Движение по окружности

[ludwig51]

Someone в сообщении #1267987 писал(а):

$$\frac d{dt}\cos(\omega(t)t)=-\sin(\omega(t)t)\cdot\left(t\frac d{dt}\omega(t)+\omega(t)\right),$$

$\omega =\omega (t)$

$\frac{d\cos(\omega t)}{dt}=-\sin(\omega t)\frac{d(\omega t)}{dt}=-\sin(\omega t)\frac{td(\omega)+\omega dt}{dt}=-\sin(\omega t)\frac{\omega dt}{dt}=-\omega \sin(\omega t) $

В слагаемом $td(\omega)+\omega dt $ бесконечно малым $d(\omega)$ можно пренебречь.

И правила математики:
u - неявная функция от времени.
$\frac{d(ut)}{dt}=u$

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1268058 писал(а):

В слагаемом $td(\omega)+\omega dt $ бесконечно малым $d(\omega)$ можно пренебречь.

Во-первых, Вы заблуждаетесь, если считаете дифференциалы бесконечно малыми. Во-вторых, если Вы подразумеваете бесконечную малость $d\omega$ при $\Delta t\to 0$, то $dt$ — такая же бесконечно малая. После деления на $\Delta t$ и перехода к пределу при $\Delta t\to 0$ выскакивает производная функции $\omega(t)$. Лучше освежите свои знания дифференциального исчисления.

[ludwig51]

Someone в сообщении #1268065 писал(а):

Лучше освежите свои знания дифференциального исчисления.

Вы правы.
Извините за ошибку.
Поднял свои старые записи из задачи двух тел.
$\frac{d}{dt}\sin\varphi =\dot{\varphi }\cos\varphi$
$\varphi =\omega(t) t $
Но $\dot{\varphi} \neq \omega(t) $

[DimaM]

ludwig51 в сообщении #1268351 писал(а):

Но $\dot{\varphi} \neq \omega(t) $

Здесь как раз должно быть равенство - это определение угловой скорости. Неравенство будет в предыдущем случае (при переменной $\omega$ получаем $\varphi\neq\omega(t) t$).

[Walker_XXI]

ludwig51 в сообщении #1268351 писал(а):

$\varphi =\omega(t) t $
Но $\dot{\varphi} \neq \omega(t) $

Поясню, что в этих формулах плохо. Как писал выше DimaM, по определению угловая скорость -- это $\dot{\varphi}$. Если угловая скорость постоянна, то угол линейно зависит от времени и имеет место равенство

$$\varphi(t) = \omega t + \varphi_0,$$

где $\omega$ -- постоянная угловая скорость. Вполне возможно, что по тем или иным причинам зависимость угла от времени выражается формулой

$$\varphi(t) = \omega (t) \cdot t.$$

Но в таком случае функция $\omega (t)$ уже не будет угловой скоростью (и для неё, вообще говоря, лучше выбрать другое обозначение, чтобы потом случайно не совершить подмены понятий). Угловой скоростью будет

$$\dot {\varphi}=\dot{\omega}(t) \cdot t + \omega (t).$$

[ludwig51]

Walker_XXI в сообщении #1268579 писал(а):

Угловой скоростью будет

$$\dot {\varphi}=\dot{\omega}(t) \cdot t + \omega (t).$$

DimaM
писал, что $\dot {\varphi}= \omega (t).$

В задаче TC - вращение не с постоянной угловой скоростью, несмотря на то, что имеем вращение по окружности.
Пример из задачи двух тел.
Из ЗСМИ:
$r^2\dot{\varphi }=R_{\text{периг.}}V_{\text{периг.}}$
где $\dot{\varphi }=\omega$ - мгновенная угловая скорость.
То есть пришли к тому, что написал DimaM

[Metford]

ludwig51
Есть вполне устоявшееся употребление термина "угловая скорость" и его обозначения $\omega$. Не нужно изобретать велосипед...

По-моему на последней странице обсуждение нетвёрдой походкой ушло куда-то в сторону. ТС молчит. Некий прогресс, как мне представляется, имел место. Наверное, имеет смысл сейчас подождать, что ещё скажет автор темы.

[ludwig51]

Metford в сообщении #1268636 писал(а):

ludwig51
Есть вполне устоявшееся употребление термина "угловая скорость" и его обозначения $\omega$. Не нужно изобретать велосипед...

Я это не отрицаю.

Цитата:

По-моему на последней странице обсуждение нетвёрдой походкой ушло куда-то в сторону. ТС молчит. Некий прогресс, как мне представляется, имел место. Наверное, имеет смысл сейчас подождать, что ещё скажет автор темы.

Молчу. Ждём ответа TC.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

ludwig51 в сообщении #1268630 писал(а):

DimaM
писал, что $\dot {\varphi}= \omega (t).$

Так вы мою формулу из контекста вырвали. А контекст таков:

Цитата:

Вполне возможно, что по тем или иным причинам зависимость угла от времени выражается формулой

$$\varphi(t) = \omega (t) \cdot t.$$

Но в таком случае функция $\omega (t)$ уже не будет угловой скоростью (и для неё, вообще говоря, лучше выбрать другое обозначение, чтобы потом случайно не совершить подмены понятий).

Угловая скорость по определению она равна $\dot{\varphi}$. Определение чисто кинематическое (ни динамика, ни какие-то частные задачи двух тел не имеют значения).

TC, кстати, правильно определил зависимость угла от времени интегрированием.

[ludwig51]

(Оффтоп)

Walker_XXI в сообщении #1268690 писал(а):

Угловая скорость по определению она равна $\dot{\varphi}$.

Я с вами не спорю.
Я писал:

ludwig51 в сообщении #1268630 писал(а):

$\dot{\varphi }=\omega$ - мгновенная угловая скорость.