2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 18:34 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Если угловое ускорения точки $E$ , движущейся по окружности, равно нулю - то угловая скорость $W$ равна константе.
В таком случае,производная пути $\frac{dS}{dt}$ или производная радиус-вектора $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$. Это вектор направлен строго по касательной.
Производная такого вектора скорости (то есть разница между двумя векторами скорости очень близкими друг к другу с одинаковым модулем делённая на время) будет называться вектором ускорения $\vec{a}$. Этот вектор перпендикулярен касательной в этой точке. То есть - направлен в центр окружности.



Если $E$ не равно нулю - то $W$ равна $W(t)$.
В таком случае, $\frac{dS}{dt}$ или $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$.Это вектор направлен не по касательнойЭто вектор направлен строго по касательной..
Производная такого вектора скорости будет называться вектором ускорения $\vec{a}$. Этот вектор уже будет не перпендикулярен касательной в этой точке. То есть - направлен не в центр окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf в сообщении #1266927 писал(а):
$\frac{dS}{dt}$ или $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$

Вы только что назвали скалярную величину вектором. Это нехорошо.
tohaf в сообщении #1266927 писал(а):
$\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$. Это вектор направлен не по касательной.

Докажите, пожалуйста, это Ваше утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 18:55 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford,
Изображение
Или нет... Производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной, какая разница есть или нет разница в модулях, никакой...
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf
Вы что-то другое, похоже, доказываете. Мы говорим о производной радиус-вектора? Так вот на Вашей картинке (на обеих: пока отвечал, у Вас уже вторая появилась) ни единого радиус-вектора не указано. А насчёт скорости никто и не возражал: да, её производная по времени не обязана быть направленной по касательной. Собственно, почему и различают нормальное и тангенциальное ускорения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 19:05 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1266959 писал(а):
Вы что-то другое, похоже, доказываете. Мы говорим о производной радиус-вектора? Так вот на Вашей картинке (на обеих: пока отвечал, у Вас уже вторая появилась) ни единого радиус-вектора не указано. А насчёт скорости никто и не возражал: да, её производная по времени не обязана быть направленной по касательной. Собственно, почему и различают нормальное и тангенциальное ускорения.

Я очень сильно ошибся. Вектор скорости, да - совпадает с касательной в точке...
Вот это запутало.
Изображение

Не получается разобраться.
Радиус вектор $\vec{r}(t) =r(t) \hat{r} (t) $.
$\hat{r} \hat{y}$ - единичные векторы направления.
$\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi)+\hat{y}\sin(\varphi)$
Как, зная это, а также радиус и угловое ускорение, показать, как выглядит вектор ускорения, а так же его составляющие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf в сообщении #1266961 писал(а):
Вектор скорости, да - совпадает с касательной в точке...

Давайте только это выразим более корректно: вектор - не касательная, он ей принадлежит в данном случае.

Что же касается картиночек, которые Вы выше привели, то их можно использовать как раз для рассмотрения нормального ускорения. Если не хотите пользоваться формулами Френе, а проводить вывод по-рабоче-крестьянски (что на определённом этапе неплохо), то лучше всего разбить общий случай на два частных: движение по окружности с постоянной скоростью и движение по прямой с меняющимся модулем скорости. Первое движение выдаст нормальное ускорение в чистом виде, второе - тангенциальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 19:21 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1266966 писал(а):
Если не хотите пользоваться формулами Френе

Вот это $\frac{d}{dt}(v\vec{\tau})=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$ формулы Френе? Диф. геометрии у меня не было. Для меня - просто производная произведения двух функций. Ну и не понятно, что означает $v\vec{\tau}$.
Вот это $ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt}$ - понятно. Тем более, что в случае движения по окружности будет $ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 0\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} =  r \frac{d\hat{r}}{dt}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf в сообщении #1266973 писал(а):
Вот это $\frac{d}{dt}(v\vec{\tau})=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$ формулы Френе?

Нет. Это обычная производная от произведения. Формулы Френе дают величины производных базисных векторов сопутствующей системы координат. Т.е. производная вектора $\vec{\tau}$ как раз к ним относится.
tohaf в сообщении #1266973 писал(а):
Ну и не понятно, что означает $v\vec{\tau}$.

Единичный вектор касательной к кривой в данной точке. Вы ведь видите, как скорость была записана: $\vec{v}=v\vec{\tau}$. Здесь просто разделены модуль скорости и её направление для удобства дифференцирования.
tohaf в сообщении #1266973 писал(а):
$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 0\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} =  r \frac{d\hat{r}}{dt}$

И чему же равна производная орта радиус-вектора? С этим нужно бы разобраться обязательно, если не знаете.
tohaf в сообщении #1266973 писал(а):
Диф. геометрии у меня не было.

Да ведь её ни у кого нет на момент изучения кинематики. Это было бы счастье, если бы люди, приступая к изучению кинематики, знали всю нужную для этого математику. Кинематика тогда занимала бы ну совсем мало времени. В ней собственно физики очень мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 20:32 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1266975 писал(а):
Нет. Это обычная производная от произведения. Формулы Френе дают величины производных базисных векторов сопутствующей системы координат. Т.е. производная вектора $\vec{\tau}$ как раз к ним относится.

То есть я верно догадывался, что когда $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi)+\hat{y}\sin(\varphi)$ и угловая скорость равна константе - то всё легко и просто дифференциируется объясняется по-холопски. А вот если $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi(t))+\hat{y}\sin(\varphi(t))$ - то уже нужна диф геометрия?
Metford в сообщении #1266975 писал(а):
Единичный вектор касательной к кривой в данной точке. Вы ведь видите, как скорость была записана: $\vec{v}=v\vec{\tau}$. Здесь просто разделены модуль скорости и её направление для удобства дифференцирования.

Чуть понятнее стало.
Metford в сообщении #1266975 писал(а):
И чему же равна производная орта радиус-вектора? С этим нужно бы разобраться обязательно, если не знаете.

А вот если $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi(t))+\hat{y}\sin(\varphi(t))$ - то для нахождения производной уже нужна диф геометрия?
Потому что если $w$ константа, то я уже писал, как выглядят скорость и ускорение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf
Есть предложение пойти последовательно по теме, раз уж Вы от неё не отступаетесь - что хорошо, разумеется.
Прежде всего, Вы не думайте о том, что относится к дифференциальной геометрии, а что - нет. Думайте над конкретным вопросом и считайте!

Будем иди шаг за шагом. Запишите орты полярной системы координат в декартовых координатах.
Да, не самое удачное обозначение Вы используете $\hat{r}$. Лучше, на мой взгляд, $\vec{e_r}$. Нагляднее, что ли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 21:14 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1267011 писал(а):
Запишите орты полярной системы координат в декартовых координатах.

Не знаю как.
Декартовы координаты - прямоугольная система координат с одинаковыми масштабами по осям.
Полярная система - это когда есть модуль вектора и угол от полярной оси.
$ M (r, \varphi ) $
Орты полярной системы координат в декартовых координатах это так?
Координатные векторы (орты) образуют базис на плоскости. Но как на ваш вопрос ответить я не понимаю.
$x=r\cos\varphi $
$y=r\sin \varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf
Скажите, Вы знаете, как выглядят координатные линии полярной системы координат? Это линии, на которых одна из координат постоянна. Как выглядят линии $r=\operatorname{const}$ и $\varphi=\operatorname{const}$?
Чтобы получить орты берёте конкретную точку плоскости, проводите через неё две координатные линии, строите векторы, касающиеся этих линий в данной точке. Направлены они должны быть в сторону возрастания соответствующих координат. Было бы хорошо, если бы Вы сделали чертёж. Если совсем ничего не понятно - скажите, помогу сдвинуться с места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 21:49 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1267031 писал(а):
Скажите, Вы знаете, как выглядят координатные линии полярной системы координат? Это линии, на которых одна из координат постоянна.

Координатные линии полярной системы (r, \varphi) (красные кривые $r=\operatorname{const}$ , синие линии $\varphi=\operatorname{const}$)
Изображение
Декартова система прямоугольных координат (x,y) (взаимно перпендикулярные оси на плоскости с одинаковыми масштабами по осям).
Изображение
Единичные ортогональные ортонормированые орты (базисные векторы) , образуют базис $(\vec{i}, \vec{j})$ на плоскости.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Последнее изображение не удалось... Не видно его. В общем, нужно теперь нарисовать-таки базисные векторы полярной системы координат (которые касаются координатных линий) и написать их в прямоугольных координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение19.11.2017, 22:03 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1267046 писал(а):
базисные векторы полярной системы координат

Изображение
$OX$ - полупрямая, полярная ось.
$O$ - полюс
$\vec{i}$ задаёт положительное направление на полярной оси, модуль равен масштабу, в нашем случае, я так понимаю, это $1$.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат в которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат. Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen, lazarius


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group