Функции: свойства и графики (Давидович)

[deep down]

Изучать пределы можно и без знания конкретных графиков. Решайте сами. Но подозреваю, что затруднения с этим листком могут означать о ещё каких-то пробелах в знаниях, которые нужно прояснить.
По поводу дробно-линейной функции, попробуйте как с параболой - последовательно постройте графики $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{1-x}$, $2-\dfrac{1}{1-x}$

[irod]

deep down
спасибо.

deep down в сообщении #1261571 писал(а):

Но подозреваю, что затруднения с этим листком могут означать о ещё каких-то пробелах в знаниях, которые нужно прояснить

Будем прояснять параллельно листку 15.

[irod]

deep down в сообщении #1261571 писал(а):

последовательно постройте графики $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{1-x}$, $2-\dfrac{1}{1-x}$

График $\frac{1}{x}$ - гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
График $\frac{1}{1-x}$ есть график $\frac{1}{x}$, отраженный относительно оси $Oy$ и сдвинутый по $Ox$ на $1$ вправо; асимптоты $x=1$ и $y=0$.
График $-\frac{1}{1-x}$ есть график $\frac{1}{1-x}$, отраженный относительно прямой $x=1$; асимптоты $x=1$ и $y=0$.
Ну и наконец график $2-\frac{1}{1-x}$ получается сдвигом графика $-\frac{1}{1-x}$ на $2$ вверх по оси $Oy$; асимптоты $x=1$ и $y=2$.

[irod]

Кажется начинаю понимать, как нарисовать график $\frac{ax+b}{cx+d}$. Сперва надо выделить целую часть:

$$ \frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}. $$

Отсюда видно, что графиком будет гипербола. Надо последовательно нарисовать графики $\frac{1}{cx}$, $\frac{1}{cx+d}$ и $\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, и в конце сдвинуть последний график на $a/c$ вдоль $Oy$.

[grizzly]

irod
Да, всё верно.

[irod]

irod в сообщении #1262573 писал(а):

Кажется начинаю понимать, как нарисовать график $\frac{ax+b}{cx+d}$. Сперва надо выделить целую часть:

$$ \frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}. $$

Отсюда видно, что графиком будет гипербола. Надо последовательно нарисовать графики $\frac{1}{cx}$, $\frac{1}{cx+d}$ и $\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, и в конце сдвинуть последний график на $a/c$ вдоль $Oy$.

Не буду последовательно рисовать эти графики, сразу нарисую конечные варианты - гиперболы, получающиеся из гиперболы $y=\frac{1}{cx}$ сдвигом параллельно осям (сдвиг на $\frac{a}{c}$ вдоль $Oy$, сдвиг на $-\frac{d}{c}$ вдоль $Ox$) и растяжением по $Oy$ в $b-\frac{da}{c}$ раз (причем при $b-\frac{da}{c}<0$ график отражен относительно горизонтальной асимптоты).
Вертикальная асимптота: прямая $x=-\frac{d}{c}$.
Горизонтальная асимптота: прямая $y=\frac{a}{c}$ (т.к. $x\to\infty\Rightarrow y\to\frac{a}{c}$).
Точки пересечения с осями координат: график пересекает ось $Oy$ в точке $\frac{b}{d}$, и пересекает ось $Ox$ в точке $-\frac{b}{a}$.
Монотонность: из $x_1>x_2$ следует $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_1+d}<\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_2+d}$ в случае если $c$ и $b-\frac{da}{c}$ одного знака, и $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_1+d}>\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_2+d}$ в случае если $c$ и $b-\frac{da}{c}$ разного знака, что означает монотонное убывание и возрастание соответственно.

[deep down]

Отлично. Главное, запомните сам подход - посмотреть сначала на простой случай, потом развивать его дальше.
Также понравилось, что Вы сразу нарисовал итоговый вариант выделив закономерности.
Последний штрих - выбор конкретного вида можно сделать по знаку $bc-ad$. Разберитесь, как. И что будет в случае равенства нулю.

[irod]

deep down
спасибо за доп.вопрос, обязательно разберусь с этим. Сейчас хочу заранее прояснить вопрос по следующей - неграфической - задаче.
Сначала определения.

Определение 4.
Множество $M\subset\mathbb{R}$ называется симметричным (относительно нуля), если для любого $x\in M$ верно, что и $-x\in M$.

Определение 5.
Функция $f:M\to\mathbb{R}$ называется четной (нечетной), если множество $M$ симметрично и для всякого $x\in M$ выполняется условие $f(-x)=f(x)$ ($f(-x)=-f(x)$).

А вот непонятная задача.

Задача 3.
Доказать, что график четной (нечетной) функции симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат).

Я не понимаю, что тут подразумевается под симметричностью графика. Вот определение графика функции из листка 3 "Отображения множеств":
Графиком отображения $f:X\to Y$ называется множество $G(f)\subset X\times Y$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.
По определению 4 выше, график $G(f)$ симметричен (относительно начала координат?), если для любого $z\in G(f)$ верно, что и $-z\in G(f)$.
Пусть $z=(x,f(x))$. Что в таком случае $-z$? $(-x,-f(x))$? Чтобы определить противоположный элемент, надо ведь ввести сложение на этом множестве, верно? Что-то типа $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$?
Или симметричность тут подразумевается на интуитивном уровне: $f(x)$ и $f(-x)$ равноудалены от $Ox$ и имеют одинаковый знак для любого $x$ (для четной функции)? Другими словами, $f(x)=f(-x)$. В таком случае "доказательство" есть просто определение четной и нечетной функции.

[deep down]

Вы всё правильно поняли. Смысл задачи в том, чтобы наглядно представить, как выглядит график на плоскости.
Cимметричность множества $M\subset\mathbb{R}$ нужна только для корректного определения чётности и нечётности.
Кстати, пусть $f$ нечётная. Чему равно $f(0)$ (предполагаем, что $f$ опеределена в нуле)?

[grizzly]

irod в сообщении #1263063 писал(а):

По определению 4 выше, график $G(f)$ симметричен (относительно начала координат?), если для любого $z\in G(f)$ верно, что и $-z\in G(f)$.

Нет, это что-то не то. Определение выше дано только для подмножеств прямой, а не плоскости. Симметричность множества области определения функции в рассматриваемом случае просто означает, что если функция определена для какого-то $x$, то она определена и для $-x$. Просто посмотрите внимательно и вопросы отпадут.

[irod]

grizzly в сообщении #1263087 писал(а):

Определение выше дано только для подмножеств прямой, а не плоскости.

Да, действительно, я не обратил на это внимания.
Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.
?

deep down в сообщении #1263078 писал(а):

Кстати, пусть $f$ нечётная. Чему равно $f(0)$ (предполагаем, что $f$ опеределена в нуле)?

$f(0)=0$, потому что если бы $f(0)$ равнялось каком-то ненулевому $a$, то не выполнялось бы $f(-0)=-f(0)=-a$ из определения нечетной функции.

[grizzly]

irod в сообщении #1263094 писал(а):

Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.

По сути нормально, но лучше было бы отталкиваться от вопроса задачи. В задаче спрашивается про график, а в решении ни понятие, ни обозначение графика не упоминается.

[deep down]

irod в сообщении #1263094 писал(а):

потому что если бы $f(0)$ равнялось каком-то ненулевому $a$

Правильно. Только проще сказать, что $f(0)=-f(0)$, откуда моментально получаем значение.

[irod]

Задача 4.
Выяснить, какие из следующих функций четные, а какие нечетные, и построить их графики:

а) $x\cdot|x|$

Четность: $f(-x)=-x\cdot|-x|=-x\cdot|x|=-f(x)$ -- нечетная.
Для удобства построения графика функцию можно представить в виде
$f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{при } x\geq 0, \\ -x^2 & \mbox{при } x<0. \end{cases}$

б) $|x+1|-|x-1|$
По определению модуля,

$$ |x+1|= \begin{cases} x+1 & \mbox{при } x\geq -1, \\ -x-1 & \mbox{при } x<-1, \end{cases} $$

$$ |x-1|= \begin{cases} x-1 & \mbox{при } x\geq 1, \\ 1-x & \mbox{при } x<1. \end{cases} $$

Значит,

$$ |x+1|-|x-1|= \begin{cases} -2 & \mbox{при } x\in(-\infty,-1), \\ 2x & \mbox{при } x\in[-1,1], \\ 2 & \mbox{при } x\in(1,+\infty), \end{cases} = \begin{cases} \frac{2|x|}{x} & \mbox{при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \\ 2x & \mbox{при } x\in[-1,1]. \end{cases} $$

Функция очевидно нечетная.

в) $|x+1|+|x-1|$

Из определения модуля следует, что

$$ |x+1|+|x-1|= \begin{cases} -2x & \mbox{при } x\in(-\infty,-1), \\ 2 & \mbox{при } x\in[-1,1], \\ 2x & \mbox{при } x\in(1,+\infty), \end{cases} = \begin{cases} 2|x| & \mbox{при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \\ 2 & \mbox{при } x\in[-1,1]. \end{cases} $$

Функция очевидно четная.

г) $3x-x^3$

Функция нечетная: $f(-x)=x^3-3x=-f(x)$.
Для построения графика найдем точки пересечения оси $Ox$ (т.е. корни многочлена):
$3x-x^3=0\Leftrightarrow x(3-x^2)=0$,
откуда
$x_1=0, x_{2,3}=\pm\sqrt{3}$.
Чтобы понять, проходит график функции выше или ниже оси $Ox$ возьмем произвольные $x$ на промежутках $(-\infty,-\sqrt{3}),(-\sqrt{3},0),(0,\sqrt{3}),(\sqrt{3},+\infty)$.
$f(-2)=-6+8=2>0$, значит на $(-\infty,-\sqrt{3})$ график проходит выше $Ox$.
$f(-1)=-3+1=-2<0$, значит на $(-\sqrt{3},0)$ график проходит ниже $Ox$.
$f(1)=3-1=2>0$, значит на $(0,\sqrt{3})$ график проходит выше $Ox$.
$f(2)=6-8=-2<0$, значит на $(\sqrt{3},+\infty)$ график проходит ниже $Ox$.



-- 09.11.2017, 12:21 --

Про предыдущие замечания/вопросы не забыл, пока в процессе.

[deep down]

Да, всё верно.
С модулями можно было решить чисто алгебраически, но с точки зрения "изучения графиков" Вы поступили правильно расписав на промежутках.