Движение по окружности

[tohaf]

Если угловое ускорения точки $E$ , движущейся по окружности, равно нулю - то угловая скорость $W$ равна константе.
В таком случае,производная пути $\frac{dS}{dt}$ или производная радиус-вектора $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$. Это вектор направлен строго по касательной.
Производная такого вектора скорости (то есть разница между двумя векторами скорости очень близкими друг к другу с одинаковым модулем делённая на время) будет называться вектором ускорения $\vec{a}$. Этот вектор перпендикулярен касательной в этой точке. То есть - направлен в центр окружности.



Если $E$ не равно нулю - то $W$ равна $W(t)$.
В таком случае, $\frac{dS}{dt}$ или $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$.Это вектор направлен не по касательнойЭто вектор направлен строго по касательной..
Производная такого вектора скорости будет называться вектором ускорения $\vec{a}$. Этот вектор уже будет не перпендикулярен касательной в этой точке. То есть - направлен не в центр окружности.

[Metford]

tohaf в сообщении #1266927 писал(а):

$\frac{dS}{dt}$ или $\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$

Вы только что назвали скалярную величину вектором. Это нехорошо.

tohaf в сообщении #1266927 писал(а):

$\frac{d\vec{r}}{dt} $ будет называться вектором скорости $\vec{V}$. Это вектор направлен не по касательной.

Докажите, пожалуйста, это Ваше утверждение.

[tohaf]

Metford,

Или нет... Производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной, какая разница есть или нет разница в модулях, никакой...

[Metford]

tohaf
Вы что-то другое, похоже, доказываете. Мы говорим о производной радиус-вектора? Так вот на Вашей картинке (на обеих: пока отвечал, у Вас уже вторая появилась) ни единого радиус-вектора не указано. А насчёт скорости никто и не возражал: да, её производная по времени не обязана быть направленной по касательной. Собственно, почему и различают нормальное и тангенциальное ускорения.

[tohaf]

Metford в сообщении #1266959 писал(а):

Вы что-то другое, похоже, доказываете. Мы говорим о производной радиус-вектора? Так вот на Вашей картинке (на обеих: пока отвечал, у Вас уже вторая появилась) ни единого радиус-вектора не указано. А насчёт скорости никто и не возражал: да, её производная по времени не обязана быть направленной по касательной. Собственно, почему и различают нормальное и тангенциальное ускорения.

Я очень сильно ошибся. Вектор скорости, да - совпадает с касательной в точке...
Вот это запутало.


Не получается разобраться.
Радиус вектор $\vec{r}(t) =r(t) \hat{r} (t) $.
$\hat{r} \hat{y}$ - единичные векторы направления.
$\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi)+\hat{y}\sin(\varphi)$
Как, зная это, а также радиус и угловое ускорение, показать, как выглядит вектор ускорения, а так же его составляющие?

[Metford]

tohaf в сообщении #1266961 писал(а):

Вектор скорости, да - совпадает с касательной в точке...

Давайте только это выразим более корректно: вектор - не касательная, он ей принадлежит в данном случае.

Что же касается картиночек, которые Вы выше привели, то их можно использовать как раз для рассмотрения нормального ускорения. Если не хотите пользоваться формулами Френе, а проводить вывод по-рабоче-крестьянски (что на определённом этапе неплохо), то лучше всего разбить общий случай на два частных: движение по окружности с постоянной скоростью и движение по прямой с меняющимся модулем скорости. Первое движение выдаст нормальное ускорение в чистом виде, второе - тангенциальное.

[tohaf]

Metford в сообщении #1266966 писал(а):

Если не хотите пользоваться формулами Френе

Вот это $\frac{d}{dt}(v\vec{\tau})=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$ формулы Френе? Диф. геометрии у меня не было. Для меня - просто производная произведения двух функций. Ну и не понятно, что означает $v\vec{\tau}$.
Вот это $ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt}$ - понятно. Тем более, что в случае движения по окружности будет $ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 0\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} = r \frac{d\hat{r}}{dt}$

[Metford]

tohaf в сообщении #1266973 писал(а):

Вот это $\frac{d}{dt}(v\vec{\tau})=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$ формулы Френе?

Нет. Это обычная производная от произведения. Формулы Френе дают величины производных базисных векторов сопутствующей системы координат. Т.е. производная вектора $\vec{\tau}$ как раз к ним относится.

tohaf в сообщении #1266973 писал(а):

Ну и не понятно, что означает $v\vec{\tau}$.

Единичный вектор касательной к кривой в данной точке. Вы ведь видите, как скорость была записана: $\vec{v}=v\vec{\tau}$. Здесь просто разделены модуль скорости и её направление для удобства дифференцирования.

tohaf в сообщении #1266973 писал(а):

$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 0\hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} = r \frac{d\hat{r}}{dt}$

И чему же равна производная орта радиус-вектора? С этим нужно бы разобраться обязательно, если не знаете.

tohaf в сообщении #1266973 писал(а):

Диф. геометрии у меня не было.

Да ведь её ни у кого нет на момент изучения кинематики. Это было бы счастье, если бы люди, приступая к изучению кинематики, знали всю нужную для этого математику. Кинематика тогда занимала бы ну совсем мало времени. В ней собственно физики очень мало.

[tohaf]

Metford в сообщении #1266975 писал(а):

Нет. Это обычная производная от произведения. Формулы Френе дают величины производных базисных векторов сопутствующей системы координат. Т.е. производная вектора $\vec{\tau}$ как раз к ним относится.

То есть я верно догадывался, что когда $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi)+\hat{y}\sin(\varphi)$ и угловая скорость равна константе - то всё легко и просто дифференциируется объясняется по-холопски. А вот если $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi(t))+\hat{y}\sin(\varphi(t))$ - то уже нужна диф геометрия?

Metford в сообщении #1266975 писал(а):

Единичный вектор касательной к кривой в данной точке. Вы ведь видите, как скорость была записана: $\vec{v}=v\vec{\tau}$. Здесь просто разделены модуль скорости и её направление для удобства дифференцирования.

Чуть понятнее стало.

Metford в сообщении #1266975 писал(а):

И чему же равна производная орта радиус-вектора? С этим нужно бы разобраться обязательно, если не знаете.

А вот если $\hat{r}(t) = \hat{r} \cos(\varphi(t))+\hat{y}\sin(\varphi(t))$ - то для нахождения производной уже нужна диф геометрия?
Потому что если $w$ константа, то я уже писал, как выглядят скорость и ускорение.

[Metford]

tohaf
Есть предложение пойти последовательно по теме, раз уж Вы от неё не отступаетесь - что хорошо, разумеется.
Прежде всего, Вы не думайте о том, что относится к дифференциальной геометрии, а что - нет. Думайте над конкретным вопросом и считайте!

Будем иди шаг за шагом. Запишите орты полярной системы координат в декартовых координатах.
Да, не самое удачное обозначение Вы используете $\hat{r}$. Лучше, на мой взгляд, $\vec{e_r}$. Нагляднее, что ли...

[tohaf]

Metford в сообщении #1267011 писал(а):

Запишите орты полярной системы координат в декартовых координатах.

Не знаю как.
Декартовы координаты - прямоугольная система координат с одинаковыми масштабами по осям.
Полярная система - это когда есть модуль вектора и угол от полярной оси.
$ M (r, \varphi ) $
Орты полярной системы координат в декартовых координатах это так?
Координатные векторы (орты) образуют базис на плоскости. Но как на ваш вопрос ответить я не понимаю.
$x=r\cos\varphi $
$y=r\sin \varphi$

[Metford]

tohaf
Скажите, Вы знаете, как выглядят координатные линии полярной системы координат? Это линии, на которых одна из координат постоянна. Как выглядят линии $r=\operatorname{const}$ и $\varphi=\operatorname{const}$?
Чтобы получить орты берёте конкретную точку плоскости, проводите через неё две координатные линии, строите векторы, касающиеся этих линий в данной точке. Направлены они должны быть в сторону возрастания соответствующих координат. Было бы хорошо, если бы Вы сделали чертёж. Если совсем ничего не понятно - скажите, помогу сдвинуться с места.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267031 писал(а):

Скажите, Вы знаете, как выглядят координатные линии полярной системы координат? Это линии, на которых одна из координат постоянна.

Координатные линии полярной системы (r, \varphi) (красные кривые $r=\operatorname{const}$ , синие линии $\varphi=\operatorname{const}$)

Декартова система прямоугольных координат (x,y) (взаимно перпендикулярные оси на плоскости с одинаковыми масштабами по осям).

Единичные ортогональные ортонормированые орты (базисные векторы) , образуют базис $(\vec{i}, \vec{j})$ на плоскости.

[Metford]

Последнее изображение не удалось... Не видно его. В общем, нужно теперь нарисовать-таки базисные векторы полярной системы координат (которые касаются координатных линий) и написать их в прямоугольных координатах.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267046 писал(а):

базисные векторы полярной системы координат

$OX$ - полупрямая, полярная ось.
$O$ - полюс
$\vec{i}$ задаёт положительное направление на полярной оси, модуль равен масштабу, в нашем случае, я так понимаю, это $1$.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат в которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат. Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.