3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1270491 писал(а):

Будет ли ответ такой же в 3-м варианте, я пока не знаю. Это другая задача, её я ещё не решал.

В Вашу формулу скорость Земли не входит, значит, ответ не зависит от скорости Земли.

Цитата:

Но относительно Солнца ракета при этом не будет стоять, а будет лететь

Почему? Несложно подобрать такую скорость, чтобы на бесконечности Земля двигалась со скоростью Солнца:
\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З2}^2+\tfrac{1}{2}M_\text{С}V_\text{С2}^2
M_\text{З}V_\text{З1} = M_\text{З}V_\text{З2} + M_\text{С}V_\text{С2}

V_\text{С2}=V_\text{З2}=V_2
\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}(M_\text{З}+ M_\text{С})V_2^2
M_\text{З}V_\text{З1} = (M_\text{З} + M_\text{С})V_2

\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}(M_\text{З}+ M_\text{С})(\tfrac{M_\text{З}V_\text{З1}}{M_\text{З} + M_\text{С}})^2
Поправка мала и Фейнман ее просто не учитывает для задачи с 2-мя телами [абзац после формулы (14.6) http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... eqn-EqI146 ]. Иными словами, когда Земля улетает на бесконечность, Земля стоит, Солнце почти стоит. По достижении ракетой бесконечности ракета тоже стоит.

Ошибка в Вашем решении в том, что Вы не учитываете ЗСИ, от чего сами же меня предостерегали. При замене V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}
Формула ЗСИ
$M\vec{V}_{\text{СЗ1}}+m\vec{v}_1 = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}+m\vec{v}_2$
превращается в v_1 = v_2

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1270543 писал(а):

Ошибка в Вашем решении в том, что Вы не учитываете ЗСИ, от чего сами же меня предостерегали. При замене $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}$
Формула ЗСИ
$M\vec{V}_{\text{СЗ1}}+m\vec{v}_1 = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}+m\vec{v}_2$
превращается в $v_1 = v_2$

Во-первых, такой замены не было в решении. А самое главное, Вы не понимаете главного: если ведёте речь об ошибках или приближениях, то делайте количественные оценки — насколько велика ошибка. А иначе может оказаться (как в данном случае), что говорите ни о чём.

Объясняю последний раз:

Когда мы в законе сохранения энергии учитываем член $\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} - \frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2},$ то в нём нельзя полагать $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}$ (я и не полагал!), потому что здесь малюсенькая разность квадратов скоростей умножается на огро-о-о-о-мную массу, примерно равную массе Солнца! Если тут положить $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2},$ то этот член обратится в ноль, и мы тем самым потеряем важное слагаемое в законе сохранения энергии (которое как раз нужно для безошибочного решения задачи в разных ИСО, причём в него не входит огромная масса $M$ и оно не исчезает в приближениях с $M \to \infty$):

$\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} -\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2}=-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, .$

Это выражение получено с использованием закона сохранения импульса, т.е. он уже учтён. И это выражение учитывается в дальнейших расчётах.

Всё. Больше нигде не надо учитывать малюсенькую разность скоростей $V_\text{СЗ1}$ и $V_\text{СЗ2},$ потому что в дальнейшем расчёте больше нет такого места, где бы она умножалась на большое число и повлияла бы на ответ. Мы её уже учли именно там, где без неё возникала бы заметная ошибка, и учли как раз пользуясь законом сохранения импульса — он дал для этой разности скоростей вот какой результат:

$\vec{V}_{\text{СЗ2}}-\vec{V}_{\text{СЗ1}}=\frac{m}{M} ( \vec{v}_1-\vec{v}_2 ) \, .$

Оцените-ка величину этой разности скоростей и ответьте себе на вопрос: где в дальнейшем расчёте пригодится эта малюсенькая поправка?



Возьмём для оценки массу супер-пупер сверхмассивной ракеты (таких даже и не бывает!) в два миллиона тонн:

$m \sim 2 \cdot 10^6 \text{ тонн}=2 \cdot 10^9 \text{ кг}.$

Масса Солнца $M_{\text{C}} \approx M \sim 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}.$

Возьмём для оценки $|\vec{v}_1-\vec{v}_2| \sim 100 \text{ км/c}$ — такие по порядку величины встречаются в задачке скорости. Тогда:

$|\vec{V}_{\text{СЗ2}}-\vec{V}_{\text{СЗ1}}|=\frac{m}{M} | \vec{v}_1-\vec{v}_2 | \sim 10^{-19} \text{ км/c}= 10^{-13} \text{ миллиметра в секунду}.$

Вот, какая это мелочь. Больше нигде в задачке, кроме того места, где мы её уже учли, эта ничтожная разница скоростей роли не играет.

(UPD: я смягчил тон последней фразы (убрал её совсем :-))

[Cos(x-pi/2)]

Признаю, что в конце предыдущего сообщения я выразился слишком жёстко (сейчас отредактировал). В "подробном" решении, которое я привёл раньше, самом по себе ошибок нет. Но в нём была принята простейшая модель:

Cos(x-pi/2) в сообщении #1270491 писал(а):

Теперь сделаем упрощающее предположение: предположим, что ракета в процессе своего полёта прочь от Земли и Солнца почти не изменяет их внутреннюю энергию, а только немножко изменяет скорость движения их центра масс (и поэтому векторы $\vec{V}_{\text{СЗ1}$ и $\vec{V}_{\text{СЗ2}$ чуть-чуть различаются). То есть, предполагаю, что приближённо выполняется равенство

$E_{\text{СЗ внутр 1}}=E_{\text{СЗ внутр 2}} \, .$

Вот тут и "зарыта собака". Если предположить обратное, а именно, что ракета передаёт заметную часть своей энергии во "внутреннюю энергию" Земли с Солнцем, то закон сохранения энергии запишется в виде (вместо $(*)):$

$$\frac{mv_1^2}{2}-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} =$$

$$= \frac{mv_2^2}{2} + (E_{\text{СЗ внутр 2}} - E_{\text{СЗ внутр 1}}). \qquad (***)$$

Так как Солнце намного массивнее Земли, то можно предположить, что внутренняя энергия системы "Солнце + Земля" изменяется в основном за счёт изменения кинетической энергии Земли (в системе покоя центра масс "Земля + Солнце", поскольку здесь речь идёт о внутренней энергии; или, что практически то же, в системе покоя Солнца). И происходит это, в основном, пока ракета ещё не слишком удалилась от Земли: пока сила взаимодействия ракеты с Землёй больше, чем с Солнцем, то и передача импульса Земле больше. Если предположить для оценки, что это происходит, когда ракета теряет скорость от начальной $v_1$ до "солнечной параболической" $v_0=\sqrt{2}V_{\text{З1}},$ где $V_{\text{З1}}=\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1},$ и считать, что при этом ракета передаёт импульс только Земле, то получим:

$$(E_{\text{СЗ внутр 2}}-E_{\text{СЗ внутр 1}})=-m\vec{V}_{\text{З1}} \cdot (\vec{v}_0 - \vec{v}_1)=-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v_1$$

Величины скоростей взяты в системе покоя Солнца, так как она с хорошей точностью совпадает с системой центра масс "Солнце + Земля"; предполагается, что векторы скоростей здесь направлены одинаково. В системе покоя Солнца можно считать, что $\vec{V}_{\text{СЗ1}}=0,$ и тогда $(***)$ в системе покоя Солнца при $v_2=0$ сводится к уравнению:

$$\frac{v_1^2}{2}- \frac{GM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GM_{\text{З}}}{R} = -\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2 +V_{\text{З1}} v_1.$$

Это уравнение для 3-й космической скорости $v_1$ с обозначениями

$$\frac{GM_{\text{С}}}{R_1} = V_{\text{З1}}^2, \qquad \frac{2GM_{\text{З}}}{R} = v_{k2}^2$$

можно переписать и в такой форме:

$$(v_1-V_{\text{З1}})^2=(\sqrt{2} - 1)^2V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, .$$

Здесь $(v_1-V_{\text{З1}})$ имеет смысл 3-й космической скорости в системе покоя Земли. С учётом известных значений обитальной скорости Земли $V_{\text{З1}}$ и 2-й космической скорости $v_{k2}$ отсюда $(v_1-V_{\text{З1}}) \approx 16.6 \text{ км/с}.$

Так мне видится разгадка ответа "16". Насколько этот вывод близок тому, чему нас учит Uchitel'_istorii, не берусь судить.

[Cos(x-pi/2)]

Проверим, даёт ли уравнение $(***)$ такой же ответ при расчёте в ИСО мгновенного покоя Земли (ведь это уравнение должно работать в любой ИСО):

(расчёт в системе мгновенного покоя Земли)

$$\frac{mv'_1^2}{2}-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}\, '_1-\vec{v}\, '_2) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} =$$

$$= \frac{mv'_2^2}{2} + (E_{\text{СЗ внутр 2}} - E_{\text{СЗ внутр 1}}). \qquad (****)$$

Разность внутренних энергий системы "Солнце + Земля", которая у нас получилась равной $-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v_1,$ определяется в системе центра масс этих двух тел (практически в системе покоя Солнца); она не должна зависеть от выбора ИСО, то есть её не надо вычислять заново. Надо только выразить присутствующую в ней величину скорости ракеты $v_1$ в системе покоя Солнца через искомую величину скорости ракеты в ИСО мгновенного покоя Земли. Эту новую искомую величину скорости обозначим как $v'_1,$ так что $v_1=v'_1+V_{\text{З1}},$ где $V_{\text{З1}}$ по-прежнему обозначает $\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1}.$ Тогда:

$$(E_{\text{СЗ внутр 2}}-E_{\text{СЗ внутр 1}})=-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v'_1+mV_{\text{З1}}^2.$$

В ИСО мгновенного покоя Земли вектор $\vec{V}_{\text{СЗ1}} \approx \vec{V}_{\text{С1}}$ (с хорошей точностью), он направлен противоположно вектору $\vec{v} \, '_1.$ Конечная скорость ракеты (в далёкий момент времени $t_2)$ в этой ИСО есть $\vec{v} \, '_2=\vec{V}_{\text{С1}}$ Следовательно, с хорошей точностью:

$$-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}\, '_1-\vec{v}\, '_2) = mV_{\text{С1}}v'_1 + mV_{\text{С1}}^2$$

Величина скорости Солнца $V_{\text{С1}}$ в этой ИСО равна не нулю, как было бы в системе покоя Солнца, а величине $\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1},$ обозначенной как $V_{\text{З1}}.$ Поэтому можем везде в уравнении вместо $V_{\text{С1}}$ подставить $V_{\text{З1}}.$ Пользуясь прежними обозначениями

$$\frac{GM_{\text{С}}}{R_1} = V_{\text{З1}}^2 \, , \qquad \frac{2GM_{\text{З}}}{R} = v_{k2}^2 \, ,$$

и собрав всё вместе, увидим, что в итоге уравнение $(****)$ свелось к

$$v '_1^2=(3-2\sqrt{2} ) V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, ,$$

то есть:

$$v '_1^2=(\sqrt{2} - 1)^2V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, .$$

Таким образом, для 3-й космической скорости $v '_1,$ вычисленной по модели $(***)$ с самого начала в ИСО мгновенного покоя Земли, получается, как и должно быть, прежний ответ "16".

Вот и всё. Похоже, все непонятки разрешились.