2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Давайте разберемся подробненько.
Автор пишет

Vadim44 в сообщении #1266079 писал(а):
Уравнения (3) и (4) одновременно являются и неявными функциями и уравнениями, как на это посмотреть.

Прекрасно. А что это за 'неявная функция' $n(a)$?
Почему она существует? автор ссылается на теорему о неявной функции. Посчитаем.
всего 4 переменных, $x,y,n,a$ две, $x,y$, зафиксированы, как предполагаемое целочисленное решение уравнения Ферма.
Остается две переменных. И два уравнения 3,4.
Открываем учебник. Теорема о неявной функции. читаем условия. Там количество переменных БОЛЬШЕ количества уравнений. БОЛЬШЕ, а у нас равно. Абидна, да!!
Значит, теорему о неявной функции к 3,4 применять нельзя. Почему же неявная функция $n(a)$ существует? Да нипочему!
А значит, что такое неявная функция, заданная уравнением 5? Это, да, это неявная функция, заданная уравнением 5, у нее могут быть какие-то плохие свойства, но эти плохие свойства никак не связаны с плохими свойствами функции n(a), заданной 3,4, поскольку существование последней не доказано. Точнее, доказано, но только в одной точке $a=1$. Ну, еще точнее, если окажется, что функция, заданная 3,4, (назовем ее $n_{34}(a)$ )задана еще при каком-то значении $a$, то, да, функция, заданная 5 будет иметь такое же значение. Но не более того. Может вполне оказаться, что настоящая функция $n_{34}(a)$ единственно где и задана в окрестности единицы, так это в точке 1. А к такой функции никакой Лопиталь не применим.
Так что корень ошибки автора в том, что он неправильно истолковал понятие 'необходмые условия.'

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 18:25 


05/09/16
12038
Vadim44 в сообщении #1266129 писал(а):
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

При рассмотрении третьего условия вы получите три уравнения (5):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
$\frac{x^{n-1}}{t^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a t)} .\ (5')$
$\frac{t^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a t)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5'')$
Применяя правило Лопиталя вы соответственно получите три уравнения (6):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
$\frac{x^{n-1}}{t^{n-1}} =\frac{x}{t} .\ (6')$
$\frac{t^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{t}{y} .\ (6'')$
Решив каждое из которых и подставив одно решение в другое по кругу, в итоге вы получите $x=y=t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 18:40 


05/11/17

53
wrest
В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Vadim44 в сообщении #1266138 писал(а):
В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .

grizzly в сообщении #1266132 писал(а):
Вы верно нашли ошибочное место. В Вашем случае -- та же проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Давайте совсем по-простому объясню. Вы не можете доказать, что при значении параметра $a$, близком к единице, но не равном 1,
ваша функция (2), хоть при каком-то $n=n(a)$, имеет локальный минимум в той же самой точке $x,y$, которая предположительно дает целочисленное решение уравнения Ферма. Поэтому рассуждения, говорящие о том, что такой минимум по каким-то причинам не может существовать, ничему не противоречат и отсутствия целочисленных решений уравнения Ферма не доказывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 21:55 


05/11/17

53
Глубокоуважаемая Shwedka!
Позвольте мне с Вами не согласиться и вот почему.

Вы пишете:
shwedka в сообщении #1266135 писал(а):
Прекрасно. А что это за 'неявная функция' $n(a)$?
Почему она существует? автор ссылается на теорему о неявной функции. Посчитаем.
всего 4 переменных, $x,y,n,a$ две, $x,y$, зафиксированы, как предполагаемое целочисленное решение уравнения Ферма.
Остается две переменных. И два уравнения 3,4.


Следует заметить, что мы имеем не два уравнения (3,4), а три системы равносильных уравнений (3,4), (3,5) и (4,5),
полученных с помощью равносильных преобразований, поэтому при решении любой системы решения не пропадают
и не появляются лишние решения.
Решение систем будем искать для точек с целыми координатами $ x $ и $ y $ , то есть предполагается независимость
переменных $ x $ и $ y $ от параметра $ a $ .
Решение любой системы может быть получено как пересечение графиков функций, например, $ n_3 ( a ) $ и $ n_5 ( a )$,
в которых $ x $ и $ y $ независимы от параметра $ a $ , и где $ n_5 ( a )$ является уравнением (5), то есть $ n ( a ) = n_5 ( a )$ .
Поэтому мы отдельно рассматриваем уравнения $ n_3 ( a ) $ и $ n_5 ( a ) = n ( a ) $ , то есть независимо друг от друга.
Поэтому уравнение (5) $ n ( a ) $ мы рассматриваем независимо от уравнения (3) $ n_3 ( a ) $.
Поэтому, применяя правило Лопиталя к уравнению (5) $ n ( a ) $, мы находим всего лишь предел одной из функций,
то есть предел, к которому стремится функция $ n ( a ) $ при стремлении $ a \to 1 $ ,
и поэтому функция $ n ( a ) = n_5 ( a )$ не имеет ни какого отношения к $ n_3 ( a ) $ .
Поэтому, мы имеем право рассматривать уравнения (3), (4) и (5) как неявные функции.

 !  Modest: Цитирование исправлено. В дальнейшем пользуйтесь кнопками "Вставка" и "Цитата".

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Vadim44 в сообщении #1266189 писал(а):
Поэтому, мы имеем право рассматривать уравнения (3), (4) и (5) как неявные функции.

Рассматривайте, сколько угодно, но

Каждое из этих уравнений - необходимое условие экстремума. Значит, на настоящем экстремуме должны выполняться все три условия - ведь они необходимые.
ИНаче говоря, графики $n_3(a), n_4(a), n_5(a)$ должны для КАЖДОГО $a$ пересекаться в одной точке. А если не пересекаются, это означает, что хотя бы одно из трех необходимых условий не выполнено. А тогда точка $(x,y)$ и не будет экстремумом.

Вот когда докажете, что для каждого a вблизи 1 эти все три графика перескаются -- то есть, они совпадают, тогда можно говорить о Лопитале и тп. A до тех пор Вы изучаете поведение какой-то функции $n(a)$, не имеющей отношение к экстремумам функции (2),
поскольку,

повторяю,

Вы не можете доказать, что при значении параметра $a$, близком к единице, но не равном 1,
ваша функция (2), хоть при каком-то $n=n(a)$, имеет локальный минимум в той же самой точке $x,y$, которая предположительно дает целочисленное решение уравнения Ферма.

Ну, нет экстремума в этой точке!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 14:05 


21/11/10
546
Vadim44

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$

Вы проверяли этот подход для нахождения решений или неразрешимости в целых числах каких либо других уравнений например: $x^4 +y^4=3z^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 14:28 


05/11/17

53
ishhan
Нет не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ishhan в сообщении #1266387 писал(а):
Вы проверяли этот подход для нахождения решений
Кстати, это замечательная идея. Допустим, этот подход верен (что бы здесь не говорили). Тогда с его помощью можно было бы намного проще находить частные решения некоторых уравнений. Попытайтесь, Vadim44 -- найти новый метод, дающий конкретные решения диофантовых уравнений, будет поважнее доказательства ВТФ. Вот уравнение $x^2+y^2=z^3$ заведомо имеет решения. Если важно иметь параметр $n$, можете записать в общем виде $x^n+y^n=z^{n+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 14:47 


26/08/11
2097
А для уравнения $x^n+y^n=kz^n$ для любого целого параметра $k$?

В доказательство практически ничего не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 15:07 


05/11/17

53
Уважаемые ishhan, grizzly и Shadow!
Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била,
тогда получите премию 1 миллион долларов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 15:35 


21/11/10
546
Vadim44 в сообщении #1266401 писал(а):
Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била,

Vadim44

Биль- это непонятно кто.
Уж лучше тогда доказывать ABC гипотезу :-)
А если серьёзно и Ваш подход к ВТФ не курьёз, то должны быть следствия.
А их Вы не рассматриваете, а жаль. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 17:29 
Аватара пользователя


27/02/12
3883

(Оффтоп)

Прошу считать, что это заключено в двойной оффтоп. :-)
В теореме Ферма я ноль. Но ассоциации и эмоции, прошу прощения...
grizzly в сообщении #1265894 писал(а):
Но в самом деле достаточно красивая попытка

Дела давно минувших дней...

"Из другой оперы". "Юнона и Авось".

Он мечтал, закусив удила,
Свесть Америку и Россию.
Но затея не удалась,
За попытку... спасибо.
Но затея не удалась,
За попытку спасибо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение18.11.2017, 18:09 


26/08/11
2097
Vadim44 в сообщении #1266401 писал(а):
Чего там мелочиться, давайте сразу доказывать гипотезу Била
Можно наверное. Я пока взялся доказывать рациональность корня из двух.
Рассмотрим функцию

$ F(x,y)=\sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)$

которая при $a=1$ и целых $x,y$ имеет минимум. Запишем необходимые условия экстремума:

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\pi a\sin(2\pi a x)=0$

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=\pi a\sin(2\pi a y)=0$

Первое уравнение делим на $\dfrac{\pi a}{\sqrt 2}$, второе на $\pi a$, вычитаем из первого второе, получаем

$\sqrt 2 \sin(2\pi a x)-\sin(2\pi a y)=0$

Откуда

$\sqrt 2=\dfrac{\sin(2\pi a y)}{\sin(2\pi a x)}$

Переходим к пределу, лопиталим, получаем $\sqrt 2=\dfrac y x\;$ для любых целых $x,y$

Ч.Т.Д, даже больше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 156 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group