2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  След.
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.01.2019, 02:46 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пусть выполняется равенство $a^3+b^3=c^3$

Тогда выполняется и равенство $3(a+b)(c-a)(c-b)=(a+b-c)^3$ и при этом $t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

откуда видно, что $(a+b-c)^3$ кратно $3$

Обозначим $c-a=rt,\ b=lt$ и после подстановки получим

$\displaystyle 3\ \frac{(a+b)(c-b)}{(c-a)^2}=\left(\displaystyle \frac{l}{r}-1\right)^3$ где $l$ и $r$ - взаимно простые и $l>r$

Можно ли получить из этого уравнения содержательные следствия?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.01.2019, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
serval в сообщении #1365801 писал(а):
Можно ли получить из этого уравнения содержательные следствия?
Не знаю. Вы это выражение придумали, Вы его и исследуйте.
Однако известно, что при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$, где $k\geqslant 2$ (и тогда $c-a$ делится на $3^{3k-1}$ и не делится на бо́льшую степень тройки).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.01.2019, 16:28 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Спасибо.
Вообще-то, я его получил :-) Буду исследовать, но не хочется тратить время на изобретение велосипедов, поэтому и спрашиваю - вдруг подобные уравнения уже изучены.
Someone в сообщении #1365896 писал(а):
при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$, где $k\geqslant 2$ (и тогда $c-a$ делится на $3^{3k-1}$ и не делится на бо́льшую степень тройки)

Это для кубов или для любой степени слагаемых $n>2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.01.2019, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
serval в сообщении #1365904 писал(а):
Это для кубов или для любой степени слагаемых $n>2$ ?
Для кубов. Для простого показателя $n$ НОД будет степенью $n$, но какие именно степени возможны, зависит от $n$ (я имею в виду элементарные методы доказательства). По поводу третьей степени я тут оставлял файл Fermat-3---.pdf.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.01.2019, 21:52 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Спасибо, забрал.

Однако, суть в том, что если выполняется исходное уравнение $a^3+b^3=c^3$ то наибольший общий делитель должны иметь не числа $a,b,c$ а числа $b$ и $(c-a)$ .
Это хорошо видно в примитивных пифагоровых тройках:

$3^2+4^2=5^2,\ t=\text{НОД}\ (4,\ 5-3)=2$
$5^2+12^2=13^2,\ t=\text{НОД}\ (12,\ 13-5)=4$
$8^2+15^2=17^2,\ t=\text{НОД}\ (15,\ 17-8)=3$
и так далее.

То же самое должно выполняться для кубов - здесь $t$ имеет смысл числа шагов за которое разность объемов растущих пирамид примет значение $(a+rt)^3-(lt)^3=a^3$ (или что то же самое $c^3-b^3=a^3$) и это число должно быть натуральным.

Собственно, ВТФ сводится задаче о разности объёмов растущих $n$-мерных пирамид одна из которых начинает рост от нулевого объема, а вторая от начального объёма $a^n$ где требуется найти время через которое эта разность принимает исходное значение $a^n$. Тройка $a^n+b^n=c^n$ существует если это время является натуральным числом.
При $n=1$ скорости роста одинаковы и это время может принимать любое натуральное значение, при $n=2$ скорости роста уже различны и из этих соображений можно получить известное представление членов примитивной пифагоровой тройки $a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$ а красивого продолжения на $n=3$ я пока не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение05.01.2019, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
serval в сообщении #1365994 писал(а):
наибольший общий делитель должны иметь не числа $a,b,c$ а числа $b$ и $(c-a)$
А я где-нибудь упоминал наибольший общий делитель $a$, $b$ и $c$? Я всего лишь упомянул стандартное предположение, что числа $a$, $b$ и $c$ (попарно) взаимно простые.

Someone в сообщении #1365896 писал(а):
Однако известно, что при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$
Виноват, наврал. Могут быть и другие НОД, не только степени тройки. Перепутал с другим утверждением.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение23.01.2019, 22:35 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Общеизвестно представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парой чисел $(m,n)$:

$a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$ которые могут быть вычислены по формулам $m=\displaystyle{\sqrt{\frac{c+a}{2}}},\ n=\displaystyle{\sqrt{\frac{c-a}{2}}}$ .

Получим это представление без использования радикалов.

Для этого решим следующую задачу.

Пусть в момент времени $t_0=0$ в положительном направлении оси $x$ начинают движение две точки: $l$ и $r$ .

В момент $t_0$ точка $l$ имеет координату $x_l=0$ и скорость $v_l$ , а точка $r$ - координату $x_r=a$ и скорость $v_r$, при этом $v_l>v_r$ (точка $l$ догоняет точку $r$).

Точки останавливаются в момент времени $t$ в который выполняется условие: $a^2+v_{l}^{2} t^2=(a+v_{r}t)^2$ .

Примем обозначения: $a=a,\ b=v_l t,\ c=a+v_r t$ .

Какой вид будут иметь величины $(a,b,c)$ в момент времени $t$ ?

Получим значение времени $t$ :

$a^2+v_{l}^{2} t^2=(a+v_{r}t)^2$

$a^2+v_{l}^{2} t^2=a^2+2a v_{r}t+v_{r}^{2}t^2$

$(v_{l}^{2}-v_{r}^{2})t=2a v_r$

$t=a \displaystyle \frac{2v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

Подставив полученное значение $t$ в формулы величин $b$ и $c$ найдём их выражения через величины $v_{l}$ и $v_{r}$ :

$b=a \displaystyle \frac{2v_{l}v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}};\ \displaystyle \frac{b}{a}=\displaystyle \frac{2v_{l}v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

$c=a+a \displaystyle \frac{2v_{r}^{2}}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}};\ \displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{v_{l}^{2}+v_{r}^{2}}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

откуда получим искомые представления тройки $(a,b,c)$ в явном виде:

$a=v_{l}^{2}-v_{r}^{2}\ ,\ b=2v_{l}v_r\ ,\ c=v_{l}^{2}+v_{r}^{2}$

что совпадает с общеизвестным представлением с точностью до обозначений $m=v_{l}\ ,\ n=v_{r}$ .

Для кубов, как и для любой степени $n$ , выражения для соответствующих $n$-троек должны получаться аналогично при выполнения соответствующего условия для времени остановки $t$ :

$a^n+v_{l}^{n} t^n=(a+v_{r}t)^n$

Постараюсь в ближайшее время получить выражения $(a,b,c)$ для $n=3$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение24.01.2019, 00:23 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Навскидку, представления величин $b$ и $c$ для степени $n=3$ содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение24.01.2019, 14:08 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Доказательство ВТФ для степени $n=3$

Принцип доказательства

Общеизвестно представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ .

Получим аналогичное представление кубических троек.

Числа $b$ и $c$ в полученном представлении не являются натуральными.

Ход доказательства

Алгоритм представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ был приведён выше, он состоит из двух шагов:

1. Найти значение $t$ из условия: $a^2 + v_l^2 t^2 = (a + v_r t)^2$

2. Подставив полученное значение $t$ в выражения $b=v_l t$ и $c=a+v_r t$ получить искомые представления в явном виде

Алгоритм представление кубических троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ аналогичен:

1. Найти значение $t$ из условия: $a^3 + v_l^3 t^3 = (a + v_r t)^3$

2. Подставив полученное значение $t$ в выражения $b=v_l t$ и $c=a+v_r t$ получить искомые представления в явном виде

Проведя необходимые вычисления, получим следующий вид кубической тройки $(a,b,c)$ :

$a=2(v_l^3-v_r^3)$

$b=v_l (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$

$c=2(v_l^3-v_r^3)+v_r (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$

Убедиться в верности указанных представлений можно непосредственной проверкой - подставив их кубы в условие ВТФ: $a^3+b^3=c^3$

Из полученных представлений величин $b$ и $c$ видно, что они содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ , а значит не могут быть натуральными числами.

Теорема доказана $\blacksquare$

P.S. Величина $t$ , играющая роль дискретного времени, имеет вид $t=\text{НОД}\ (b,c-a)$ , а величины $v_l$ и $v_r$ , играющие роль дискретных скоростей, - вид $v_l=\displaystyle \frac{b}{t}$ и $v_r=\displaystyle \frac{c-a}{t}$ соответственно.

-- Чт янв 24, 2019 14:44:02 --

Случаи ВТФ для степеней $n>3$ должны доказываться аналогично.

Принцип доказательства для любой степени $n$ основан на том, что число $k^n$ может быть представлено как объём $n$-мерной ортогональной пирамиды, который нелинейно растёт при линейном росте ребра длины $1k$ :

$k^1=\displaystyle \frac{1}{1!} (1k)$

$k^2=\displaystyle \frac{1}{2!} (1k)(2k)$

$k^3=\displaystyle \frac{1}{3!} (1k)(2k)(3k)$

и так далее

где $1k,\ 2k,\ 3k \ldots$ - длины взаимно ортогональных рёбер пирамиды.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение24.01.2019, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
serval в сообщении #1371398 писал(а):
Из полученных представлений величин $b$ и $c$ видно, что они содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ , а значит не могут быть натуральными числами.
Почему не могут-то? Просто подкоренное выражение в $\sqrt{r(4l^3-r^3)}$ должно делиться на $3$ в нечётной степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение24.01.2019, 15:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Опечатки всё же вкрались.

$\sqrt{r(4l^3-r^3)}$ следует читать как $\sqrt{v_r(4v_l^3-v_r^3)}$

Вы правы. Ясно, что указанное вами условие не должно выполняться, но почему - нужно искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение27.01.2019, 17:02 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Уважаемый Someone, правильно ли я понимаю, что из указанного мной представления следует, что существование натуральной кубической тройки $(a,b,c)$ удовлетворяющей условию $a^3+b^3=c^3$ равносильно существованию другой натуральной тройки $(n,m,k)$ удовлетворяющей условию $n(4m^3-n^3)=3k^2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение27.01.2019, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17789
Москва
Похоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение18.04.2019, 12:41 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Примитивные пифагоровы тройки $a^2+b^2=c^2$ бывают двух типов.

Первый тип: $a$ - нечётное, $b$ - чётное. Она представляется в виде: $a=l^2-r^2,\ b=2lr,\ c=l^2+r^2$ . Пример: $5^2+12^2=13^2$ , где $l=3,\ r=2$ .

Второй тип: $a$ - чётное, $b$ - нечётное. Она представляется в виде: $a=\displaystyle \frac{l^2-r^2}{2},\ b=lr,\ c=\displaystyle \frac{l^2+r^2}{2}$ . Пример: $8^2+15^2=17^2$ , где $l=5,\ r=3$ .

То есть, вид членов пифагоровой тройки зависит от соотношения чётностей её слагаемых.

В обоих случаях $t=\text {НОД}\ (c-a,\ b)$ имеет вид $t=\displaystyle \frac{2\ ar}{l^2-r^2}$ и принимает значения $t_1=2r$ и $t_2=r$ для первого и второго типов соответственно.

То есть, вид $t$ не зависит от соотношения чётностей слагаемых пифагоровой тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение19.04.2019, 06:02 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый serval! Проведенный Вами пример второго типа соответствует первому. Так если $l=4$, а $r = 1$, то $17 = 4^2 + 1^2 $, $15 = 4^2 - 1^2$ и $8 = 2\cdot 4\cdot 1$.
Кстати часть Пифагоровых троек обладают и таким свойством. Пусть $(a b c, 13) =1$, тогда
$c^2 - a b\equiv 0\mod 13$
или
$c^2 + a b\equiv 0\mod 13$.

Пример: $17^2 - 8\cdot15 = 169\equiv 0\mod13$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group