Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994

[shwedka]

Давайте разберемся подробненько.
Автор пишет

Vadim44 в сообщении #1266079 писал(а):

Уравнения (3) и (4) одновременно являются и неявными функциями и уравнениями, как на это посмотреть.

Прекрасно. А что это за 'неявная функция' $n(a)$?
Почему она существует? автор ссылается на теорему о неявной функции. Посчитаем.
всего 4 переменных, $x,y,n,a$ две, $x,y$, зафиксированы, как предполагаемое целочисленное решение уравнения Ферма.
Остается две переменных. И два уравнения 3,4.
Открываем учебник. Теорема о неявной функции. читаем условия. Там количество переменных БОЛЬШЕ количества уравнений. БОЛЬШЕ, а у нас равно. Абидна, да!!
Значит, теорему о неявной функции к 3,4 применять нельзя. Почему же неявная функция $n(a)$ существует? Да нипочему!
А значит, что такое неявная функция, заданная уравнением 5? Это, да, это неявная функция, заданная уравнением 5, у нее могут быть какие-то плохие свойства, но эти плохие свойства никак не связаны с плохими свойствами функции n(a), заданной 3,4, поскольку существование последней не доказано. Точнее, доказано, но только в одной точке $a=1$. Ну, еще точнее, если окажется, что функция, заданная 3,4, (назовем ее $n_{34}(a)$ )задана еще при каком-то значении $a$, то, да, функция, заданная 5 будет иметь такое же значение. Но не более того. Может вполне оказаться, что настоящая функция $n_{34}(a)$ единственно где и задана в окрестности единицы, так это в точке 1. А к такой функции никакой Лопиталь не применим.
Так что корень ошибки автора в том, что он неправильно истолковал понятие 'необходмые условия.'

[wrest]

Vadim44 в сообщении #1266129 писал(а):

переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

При рассмотрении третьего условия вы получите три уравнения (5):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
$\frac{x^{n-1}}{t^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a t)} .\ (5')$
$\frac{t^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a t)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5'')$
Применяя правило Лопиталя вы соответственно получите три уравнения (6):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
$\frac{x^{n-1}}{t^{n-1}} =\frac{x}{t} .\ (6')$
$\frac{t^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{t}{y} .\ (6'')$
Решив каждое из которых и подставив одно решение в другое по кругу, в итоге вы получите $x=y=t$

[Vadim44]

wrest
В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

[mihaild]

Vadim44 в сообщении #1266138 писал(а):

В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .

grizzly в сообщении #1266132 писал(а):

Вы верно нашли ошибочное место. В Вашем случае -- та же проблема.

[shwedka]

Давайте совсем по-простому объясню. Вы не можете доказать, что при значении параметра $a$, близком к единице, но не равном 1,
ваша функция (2), хоть при каком-то $n=n(a)$, имеет локальный минимум в той же самой точке $x,y$, которая предположительно дает целочисленное решение уравнения Ферма. Поэтому рассуждения, говорящие о том, что такой минимум по каким-то причинам не может существовать, ничему не противоречат и отсутствия целочисленных решений уравнения Ферма не доказывают.

[Vadim44]

Глубокоуважаемая Shwedka!
Позвольте мне с Вами не согласиться и вот почему.

Вы пишете:

shwedka в сообщении #1266135 писал(а):

Прекрасно. А что это за 'неявная функция' $n(a)$?
Почему она существует? автор ссылается на теорему о неявной функции. Посчитаем.
всего 4 переменных, $x,y,n,a$ две, $x,y$, зафиксированы, как предполагаемое целочисленное решение уравнения Ферма.
Остается две переменных. И два уравнения 3,4.

Следует заметить, что мы имеем не два уравнения (3,4), а три системы равносильных уравнений (3,4), (3,5) и (4,5),
полученных с помощью равносильных преобразований, поэтому при решении любой системы решения не пропадают
и не появляются лишние решения.
Решение систем будем искать для точек с целыми координатами $ x $ и $ y $ , то есть предполагается независимость
переменных $ x $ и $ y $ от параметра $ a $ .
Решение любой системы может быть получено как пересечение графиков функций, например, $ n_3 ( a ) $ и $ n_5 ( a )$,
в которых $ x $ и $ y $ независимы от параметра $ a $ , и где $ n_5 ( a )$ является уравнением (5), то есть $ n ( a ) = n_5 ( a )$ .
Поэтому мы отдельно рассматриваем уравнения $ n_3 ( a ) $ и $ n_5 ( a ) = n ( a ) $ , то есть независимо друг от друга.
Поэтому уравнение (5) $ n ( a ) $ мы рассматриваем независимо от уравнения (3) $ n_3 ( a ) $.
Поэтому, применяя правило Лопиталя к уравнению (5) $ n ( a ) $, мы находим всего лишь предел одной из функций,
то есть предел, к которому стремится функция $ n ( a ) $ при стремлении $ a \to 1 $ ,
и поэтому функция $ n ( a ) = n_5 ( a )$ не имеет ни какого отношения к $ n_3 ( a ) $ .
Поэтому, мы имеем право рассматривать уравнения (3), (4) и (5) как неявные функции.

Modest: Цитирование исправлено. В дальнейшем пользуйтесь кнопками "Вставка" и "Цитата".

[shwedka]

Vadim44 в сообщении #1266189 писал(а):

Поэтому, мы имеем право рассматривать уравнения (3), (4) и (5) как неявные функции.

Рассматривайте, сколько угодно, но

Каждое из этих уравнений - необходимое условие экстремума. Значит, на настоящем экстремуме должны выполняться все три условия - ведь они необходимые.
ИНаче говоря, графики $n_3(a), n_4(a), n_5(a)$ должны для КАЖДОГО $a$ пересекаться в одной точке. А если не пересекаются, это означает, что хотя бы одно из трех необходимых условий не выполнено. А тогда точка $(x,y)$ и не будет экстремумом.

Вот когда докажете, что для каждого a вблизи 1 эти все три графика перескаются -- то есть, они совпадают, тогда можно говорить о Лопитале и тп. A до тех пор Вы изучаете поведение какой-то функции $n(a)$, не имеющей отношение к экстремумам функции (2),
поскольку,

повторяю,

Вы не можете доказать, что при значении параметра $a$, близком к единице, но не равном 1,
ваша функция (2), хоть при каком-то $n=n(a)$, имеет локальный минимум в той же самой точке $x,y$, которая предположительно дает целочисленное решение уравнения Ферма.

Ну, нет экстремума в этой точке!

[ishhan]

Vadim44

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$

Вы проверяли этот подход для нахождения решений или неразрешимости в целых числах каких либо других уравнений например: $x^4 +y^4=3z^2$

[Vadim44]

ishhan
Нет не проверял.

[grizzly]

ishhan в сообщении #1266387 писал(а):

Вы проверяли этот подход для нахождения решений

Кстати, это замечательная идея. Допустим, этот подход верен (что бы здесь не говорили). Тогда с его помощью можно было бы намного проще находить частные решения некоторых уравнений. Попытайтесь, Vadim44 -- найти новый метод, дающий конкретные решения диофантовых уравнений, будет поважнее доказательства ВТФ. Вот уравнение $x^2+y^2=z^3$ заведомо имеет решения. Если важно иметь параметр $n$, можете записать в общем виде $x^n+y^n=z^{n+1}$.

[Shadow]

А для уравнения $x^n+y^n=kz^n$ для любого целого параметра $k$?

В доказательство практически ничего не изменится.

[Vadim44]

Уважаемые ishhan, grizzly и Shadow!
Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била,
тогда получите премию 1 миллион долларов.

[ishhan]

Vadim44 в сообщении #1266401 писал(а):

Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била,

Vadim44

Биль- это непонятно кто.
Уж лучше тогда доказывать ABC гипотезу
А если серьёзно и Ваш подход к ВТФ не курьёз, то должны быть следствия.
А их Вы не рассматриваете, а жаль.

[miflin]

(Оффтоп)

Прошу считать, что это заключено в двойной оффтоп.
В теореме Ферма я ноль. Но ассоциации и эмоции, прошу прощения...

grizzly в сообщении #1265894 писал(а):

Но в самом деле достаточно красивая попытка

Дела давно минувших дней...

"Из другой оперы". "Юнона и Авось".

Он мечтал, закусив удила,
Свесть Америку и Россию.
Но затея не удалась,
За попытку... спасибо.
Но затея не удалась,
За попытку спасибо...

[Shadow]

Vadim44 в сообщении #1266401 писал(а):

Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била

Можно наверное. Я пока взялся доказывать рациональность корня из двух.
Рассмотрим функцию

$ F(x,y)=\sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)$

которая при $a=1$ и целых $x,y$ имеет минимум. Запишем необходимые условия экстремума:

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\pi a\sin(2\pi a x)=0$

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=\pi a\sin(2\pi a y)=0$

Первое уравнение делим на $\dfrac{\pi a}{\sqrt 2}$, второе на $\pi a$, вычитаем из первого второе, получаем

$\sqrt 2 \sin(2\pi a x)-\sin(2\pi a y)=0$

Откуда

$\sqrt 2=\dfrac{\sin(2\pi a y)}{\sin(2\pi a x)}$

Переходим к пределу, лопиталим, получаем $\sqrt 2=\dfrac y x\;$ для любых целых $x,y$

Ч.Т.Д, даже больше.