fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 16:19 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
ludwig51 в сообщении #1268360 писал(а):
Имеются ещё вопросы к нашей задаче?
У меня нет, спасибо; умолкаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение25.11.2017, 16:43 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Cos(x-pi/2) в сообщении #1265406 писал(а):
Ну вот, теперь почти всё правильно. Начало у Вас уже очень хорошее...

В этом приближении закон сохранения энергии принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2} .$

...
Так вот, допустим, как частный случай такой задачи, мы задаём условия: пусть в как-то выбранной системе отсчёта начальная скорость Земли есть заданный вектор $\vec{V}_1,$ а желаемая скорость ракеты "на бесконечности" в той же системе отсчёта пусть совпадает с этим вектором: $\vec{v}_2=\vec{V_1}.$ Какую начальную скорость $v_1$ должна иметь ракета в этом случае? Наше уравнение для этого случая принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{V}_1) -\frac{GMm}{R} = \frac{mV_1^2}{2} .$


Такое решение намного понятнее, чем неочевидные прыжки из одной системы в другую. Тогда вопрос: почему сразу нельзя записать закон сохранения энергии всех тел
$T_\text{р1} + T_\text{З1}+T_\text{С1}+ U_\text{р-З1}+U_\text{р-С1}+U_\text{С-З1} = T_\text{р2} + T_\text{З2}+ T_\text{С2}+ U_\text{р-З2}+U_\text{р-С2}+U_\text{С-З2},
и закон сохранения импульса всех тел
$-M_\text{С}V_\text{С0} +(M_\text{З} + m)V_\text{З0} = 0;
$(M_\text{З} + m)V_\text{З0} = M_\text{З}V_\text{З1} + mv_1 = M_\text{З}V_\text{З2} + mv_2
$-M_\text{С}V_\text{С2} + M_\text{З}V_\text{З2} + mv_2 = 0
учесть , что
$v_2 = 0
$T_\text{р2} = 0
$U_\text{р-З2} = 0
$U_\text{р-С2} = 0
, --и отсюда найти $v_1 ?

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение25.11.2017, 19:17 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii
Закон сохранения энергии так можно записать. При этом закон сохранения импульса имеет вид одного векторного равенства:

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}+m\vec{v}_1=M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}}+m\vec{v}_2$

UPD: здесь у масс Земли и Солнца были ошибочно приписаны номера 1 и 2; эти ненужные номера я теперь удалил.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 16:30 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Т.е. для написания закона сохранения импульса нужно связать систему отсчета с какой-то точкой, которая должна двигаться с одинаковой скоростью. В системе центра масс всех тел Солнце, Земля, ракета до старта ракеты (назовем ее СО1) импульс нулевой, после старта -- тоже нулевой; но , когда ракета улетает на бесконечность , центр масс движется с новой скоростью, поэтому в системе СО1 импульс уже не нулевой. Т.е. мы не получим дополнительное уравнение для скоростей $V_\text{С0}, V_\text{З0}, V_\text{С1}, V_\text{З1}, V_\text{р1}. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 19:11 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii
В системе покоя центра масс всех тел суммарный вектор импульса равен нулю всё время, вне зависимости от того, как движутся тела и что с ними происходит. Это ведь закон сохранения импульса.

До старта у ракеты много топлива, а после старта топливо превратилось в новое тело - в струю газа, и масса оставшейся ракеты при этом уменьшилась. То есть ракета "распалась" на два отдельно летящих тела (или даже больше, чем на два, если от ракеты отделились ненужные ступени двигателя). Суммарный вектор импульса всех этих тел, вместе с Землёй и Солнцем, всё время остаётся таким же, как до старта, куда бы ни улетела ракета, газы, ступени двигателя, и как бы ни крутилась Земля вокруг Солнца. Это закон сохранения импульса!

Чтобы упростить себе приближённое вычисление 3-й космической скорости, не рассматривайте картину до старта и сам старт. Считайте, что остатки двигателя упали на землю, так что их масса и импульс теперь учитываются в массе и импульсе Земли. Считайте, что и струя газов (поскольку она осталась где-то в околоземном пространстве) добавила лишь какую-то мизерную добавку к массе и импульсу Земли.

То есть примите в качестве начального момента времени $t_1$ момент после старта, когда супер-пупер двигатель очень быстро и хорошенько разогнал ракету и выключился (и ненужные ступени уже отвалились). Так что ракета с оставшейся у неё массой $m$ летит "по инерции" с некоторой скоростью $\vec{v}_1,$ но ещё не успела удалиться от Земли на расстояние, сравнимое с радиусом Земли $R.$ То есть, в момент $t_1$ ракета массой $m$ уже летит с большой скоростью $\vec{v}_1,$ но ещё находится приблизительно на расстоянии радиуса Земли $R$ от центра Земли и приблизительно на расстоянии $R_1$ от центра Солнца, где $R_1$ - радиус приблизительно круговой орбиты Земли вокруг Солнца. А всё, что из ракеты отлетало по ходу старта, считается учтённым в массе Земли $M_{\text{З}}$ и в её начальном импульсе $M_{\text{З}} \vec{V}_{\text{З1}}.$

Вот для такого начального момента времени $t_1$ мы и записываем суммарный импульс всех тел:

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}+m\vec{v}_1.$

Здесь я должен извиниться: в предыдущем сообщении я нечаянно прикопипастил номера 1 и 2 массам Земли и Солнца; это, конечно, опечатка. (Сейчас я её там исправил). Массы Земли, Солнца и ракеты считаются неизменными в процессе полёта ракеты "по инерции" в глубины космоса, так что номера моментов времени не надо приписывать массам.



Начальная энергия всей нашей системы тел в момент $t_1$ в рамках принятых приближений есть

$\frac{mv_1^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З1}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С1}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС1}}} \right ) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} \, .$

Её надо приравнять энергии всей нашей системы тел в какой-то конечный момент времени $t_2,$ когда ракета уже улетит настолько далеко ("на бесконечность" от Солнца), что можно пренебрегать энергией её притяжения к Земле и к Солнцу (при этом у ракеты будет какая-то скорость $\vec{v}_2,$ но как её конкретно записать - это зависит от постановки задачи и от выбора системы отсчёта):

$\frac{mv_2^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З2}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С2}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС2}}} \right ) \, .$

А начальному импульсу всей нашей системы трёх тел будет равен её конечный импульс, т.е. импульс в момент $t_2:$

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}}+m\vec{v}_2.$

Да, если в роли системы отсчёта выбрать систему покоя центра масс всех наших трёх тел, то и начальный и конечный векторы импульса равны нулю.

Чтобы извлечь из этих уравнений пользу, надо принять ещё некоторые физически разумные приближения, допущения, воспользоваться огромной разницей масс ракеты и Земли с Солнцем. Может быть, можно считать, что центр масс системы очень близок к Солнцу (оно ведь очень массивное по сравнению с остальными телами в этой задаче), и поэтому система покоя центра масс приближённо совпадает с системой покоя Солнца; а нам как раз и надо найти 3-ю космическую скорость в системе покоя Солнца, полагая $v_2=0.$ И, может быть, можно считать, что ракета очень слабо притягивает к себе Землю и Солнце, так что ракета практически не влияет на "внутреннюю энергию системы Земля-Солнце", которая складывается из кинетических энергий Земли и Солнца и их энергии притяжения друг к другу. Если это так, то вклады в начальную и конечную энергию, показанные выше в скобках (это "внутренняя энергия" системы Земля-Солнце), приблизительно равны друг другу, и тогда для $v_1$ сразу получается знакомый ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 22:06 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):
А всё, что из ракеты отлетало по ходу старта, считается учтённым в массе Земли $M_{\text{З}}$ и в её начальном импульсе $M_{\text{З}} \vec{V}_{\text{З1}}.$

Тут всё понятно. Можно двигатель заменить пружиной на поверхности Земли.


Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):
полагая $v_2=0.$ И, может быть, можно считать, что ракета очень слабо притягивает к себе Землю и Солнце, так что ракета практически не влияет на "внутреннюю энергию системы Земля-Солнце", которая складывается из кинетических энергий Земли и Солнца и их энергии притяжения друг к другу. Если это так, то вклады в начальную и конечную энергию, показанные выше в скобках (это "внутренняя энергия" системы Земля-Солнце), приблизительно равны друг другу, и тогда для $v_1$ сразу получается знакомый ответ.
Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0
, то получается 43,62 \text{км/сек} (что подозрительно похоже на неправильный ответ тут post1254191.html#p1254191), а должно быть 46. Как я понимаю, это формула 3-й космической для закрепленных (неподвижных) Солнца и Земли .

Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):
у ракеты будет какая-то скорость $\vec{v}_2,$ но как её конкретно записать - это зависит от постановки задачи и от выбора системы отсчёта

Вот тут и начинаются серьезные проблемы с импульсом. По лекции 10 , где Фейнман рассматривает разлет 2-х тел в разных системах отсчета (лабораторная система, автомобиль, система центра масс), взаимодействие прекращается мгновенно , и система отсчета движется с одной скоростью.

В задаче 14.21 до старта центр масс не движется, после старта он движется, а когда ракета улетает на бесконечность -- опять не движется. Т.е. получить какую-то пользу можно, только зная относительную скорость одной системы к другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 22:52 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):
Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0,$
то получается $43,62 \text{ км/сек}$ (что подозрительно похоже на неправильный ответ тут post1254191.html#p1254191 ), а должно быть 46. Как я понимаю, это формула 3-й космической для закрепленных (неподвижных) Солнца и Земли .

Да, формула эта, и я полагаю, что это вполне приемлемая оценка для 3-й космической; да, она даёт приблизительно $43,6 \text{ км/сек}$ относительно Солнца. Если у Вас есть чёткие аргументы против этой формулы, то приведите их в виде обоснованных математических выражений, а не в виде слов "должно быть 46". (Ведь численная разница ответов может возникать и просто из-за того, что разные люди берут разные приближённые значения для одних и тех же букв в одинаковых формулах).

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):
Вот тут и начинаются серьезные проблемы с импульсом.
Опять-таки: пока не покажете в выкладках, о чём идёт речь, я не пойму, какие могут быть "проблемы с импульсом".

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):
до старта центр масс не движется, после старта он движется, а когда ракета улетает на бесконечность -- опять не движется

Центр масс чего? Если речь о центре масс всей совокупности тел, то он в системе покоя центра масс всей совокупности тел всё время неподвижен, даже если тела распадаются, слипаются, сталкиваются, разлетаются. (И, аналогично, если рассматривать инерциальную систему отсчёта, в которой этот центр масс движется, то он всё время движется с одной и той же скоростью).

Если же речь о центре масс только двух тел (Земля и Солнце), то можно решать задачу в системе отсчёта, в которой после старта в момент $t_1,$ т.е. до улёта ракеты "на бесконечность" центр масс двух тел Земля-Солнце неподвижен. Тогда в момент $t_2,$ т.е. после улёта ракеты "на бесконечность", центр масс двух тел Земля-Солнце в этой системе отсчёта движется (это и понятно: ракета, улетая, немножко стронула его с места: потянула его за собой гравитацией, и он по инерции продолжает двигаться). Однако, как несложно вычислить, скорость этого движения центра масс Земля-Солнца ничтожно мала; она мала из-за малости отношения масс $m/M,$ где $M=M_{\text{C}}+M_{\text{З}}.$ И получается, что в этой системе отсчёта оценка для 3-й космической практически совпадает с указанной выше оценкой в системе отсчёта с неподвижным Солнцем. И эта оценка 3-й космической по тем же причинам практически совпадает с оценкой в системе покоя центра масс всей системы трёх тел Земля-Солнце-ракета. Почему у Вас "должно быть 46", я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 23:07 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Цитата:
Почему у Вас "должно быть 46", я не знаю.


Так вот же:
Cos(x-pi/2) в сообщении #1265406 писал(а):

В этом приближении закон сохранения энергии принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2} .$


Если подставить сюда $v_2 = 42 \text{km/sec}, то $v_1 = 46 \text{km/sec}.

И способ с прыжками между системами: post1250802.html#p1250802 . Там получилось 16 \text{km/sec}, и если добавить скорость Земли 30 \text{km/sec}, то ответ 46 \text{km/sec} в системе Солнца.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение27.11.2017, 23:42 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii в сообщении #1269753 писал(а):
Если подставить сюда $v_2 = 42 \text{km/sec},$ то $v_1 = 46 \text{km/sec}.$
Во-первых, здесь Вы взяли из моего старого сообщения формулу для другой задачи (для 2-космической скорости). Во-вторых, в том старом моём сообщении дальше показано, как надо дальше обращаться с этой формулой, чтобы получить из неё правильную оценку для 2-й космической скорости. В-третьих: с какой радости подставлять туда $v_2 = 42 \text{km/sec}?$

Uchitel'_istorii в сообщении #1269753 писал(а):
И способ с прыжками между системами: post1250802.html#p1250802 .
Не знаю никаких прыжков. Знаю закон сохранения энергии: энергия всей замкнутой системы в любой момент времени $t_1$ равна энергии этой же системы в любой другой момент $t_2.$ (И аналогично действуют законы сохранения вектора импульса и вектора момента импульса). Всё. Вот законами сохранения и надо пользоваться. А всякие "прыжки" и переписывания без вывода формул с забора (или с Википедии) - это способ быстро самого себя запутать. Не имею ни малейшего желания искать ошибки в путанице, написанной "от балды", без вывода.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение29.11.2017, 01:24 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Cos(x-pi/2) в сообщении #1269758 писал(а):
с какой радости подставлять туда $v_2 = 42 \text{km/sec}?$


Вы писали:
Цитата:
Должно быть понятно, что существует сколько хочешь таких постановок задач: задается конкретная начальная скорость Земли (и затем она играет роль константы, характеризующей заданную систему отсчёта), и задаётся в этой же системе отсчёта конкретная желаемая скорость полёта ракеты по инерции "на бесконечности", а необходимую для этого начальную скорость ракеты надо вычислить.


Скорость $v_2 = 42 \text{km/sec}$ получается из уравнения:

$\tfrac{1}{2}mv^2 - GmM_\text{sun}/R_\text{sun-earth} = 0
Т.е. это скорость которую нужно развить телу, чтобы преодолеть притяжение Солнца, при отсутствии Земли (или в ситуации, когда земное притяжение уже преодолено).

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение29.11.2017, 19:10 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii в сообщении #1270074 писал(а):
Скорость $v_2 = 42 \text{km/sec}$ получается из уравнения:

$\tfrac{1}{2}mv^2 - GmM_\text{sun}/R_\text{sun-earth} = 0$
Т.е. это скорость которую нужно развить телу, чтобы преодолеть притяжение Солнца, при отсутствии Земли (или в ситуации, когда земное притяжение уже преодолено).

Ну и хрен с ней. Не вижу смысла подставлять её в то уравнение для 2-й космической скорости.


Ладно, пошёл печатать Вам решение для 3-й космической в системе покоя Земли. А в системе покоя Солнца Вы уже видели правильное уравнение, и знаете ответ:
Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):
Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0$
, то получается $43,62 \text{ км/сек}.$

Это правильный ответ.

Только не ленитесь ответы всегда выписывать в виде выражений, а не в виде готовых чисел. Глядя на выражение, можно увидеть, что в нём хорошо или что плохо. Если выражение правильное, то и число оно даст правильное, и сосчитать число по выражению в конце всей этой истории будет не проблема. А глядя на голое без выражения число $46 \text{ km/sec},$ нельзя увидеть, почему оно такое, а не другое; из числа не видно, как в нём появилась ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение29.11.2017, 20:47 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Модератор уже написал решение: post1250802.html#p1250802 . Но в этом решении часть формул записывается для системы Солнца, часть -- для системы Земли (в частности энергия , которую нужно донабрать, в разных системах разная). Эти прыжки совершенно неочевидны. С Вашей подсказкой стало возможным посчитать всё в системе Солнца. Но , как я понимаю, задачу всё равно надо решать в 2 этапа: сначала преодоление поля Земли, потом Солнца (хотя до конца не уверен, правомерно ли считать, что после преодоления притяжения Земли, тело оказывается не на бесконечности, а остается на орбите 150 млн. км от Солнца). Для решения в 1 этап, как я хотел сделать тут post1268979.html#p1268979 , не хватает уравнений, число неизвестных больше.

Цитата:
А глядя на голое без выражения число $46 \text{ km/sec},$ нельзя увидеть, почему оно такое, а не другое; из числа не видно, как в нём появилась ошибка.

В Вашем решении никак не учитывается движение Земли. Т.е. получается, если Солнце и Земля представляют одно невращающееся тело (жестко связаны стержнем ), то ответ не отличается.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение29.11.2017, 21:29 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Про какое движение Земли Вы говорите?

Если про её вращение вокруг своей оси, то даже на экваторе Земли ему соответствует линейная скорость всего лишь $\approx 0.46 \text{ км/с}.$ Это может дать поправку к искомой космической скорости только порядка 1 %, такую мелочь мы здесь не обсуждаем.

А если бы считалось, что Земля и Солнце составляют одно неподвижное (в системе покоя Солнца) тело, то получалось бы, что 3-я космическая одна и та же в системе покоя Солнца и в системе покоя Земли.

Но у нас это не так: в системе покоя Земли 3-я космическая меньше, чем в системе покоя Солнца, на величину орбитальной скорости Земли $\sqrt{GM_{\text{С}}/R_1} \approx 30 \text{ км/с},$ (где $R_1$ - радиус земной орбиты вокруг Солнца). Значит, движение Земли учтено.

Uchitel'_istorii в сообщении #1270200 писал(а):
Но , как я понимаю, задачу всё равно надо решать в 2 этапа: сначала преодоление поля Земли, потом Солнца (хотя до конца не уверен, правомерено ли считать, что после преодоления притяжения Земли, тело оказывается не на бесконечности, а остается на орбите 150 млн. км от Солнца).
Задачу можно решать и в десять этапов — делая разные приближения, по разному уточняя, что значит на практике "улететь на бесконечность", и поочерёдно внося поправки, связанные, например, с наличием Меркурия, Венеры, Луны, прочих планет и т.д. вплоть до учёта давления солнечного света на ракету. Плюс, какая-нибудь международная комиссия по космонавтике вздумает законодательно постановить: "считать 3-космическую равной стольким-то км/c." В общем, стопятьсот разных приближений дадут стопятьсот немножко разных ответов (и тогда Вам придётся переименовать тему :-))

Но думаю, что сначала Вам надо научиться осознанно пользоваться законом сохранения энергии в самом простом приближении: есть всего три тела, и уже в таком случае точный вид траектории ракеты не вычислить элементарными расчётами, поэтому начинаем с самой простой модели. И в ФЛФ принят такой же подход к изучению физики.

А Вы ведь сейчас даже не можете чётко вывести из закона сохранения энергии якобы "правильные" $46 \text{ км/c},$ но упорно позволяете себе заявлять, будто ответ $43,6 \text{ км/c}$ неправильный. Не на словах, а обоснованными выкладками покажите, откуда возникает разница, тогда и посмотрим, какой ответ правильнее.

(Я нашёл "вывод 46 км/c" в учебнике механики Стрелкова, но, на мой взгляд, он неверный: ошибка там как раз в неправильных переходах между системами отсчёта. Возможно, этот "вывод" перекочевал и в другие книжки, а из них и в интернет).

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение30.11.2017, 10:28 
Аватара пользователя


29/11/16
227
Вывод числа 46.
Этап I.
Ракета находится на расстоянии $R_\text{s-e} от Солнца в системе центра масс Солнца и ракеты. ЗСЭ:
$T_\text{s1}+T_\text{r1}+U_\text{s-r1} = T_\text{s2}+T_\text{r2}+U_\text{s-r2}
На бесконечности ракета неподвижна $ v_\text{r2} =0, по ЗСИ:$M_\text{s}V_\text{s2} = - mv_\text{r2} \Rightarrow V_\text{s2} =0
$T_\text{s1}+T_\text{r1}+U_\text{s-r1} = 0+0+0
$\tfrac{1}{2}M_\text{s}V_\text{s1}^2 +\tfrac{1}{2}mv_\text{r1}^2 - \tfrac{GmM_\text{s}}{R_\text{s-e}} = 0
Подставив $V_\text{s1} = -\tfrac{mv_\text{r1}}{M_\text{s}}:
$v_\text{r1} = \sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}^2}{(m+M_\text{s})R_\text{s-e}}}
В системе Солнца:
$v_\text{r1} = \sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}^2}{(m+M_\text{s})R_\text{s-e}}} + \tfrac{mv_\text{r1}}{M_\text{s}}
Если $m\to 0, то $v_\text{r1}=\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}.

Этап II.
Ракета находится на расстоянии $R от центра Земли в системе Солнца.
Вывод формулы, связывающей начальную и конечную скорости ракеты при преодолении притяжения Земли см. здесь post1265348.html#p1265348 .
\tfrac{m{v_1}^2}{2}
-V_0 v_1 m
- \tfrac{GMm}{R}
= \tfrac{m{v_2}^2}{2}
-V_0 v_2 m

$v_1 = V_0 + \sqrt{V_0^2-2V_0v_2+v_2^2+\tfrac{2GM}{R}}

В конце главы http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... ml#Ch13-S3 Фейнман говорит, что суммарные энергию и силу можно разложить на составляющие и производить расчеты, как если бы силы для каждой пары тел действовали независимо.
Поэтому вместо $v_2 в последней формуле нужно подставить $v_\text{r1} из этапа I, тогда конечная скорость в этапе II будет равна начальной в этапе I и будет обеспечено непрерывность рассмотрения этих двух взаимодействий независимо. По хронологии вначале наступает этап II, потом этап I.

$v_1 = V_0 + \sqrt{V_0^2-2V_0\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}+\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}+\tfrac{2GM}{R}}

При уменьшении массы Земли , сумма потенциальной и кин. энергий системы Земля - Солнце уменьшиться , но при $m=0$ это изменение также $=0$.

При подстановке числовых значений в последнюю формулу , получаем $v_1 = 46 \text{km/sec}.


Cos(x-pi/2) в сообщении #1270211 писал(а):
Про какое движение Земли Вы говорите?
Речь о движении Земли вокруг Солнца со скоростью $V_0 = 30 \text{km/sec} в системе Солнца.


Cos(x-pi/2) в сообщении #1270211 писал(а):

А если бы считалось, что Земля и Солнце составляют одно неподвижное (в системе покоя Солнца) тело, то получалось бы, что 3-я космическая одна и та же в системе покоя Солнца и в системе покоя Земли.

Но у нас это не так: в системе покоя Земли 3-я космическая меньше, чем в системе покоя Солнца, на величину орбитальной скорости Земли $\sqrt{GM_{\text{С}}/R_1} \approx 30 \text{ км/с},$ (где $R_1$ - радиус земной орбиты вокруг Солнца). Значит, движение Земли учтено.


Переход из системы в систему осуществляется вычитанием из скоростей всех тел скорости второй системы относительно первой. Т.е. Вы совершили переход , а не учет. Предположим, нам не надо знать скорость в системе покоя Земли. Тогда одинаковая 3-я космическая скорость в системе Солнца и системе Земли не является аргументом. Имеем 2 варианта начальных условий: 1) Земля летит со скоростью 30 км/сек в системе Солнца; 2) Земля удерживается неподвижно в системе Солнца. У Вас в системе Солнца получился одинаковый формульный ответ для этих двух вариантов. Возьмем 3-й вариант: Земля летит , со скоростью 42 км/сек. Опять формульный ответ будет такой же? Но ведь ракете тогда достаточно стоять на стартовой площадке и ждать, пока Земля сама улетит на бесконечность, а потом преодолеть только поле Земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение30.11.2017, 19:46 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):
Переход из системы в систему осуществляется вычитанием из скоростей всех тел скорости второй системы относительно первой. Т.е. Вы совершили переход , а не учет.
Не надо заниматься игрой в слова. Если у тел скорости разные, то они во всех системах отсчёта разные; и сам тот факт, что скорости у тел разные, уже означает, что тела движутся друг относительно друга.

Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):
Имеем 2 варианта начальных условий: 1) Земля летит со скоростью 30 км/сек в системе Солнца; 2) Земля удерживается неподвижно в системе Солнца. У Вас в системе Солнца получился одинаковый формульный ответ для этих двух вариантов.
Да, так и должно быть; вроде, это очевидно.
Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):
Возьмем 3-й вариант: Земля летит , со скоростью 42 км/сек. Опять формульный ответ будет такой же? Но ведь ракете тогда достаточно стоять на стартовой площадке и ждать, пока Земля сама улетит на бесконечность, а потом преодолеть только поле Земли.
Но относительно Солнца ракета при этом не будет стоять, а будет лететь; в системе покоя Солнца формула и выдаёт скорость ракеты относительно Солнца. Будет ли ответ такой же в 3-м варианте, я пока не знаю. Это другая задача, её я ещё не решал.

-- 30.11.2017, 20:34 --

С Вашим "Этапом 1" я согласен как с решением задачи без учёта Земли: $v_\text{r1}=\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}$ есть скорость в системе покоя Солнца, при которой ракета сможет улететь с расстояния $R_\text{s-e}$ от центра Солнца на бесконечность. (Кстати, это неплохая оценка для 3-й космической скорости: она всего примерно на 4 % меньше той, что получается с учётом Земли.)

Но "Этап 2" — какая-то муть мутная. Это непонятная мне попытка соединить решение задачи без Земли с задачей без Солнца, вместо того, чтобы честно вывести следствия из закона сохранения энергии и импульса в задаче сразу с тремя телами.


Ладно, так и быть. Не буду больше ждать. Вот обещанное моё решение задачи о 3-й космической скорости, основанное на законах сохранения в системе "Солнце + Земля + ракета" (без всяких мутных "Этапов"; но, разумеется, с приближениями). Получилось длинновато, зато подробно:

(Подробно)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group