Движение по окружности

[Metford]

Нет, Вы пока не поняли. Смотрите:

В другой точке направления ортов будут другими в общем случае. Модуль их, конечно, всегда единичный. По определению.

[tohaf]

То есть это орты, которые не привязаны к началу координат?
И вы меня просили такое нарисовать?) Я такого в жизни не видел)

[Metford]

tohaf в сообщении #1267112 писал(а):

То есть это орты, которые не привязаны к началу координат?

Вообще, если подумать, то в прямоугольных координатах тоже нет необходимости откладывать орты от начала координат. Но в прямоугольных координатах орты в любой точке направлены одинаково - их можно просто параллельно перенести. В криволинейных координатах так уже не будет.
Я бы Вам ещё посоветовал практики ради как-нибудь на досуге подобную картинку сделать для сферических координат. В первый раз будет сложно, но оно того стоит.

tohaf в сообщении #1267112 писал(а):

И вы меня просили такое нарисовать?) Я такого в жизни не видел)

Так что ж... Вы и со знанием производной не родились. Наверное Узнали ведь - теперь дифференцировать умеете... Ну да ладно, это лирика.

Вернёмся к делам нашим. Вот теперь Вы могли бы написать проекции ортов в полярных координатах на оси системы прямоугольных координат? Прямо по моей картинке, в её обозначениях.

[tohaf]

В десятый раз смотрю и не понимаю. Какой смысл в этих ортах? Что они должны характеризовать? Как они могу "вращаться"?
Как вообще это называется?
Проекции ортов, ну, я так понимаю, это у орты радиуса $\cos(\varphi)e$, а у орты угла... Не знаю.
[img]s16.radikal.ru/i190/1711/6c/81f285fa3a7d.png[/img]

(Оффтоп)

просто фантастическое дело - с компьютера радикал не открывается, с телефона - открывается...

[Metford]

tohaf в сообщении #1267115 писал(а):

Какой смысл в этих ортах?

Как обычно: чтобы можно было любой вектор на плоскости записать через два вполне определённых вектора.
Вы помните: наша цель последовательно получить сначала вектор скорости, а потом вектор ускорения, отталкиваясь исходно от закона движения, т.е. зависимости от времени радиус-вектора материальной точки. Получаются они последовательным дифференцированием этой зависимости. В прямоугольных координатах проводить разделение ускорения, например, на нормальную и тангенциальную составляющую неудобно. Если это сейчас не видно, то пока поверьте на слово: доберёмся до цели - увидите своими глазами.

tohaf в сообщении #1267115 писал(а):

Проекции ортов, ну, я так понимаю, это у орты радиуса $\cos(\varphi)$, а у орты угла... Не знаю.

Вы умеете находить проекции вектора на выбранные оси? Вот есть, например, вектор $\vec{e_r}$. Скажите, чему равны его проекции на оси абсцисс и ординат?

(Оффтоп)

Скоро математиков придётся звать на помощь.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267118 писал(а):

поверьте на слово:

Да я с радостью...

Metford в сообщении #1267118 писал(а):

Вы умеете находить проекции вектора на выбранные оси? Вот есть, например, вектор $\vec{e_r}$. Скажите, чему равны его проекции на оси абсцисс и ординат?

Metford в сообщении #1267113 писал(а):

Вы могли бы написать проекции ортов в полярных координатах на оси системы прямоугольных координат?

Похоже, что не умею. Что я знаю о полярных координатах - я уже писал - вектор, который имеет модуль и угол.
Проекцию вектор в ортогональном ортонормированном базисе - я тоже писал, это косинус угла между проецируемым вектором и тем направлением (или прямой, или вектором) на который нужно найти проекцию. Так же, проекция вектора - это скалярное произведение вектора на единичный вектор направления.

[Metford]

tohaf в сообщении #1267122 писал(а):

Проекцию вектор в ортогональном ортонормированном базисе - я тоже писал, это косинус угла между проецируемым вектором и тем направлением (или прямой, или вектором) на который нужно найти проекцию

Для единичного вектора - да. Так вот я и не могу понять, что Вам мешает написать проекции вектора $\vec{e_r}$ на оси абсцисс и ординат. Два числа! Дайте два числа! И пойдём дальше. Вот заполните пробелы: $\vec{e_r}=\{...,...\}\equiv(...)\cdot\vec{e_x}+(...)\cdot\vec{e_y}$.

[tohaf]

$\vec{e_r}= \equiv(\cos\varphi)\cdot\vec{e_x}+(\sin\varphi)\cdot\vec{e_y}$.

Что в скобках - не знаю.

[Metford]

Уберите из фигурных скобок безобразие, пожалуйста... Там просто компоненты должны были быть записаны вот так: $\{\cos\varphi,\sin\varphi\}$.

А теперь так же для $\vec{e_{\varphi}}$. А ещё, чтобы два раза не вставать, вычислите производную по времени от вектора $\vec{e_r}$, предполагая, что $\varphi=\omega t$, где $\omega$ - постоянная величина (угловая скорость в перспективе).

[tohaf]

Не знаю, что это означает.

Metford в сообщении #1267128 писал(а):

просто компоненты должны были быть записаны вот так: $\{\cos\varphi,\sin\varphi\}$.

$$\vec{e_r}=(\cos\varphi)\cdot\vec{e_x}+(\sin\varphi)\cdot\vec{e_y} = (\cos{ \omega t})\cdot\vec{e_x}+(\sin{ \omega t})\cdot\vec{e_y} $$

$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}=\frac{d}{dt}[(\cos\varphi)\cdot\vec{e_x}+(\sin\varphi)\cdot\vec{e_y}] = \frac{d}{dt}[(\cos{ \omega t})\cdot\vec{e_x}+(\sin{ \omega t})\cdot\vec{e_y}] = - \omega\sin{ \omega t}\cdot\vec{e_x}+ \omega \cos{ \omega t}\cdot\vec{e_y} $$

$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}= \omega(-\sin{ \omega t}\cdot\vec{e_x}+ \cos{ \omega t}\cdot\vec{e_y}) $$

$$\vec{e_\varphi}= \cos(\varphi+90^{\circ})\cdot\vec{e_x}+\sin(\varphi+90^{\circ})\cdot\vec{e_y} = -\sin(\varphi)\cdot\vec{e_x}+\cos(\varphi)\cdot\vec{e_y} = -\sin( \omega t)\cdot\vec{e_x}+\cos( \omega t)\cdot\vec{e_y} $$

$$\frac{d\vec{e_\varphi}} {dt}=\frac{d}{dt}[ -\sin(\varphi)\cdot\vec{e_x}+\cos(\varphi)\cdot\vec{e_y} ] = \frac{d}{dt}[ -\sin( \omega t)\cdot\vec{e_x}+\cos( \omega t)\cdot\vec{e_y}] = - \omega \cos{ \omega t}\cdot\vec{e_x}- \omega \sin{ \omega t}\cdot\vec{e_y} $$

$$\frac{d\vec{e_\varphi}} {dt}= - \omega (\cos{ \omega t}\cdot\vec{e_x} + \sin{ \omega t}\cdot\vec{e_y} )$$

[Metford]

Не обращайте тогда внимание на запись в фигурных скобках.

Знака градуса не хватает в Вашей записи - ну да ладно. Формулы приведения нужно ещё применить, чтобы упростить немного выражение.
И продифференцировать?..

[tohaf]

Вроде бы.

[Metford]

Не путайте буквы $w$ и $\omega$. Они более или менее традиционно используются в разных случаях: первая - для ускорения, вторая - для угловой скорости. Продифференцировали правильно. А теперь сравните результат дифференцирования с самими ортами $\vec{e_r}$ и $\vec{e_{\varphi}}$. Тогда получится совсем хорошая компактная запись.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267140 писал(а):

сравните результат дифференцирования с самими ортами

Не получается... Знаки не совпадают, не понимаю как свернуть.

(Оффтоп)

я вас от сна не увожу?

[Metford]

tohaf в сообщении #1267147 писал(а):

Не получается... Знаки не совпадают, не понимаю как свернуть.

Цитирую Вашу формулу:

$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}= \omega(- \sin{ \omega t}\cdot\vec{e_x}+ \cos{ \omega t}\cdot\vec{e_y}).$$

Только в нарушение авторских прав скобочки поставил. На что бы это было похоже?.. У Вас всего два вектора для сравнения

(Оффтоп)

tohaf в сообщении #1267147 писал(а):

я вас от сна не увожу?

Не беспокойтесь: когда нужно будет спать - я уйду.