразмерно $S_0=V_l^2-V_r^2$

Правда следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение23.08.2018, 19:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Законный вопрос.
То, что $S_0$ одновременно кратен $V_l-V_r$ и $V_l+V_r$, а значит и $V_l^2-V_r^2$ - очевидно. Вопрос лишь в том - равен ли коэффициент кратности $1$?
Молчание заслуженных участников, наверняка читающих тему, намекает на то, что равен :-)
Прошу немного подождать, мне нужно проверить обоснование.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.09.2018, 13:41 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Прошу прощения за долгое молчание, что-то я глубоко задумался :-) Хотя, ответ почти очевиден - если коэффициент кратности будет $>1$, то пифагорова тройка просто не будет примитивной.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.09.2018, 17:00 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Для того, чтобы провести доказательство для третьей степени мне нужно правильно представить куб натурального числа двойной суммой числовой последовательности.
Верно ли следующее равенство?

$\frac{a^3-a}{3!}=\sum\limits_{m=1}^a \sum\limits_{k=1}^{m-1} k$

Я не уверен в расстановке пределов. Если ошибся - пожалуйста, поправьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.09.2018, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
Если значения двух многочленов степени $n$ совпадают в $n+1$ различных точках, то они совпадают везде. Возьмите в качестве $a$ числа $1,2,3,4$ и сравните.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение20.10.2018, 11:15 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пока не получилось красиво сформулировать подход к доказательству ВТФ для кубов, поэтому продолжил разбираться с квадратами.

Задача была такой: пусть зависимость $c^2(a^2)$ имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2$ , какова зависимость $c\ (a)$ ? Очевидный ответ: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Возник вопрос - можно ли выразить эту зависимость без радикалов? Выяснилось, что можно.

Обозначим: $c-a = r\cdot t,\ b = l\cdot t$ , где $t = \text{НОД}\ (c-a,b)$ . Тогда зависимость $c\ (a)$ такова: $\displaystyle c = b\cdot \frac{l}{r} - a$

Однако, более информативна такая запись: $\displaystyle c = l^2\cdot \frac{t}{r} - a$ , которая показывает условие натуральности $c$ при натуральных $a$ и $b$ : должно быть натуральным число $\displaystyle k = \frac{t}{r}$

Таким образом, для того чтобы существовала примитивная пифагорова тройка $a^2 + b^2 = c^2$ должно выполняться условие:

$\displaystyle \frac{\text{НОД}^2\ (c-a,b)}{c-a} = k \in N$

P.S. Следующее, что с очевидностью требуется сделать - исследовать модули по которым сравнимы числитель и знаменатель последней дроби.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение13.12.2018, 12:58 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Сделав длинный крюк, удалось установить ещё один почти очевидный факт - примитивные пифагоровы тройки можно пронумеровать естественным образом. Номер тройки имеет значение

$k=\displaystyle \frac{c-a}{\text{НОД} \ (c-a,b)}$

При этом, тройки с чётными и нечётными младшими слагаемыми нумеруются независимо: с нечётными - имеют все номера начиная с 1 (1, 2, 3 и так далее), с чётными - имеют нечётные номера начиная с 3 (3, 5, 7 и так далее).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group