Доказательство ВТФ для степени
Принцип доказательстваОбщеизвестно представление примитивных пифагоровых троек
![$(a,b,c)$ $(a,b,c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4ba7ba433a5f76d514d90a8ecd91e0d82.png)
парами чисел
![$(m,n)$ $(m,n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82da10c296b33d2188db88300af53e8c82.png)
.
Получим аналогичное представление кубических троек.
Числа
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
в полученном представлении не являются натуральными.
Ход доказательстваАлгоритм представление примитивных пифагоровых троек
![$(a,b,c)$ $(a,b,c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4ba7ba433a5f76d514d90a8ecd91e0d82.png)
парами чисел
![$(m,n)$ $(m,n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82da10c296b33d2188db88300af53e8c82.png)
был приведён выше, он состоит из двух шагов:
1. Найти значение
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
из условия:
![$a^2 + v_l^2 t^2 = (a + v_r t)^2$ $a^2 + v_l^2 t^2 = (a + v_r t)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/c/b8c40d359399c4995396af3189def2b682.png)
2. Подставив полученное значение
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
в выражения
![$b=v_l t$ $b=v_l t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/2/0b2fcbd1a8c3704f269422945d7097c582.png)
и
![$c=a+v_r t$ $c=a+v_r t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/b/fbb33c68ad45e9037d13071dd1169e9582.png)
получить искомые представления в явном виде
Алгоритм представление кубических троек
![$(a,b,c)$ $(a,b,c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4ba7ba433a5f76d514d90a8ecd91e0d82.png)
парами чисел
![$(m,n)$ $(m,n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82da10c296b33d2188db88300af53e8c82.png)
аналогичен:
1. Найти значение
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
из условия:
![$a^3 + v_l^3 t^3 = (a + v_r t)^3$ $a^3 + v_l^3 t^3 = (a + v_r t)^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/b/05b9c12dc58eca778a571260c5b3db2782.png)
2. Подставив полученное значение
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
в выражения
![$b=v_l t$ $b=v_l t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/2/0b2fcbd1a8c3704f269422945d7097c582.png)
и
![$c=a+v_r t$ $c=a+v_r t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/b/fbb33c68ad45e9037d13071dd1169e9582.png)
получить искомые представления в явном виде
Проведя необходимые вычисления, получим следующий вид кубической тройки
![$(a,b,c)$ $(a,b,c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4ba7ba433a5f76d514d90a8ecd91e0d82.png)
:
![$a=2(v_l^3-v_r^3)$ $a=2(v_l^3-v_r^3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/9/0094196a9d4132385052372c5cd16a2682.png)
![$b=v_l (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$ $b=v_l (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/2/eb28d3390e072770b05489afce8911f382.png)
![$c=2(v_l^3-v_r^3)+v_r (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$ $c=2(v_l^3-v_r^3)+v_r (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/7/6e71efea6f84656f32ab59e76dc9dc3282.png)
Убедиться в верности указанных представлений можно непосредственной проверкой - подставив их кубы в условие ВТФ:
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
Из полученных представлений величин
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
видно, что они содержат слагаемые кратные
![$\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eab32316a89e67b119a6611bc1b3bd2182.png)
, а значит не могут быть натуральными числами.
Теорема доказана ![$\blacksquare$ $\blacksquare$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf9035465fb0a2d380bb9fc8c9d254582.png)
P.S. Величина
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
, играющая роль дискретного времени, имеет вид
![$t=\text{НОД}\ (b,c-a)$ $t=\text{НОД}\ (b,c-a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/b/2ab8d615651d9b2dc4bf0a83e7f1fd9982.png)
, а величины
![$v_l$ $v_l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/7/82773c8c8b31bc605ea5f658203911c082.png)
и
![$v_r$ $v_r$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/6/746a9d7306522287060bd1388e59fca882.png)
, играющие роль дискретных скоростей, - вид
![$v_l=\displaystyle \frac{b}{t}$ $v_l=\displaystyle \frac{b}{t}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/b/5abc415b83d47fcea956ffbe0dfb334382.png)
и
![$v_r=\displaystyle \frac{c-a}{t}$ $v_r=\displaystyle \frac{c-a}{t}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/b/39b728c67eef6758f9c3f0eba647e02082.png)
соответственно.
-- Чт янв 24, 2019 14:44:02 --Случаи ВТФ для степеней
![$n>3$ $n>3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/3/b33404a40b36a37e42d6d42dc5d665f482.png)
должны доказываться аналогично.
Принцип доказательства для любой степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
основан на том, что число
![$k^n$ $k^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/0/82047ead8321185e1e409b10d954393982.png)
может быть представлено как объём
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерной ортогональной пирамиды, который нелинейно растёт при линейном росте ребра длины
![$1k$ $1k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/3/9c37c8eee15444ecb5a6cb79343b0f7782.png)
:
![$k^1=\displaystyle \frac{1}{1!} (1k)$ $k^1=\displaystyle \frac{1}{1!} (1k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/3/593f1ea36e2628efeaa0b119683ba1ec82.png)
![$k^2=\displaystyle \frac{1}{2!} (1k)(2k)$ $k^2=\displaystyle \frac{1}{2!} (1k)(2k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/0/ba051e8628d9522d41e8569dd290728a82.png)
![$k^3=\displaystyle \frac{1}{3!} (1k)(2k)(3k)$ $k^3=\displaystyle \frac{1}{3!} (1k)(2k)(3k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/d/93d94ff9f11ee3d00ed8d1a51e45b5d082.png)
и так далее
где
![$1k,\ 2k,\ 3k \ldots$ $1k,\ 2k,\ 3k \ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c9813f5998e470caaecce4851ef3ab1b82.png)
- длины взаимно ортогональных рёбер пирамиды.