Изменение температуры тела во время свободного падения

[Navuhodonosor]

Всем хорошего дня :)

Есть задача: тело цилиндрической формы с толщиной стенок $0.03$ м и диаметром и длиной $0.4$ м падает с высоты $1000$ м со скоростью $25$ м/с. Нужно рассчитать изменение температуры цилиндра во время падения, если его начальная температура $90°C$ градусов, а температура среды - $15°C$. Подсказка: нужно найти физические параметры стали и воздуха и воспользоваться теоремами Кондратьева. Ответ дать в виде графика $t(\tau)$ по пяти точкам

Собственно, пытаюсь решать. Очевидно, что тело надо принять неподвижным, просто обдуваемым потоком воздуха со всех сторон со скоростью $25$ м/с. Тело падает 40 секунд, поэтому точки - 8, 16, 24, 32, 40 секунды. Далее возникает соблазн воспользоваться теорией подобия, но в подсказке стоит использование теорем Кондратьева. Начинаю использовать. Нахожу критерий Био:

$Bi = \frac{al}{\lambda }=110\cdot 10^{3}$

Критерий Био стремится к бесконечности, тепловой режим тела - стационарный. Формула темпа охлаждения:

$m=\psi \frac{aF}{\rho CV}$, где

$\psi=(B^{2}+1.44B+1)^{-0.5}$, а

$B=\frac{a}{\lambda }\cdot \frac{FK}{V}$, в свою очередь:

$V$ и $F$ - объём и площадь поверхности тела, К - коэффициент формы тела, он посчитан и равен $2.72 \cdot 10^{-4}$.

Нахожу всё:

$B=748.89$;

$\psi = 1.33\cdot 10^{-3}$;

$m = 45.688$ 1/с.

Собственно, вопрос - а что делать дальше? Как узнать, какая температура будет у тела? Скорее всего, кстати, у меня в вычислениях ошибка, но это некритично, главное - понять алгоритм. Пытался вычислять температуру на следующей точке через формулу:

$m= \frac{ln\Theta'-ln\Theta''}{\tau''-\tau'}$

(ведь известно всё, кроме $ln\Theta''$), но ничего хорошего из этого не получилось.

[Pphantom]

Такой риторический вопрос: а за счет чего у Вас тело греется?

[Navuhodonosor]

Pphantom в сообщении #1268558 писал(а):

Такой риторический вопрос: а за счет чего у Вас тело греется?

Вообще, там должен быть электронный аппарат внутри. Разве нельзя считать, что оно само по себе просто горячее?

[Pphantom]

Navuhodonosor в сообщении #1268559 писал(а):

Разве нельзя считать, что оно само по себе просто горячее?

Какая-то уж совсем нежизненная задача получается. Тело с параметрами небольшой авиабомбы падает с постоянной (!) скоростью, но при этом воздушное трение (и соответствующий нагрев) отсутствуют...

Впрочем, если все это допустить, то тогда все и в самом деле просто. Вы же можете найти темп теплообмена (из первой теоремы Кондратьева).

[Navuhodonosor]

Pphantom в сообщении #1268563 писал(а):

Впрочем, если все это допустить, то тогда все и в самом деле просто. Вы же можете найти темп теплообмена (из первой теоремы Кондратьева).

Я его уже, вроде как, нашёл :)
Вот только что дальше делать? В задаче было сказано ещё найти теплофизические параметры воздуха - неспроста это.

И мысли вслух я посчитал объём цилиндра без учёта полости (там ведь аппарат), но неспроста нам дана толщина корпуса... Наверно, надо всё-таки допустить, что аппарат пустой и посчитать объём тела с вычетом пустоты. Я прав?

[Pphantom]

Navuhodonosor в сообщении #1268566 писал(а):

Я его уже, вроде как, нашёл :)

И каков у этой величины смысл? Собственно, ответы на последующее появятся, если подумать про это.

Navuhodonosor в сообщении #1268566 писал(а):

Вот только что дальше делать? В задаче было сказано ещё найти теплофизические параметры воздуха - неспроста это.

В общем-то да. Например, теплоемкость тут совсем не помешает.

Navuhodonosor в сообщении #1268566 писал(а):

И мысли вслух я посчитал объём цилиндра без учёта полости (там ведь аппарат), но неспроста нам дана толщина корпуса... Наверно, надо всё-таки допустить, что аппарат пустой и посчитать объём тела с вычетом пустоты. Я прав?

Наверное.

[Navuhodonosor]

Pphantom в сообщении #1268592 писал(а):

И каков у этой величины смысл?

Уменьшение температуры за секунду в градусах.

Вот я и упёрся в то, каким образом высчитывать температуру на каждом временном промежутке. В формулах, которые я находил, время было только в этой:

$m= \frac{ln\Theta'-ln\Theta''}{\tau''-\tau'}$

И я не понимаю, в какой формуле и когда применять теплофизические параметры воздуха.

-- 24.11.2017, 14:42 --

Navuhodonosor в сообщении #1268594 писал(а):

$m= \frac{ln\Theta'-ln\Theta''}{\tau''-\tau'}$

Хм... Скорее всего, у меня были проблемы из-за неправильно найденного темпа охлаждения. При $m<1$ результат решения уравнения:

$m= \frac{ln\75-lnx''}{8}$

принимает более или менее удобоваримый вид.

[Navuhodonosor]

Ан нет, $m=2.55$.

[Navuhodonosor]

Просьба подсказать, в каком направлении двигаться в решении задачи. Воспринимать ситуацию с телом как обтекание цилиндрического тела потоком жидкости? Так вроде формул для неограниченного пространства нет...

[GraNiNi]

Navuhodonosor в сообщении #1268555 писал(а):

Нахожу критерий Био:

$Bi = \frac{al}{\lambda }=110\cdot 10^{3}$

Сдается мне, что это - липа.
Раскройте числовые значения в формуле.

[Navuhodonosor]

GraNiNi, я как раз хотел написать значения параметров :)
Может, у меня они не те.

Сталь: $\rho = 7900$ кг/куб. м
$\lambda=45.4$ Вт/м*C
$C_{p}=0.462$
$a =12.5 \cdot 10^{6}$

Воздух (нигде не используется): $\rho = 1.184$ кг/куб. м
$\lambda=258$ Вт/м*C
$C_{p}=1$
$a =2.2 \cdot 10^{6}$ кв. м/с

$l=0.4$ м

[Pphantom]

Navuhodonosor в сообщении #1268594 писал(а):

Уменьшение температуры за секунду в градусах.

Не совсем. С чего бы это тогда у него была размерность обратного времени?

[GraNiNi]

Navuhodonosor в сообщении #1268675 писал(а):

$a =12.5 \cdot 10^{6}$

Что это такое?

[Navuhodonosor]

GraNiNi в сообщении #1268678 писал(а):

Что это такое?

Мне показалось, что температуропроводность. Наверно, я ошибся и это коэффициент теплоотдачи, который надо находить таки через теорию подобия?

Pphantom в сообщении #1268677 писал(а):

Не совсем. С чего бы это тогда у него была размерность обратного времени?

Буксую.

[GraNiNi]

Navuhodonosor в сообщении #1268680 писал(а):

Мне показалось, что температуропроводность. Наверно, я ошибся и это коэффициент теплоотдачи, который надо находить таки через теорию подобия?

Вот именно!
Это коэффициент теплоотдачи от нагретого цилиндра к охлаждающего его потоку воздуха и его нужно рассчитать (должен быть не больше 100).

Navuhodonosor в сообщении #1268675 писал(а):

Воздух (нигде не используется)

Вот здесь и используются теплофизические параметры воздуха.
Проверьте их величины и размерности - они у Вас неправильные, иначе все расчеты и дальше будут неверны.