2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.11.2017, 13:55 


16/06/14
96
Изучать пределы можно и без знания конкретных графиков. Решайте сами. Но подозреваю, что затруднения с этим листком могут означать о ещё каких-то пробелах в знаниях, которые нужно прояснить.
По поводу дробно-линейной функции, попробуйте как с параболой - последовательно постройте графики $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{1-x}$, $2-\dfrac{1}{1-x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.11.2017, 14:10 


21/02/16
483
deep down
спасибо.
deep down в сообщении #1261571 писал(а):
Но подозреваю, что затруднения с этим листком могут означать о ещё каких-то пробелах в знаниях, которые нужно прояснить

Будем прояснять параллельно листку 15.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение05.11.2017, 19:42 


21/02/16
483
deep down в сообщении #1261571 писал(а):
последовательно постройте графики $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{1-x}$, $2-\dfrac{1}{1-x}$

График $\frac{1}{x}$ - гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
График $\frac{1}{1-x}$ есть график $\frac{1}{x}$, отраженный относительно оси $Oy$ и сдвинутый по $Ox$ на $1$ вправо; асимптоты $x=1$ и $y=0$.
График $-\frac{1}{1-x}$ есть график $\frac{1}{1-x}$, отраженный относительно прямой $x=1$; асимптоты $x=1$ и $y=0$.
Ну и наконец график $2-\frac{1}{1-x}$ получается сдвигом графика $-\frac{1}{1-x}$ на $2$ вверх по оси $Oy$; асимптоты $x=1$ и $y=2$.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение05.11.2017, 21:31 


21/02/16
483
Кажется начинаю понимать, как нарисовать график $\frac{ax+b}{cx+d}$. Сперва надо выделить целую часть:
$$
\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}.
$$
Отсюда видно, что графиком будет гипербола. Надо последовательно нарисовать графики $\frac{1}{cx}$, $\frac{1}{cx+d}$ и $\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, и в конце сдвинуть последний график на $a/c$ вдоль $Oy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение05.11.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod
Да, всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение06.11.2017, 11:33 


21/02/16
483
irod в сообщении #1262573 писал(а):
Кажется начинаю понимать, как нарисовать график $\frac{ax+b}{cx+d}$. Сперва надо выделить целую часть:
$$
\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}.
$$
Отсюда видно, что графиком будет гипербола. Надо последовательно нарисовать графики $\frac{1}{cx}$, $\frac{1}{cx+d}$ и $\frac{b-\frac{da}{c}}{cx+d}$, и в конце сдвинуть последний график на $a/c$ вдоль $Oy$.

Не буду последовательно рисовать эти графики, сразу нарисую конечные варианты - гиперболы, получающиеся из гиперболы $y=\frac{1}{cx}$ сдвигом параллельно осям (сдвиг на $\frac{a}{c}$ вдоль $Oy$, сдвиг на $-\frac{d}{c}$ вдоль $Ox$) и растяжением по $Oy$ в $b-\frac{da}{c}$ раз (причем при $b-\frac{da}{c}<0$ график отражен относительно горизонтальной асимптоты).
Вертикальная асимптота: прямая $x=-\frac{d}{c}$.
Горизонтальная асимптота: прямая $y=\frac{a}{c}$ (т.к. $x\to\infty\Rightarrow y\to\frac{a}{c}$).
Точки пересечения с осями координат: график пересекает ось $Oy$ в точке $\frac{b}{d}$, и пересекает ось $Ox$ в точке $-\frac{b}{a}$.
Монотонность: из $x_1>x_2$ следует $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_1+d}<\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_2+d}$ в случае если $c$ и $b-\frac{da}{c}$ одного знака, и $\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_1+d}>\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{da}{c}}{cx_2+d}$ в случае если $c$ и $b-\frac{da}{c}$ разного знака, что означает монотонное убывание и возрастание соответственно.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение06.11.2017, 19:13 


16/06/14
96
Отлично. Главное, запомните сам подход - посмотреть сначала на простой случай, потом развивать его дальше.
Также понравилось, что Вы сразу нарисовал итоговый вариант выделив закономерности.
Последний штрих - выбор конкретного вида можно сделать по знаку $bc-ad$. Разберитесь, как. И что будет в случае равенства нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение07.11.2017, 13:09 


21/02/16
483
deep down
спасибо за доп.вопрос, обязательно разберусь с этим. Сейчас хочу заранее прояснить вопрос по следующей - неграфической - задаче.
Сначала определения.

Определение 4.
Множество $M\subset\mathbb{R}$ называется симметричным (относительно нуля), если для любого $x\in M$ верно, что и $-x\in M$.

Определение 5.
Функция $f:M\to\mathbb{R}$ называется четной (нечетной), если множество $M$ симметрично и для всякого $x\in M$ выполняется условие $f(-x)=f(x)$ ($f(-x)=-f(x)$).

А вот непонятная задача.

Задача 3.
Доказать, что график четной (нечетной) функции симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат).

Я не понимаю, что тут подразумевается под симметричностью графика. Вот определение графика функции из листка 3 "Отображения множеств":
Графиком отображения $f:X\to Y$ называется множество $G(f)\subset X\times Y$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.
По определению 4 выше, график $G(f)$ симметричен (относительно начала координат?), если для любого $z\in G(f)$ верно, что и $-z\in G(f)$.
Пусть $z=(x,f(x))$. Что в таком случае $-z$? $(-x,-f(x))$? Чтобы определить противоположный элемент, надо ведь ввести сложение на этом множестве, верно? Что-то типа $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$?
Или симметричность тут подразумевается на интуитивном уровне: $f(x)$ и $f(-x)$ равноудалены от $Ox$ и имеют одинаковый знак для любого $x$ (для четной функции)? Другими словами, $f(x)=f(-x)$. В таком случае "доказательство" есть просто определение четной и нечетной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение07.11.2017, 13:42 


16/06/14
96
Вы всё правильно поняли. Смысл задачи в том, чтобы наглядно представить, как выглядит график на плоскости.
Cимметричность множества $M\subset\mathbb{R}$ нужна только для корректного определения чётности и нечётности.
Кстати, пусть $f$ нечётная. Чему равно $f(0)$ (предполагаем, что $f$ опеределена в нуле)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение07.11.2017, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1263063 писал(а):
По определению 4 выше, график $G(f)$ симметричен (относительно начала координат?), если для любого $z\in G(f)$ верно, что и $-z\in G(f)$.
Нет, это что-то не то. Определение выше дано только для подмножеств прямой, а не плоскости. Симметричность множества области определения функции в рассматриваемом случае просто означает, что если функция определена для какого-то $x$, то она определена и для $-x$. Просто посмотрите внимательно и вопросы отпадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение07.11.2017, 14:47 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1263087 писал(а):
Определение выше дано только для подмножеств прямой, а не плоскости.

Да, действительно, я не обратил на это внимания.
Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.
?
deep down в сообщении #1263078 писал(а):
Кстати, пусть $f$ нечётная. Чему равно $f(0)$ (предполагаем, что $f$ опеределена в нуле)?

$f(0)=0$, потому что если бы $f(0)$ равнялось каком-то ненулевому $a$, то не выполнялось бы $f(-0)=-f(0)=-a$ из определения нечетной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение07.11.2017, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1263094 писал(а):
Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.
По сути нормально, но лучше было бы отталкиваться от вопроса задачи. В задаче спрашивается про график, а в решении ни понятие, ни обозначение графика не упоминается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение08.11.2017, 00:05 


16/06/14
96
irod в сообщении #1263094 писал(а):
потому что если бы $f(0)$ равнялось каком-то ненулевому $a$

Правильно. Только проще сказать, что $f(0)=-f(0)$, откуда моментально получаем значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение09.11.2017, 12:21 


21/02/16
483
Задача 4.
Выяснить, какие из следующих функций четные, а какие нечетные, и построить их графики:

а) $x\cdot|x|$

Четность: $f(-x)=-x\cdot|-x|=-x\cdot|x|=-f(x)$ -- нечетная.
Для удобства построения графика функцию можно представить в виде
$f(x)=\begin{cases} 
x^2 & \mbox{при } x\geq 0, \\
-x^2 & \mbox{при } x<0.
\end{cases}$

б) $|x+1|-|x-1|$
По определению модуля,
$$
|x+1|=
\begin{cases} 
x+1 & \mbox{при } x\geq -1, \\
-x-1 & \mbox{при } x<-1,
\end{cases}
$$ $$
|x-1|=
\begin{cases} 
x-1 & \mbox{при } x\geq 1, \\
1-x & \mbox{при } x<1.
\end{cases}
$$
Значит,
$$
|x+1|-|x-1|=
\begin{cases} 
-2 & \mbox{при } x\in(-\infty,-1), \\
2x & \mbox{при } x\in[-1,1], \\
2 & \mbox{при } x\in(1,+\infty),
\end{cases}
=
\begin{cases} 
\frac{2|x|}{x} & \mbox{при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \\
2x & \mbox{при } x\in[-1,1].
\end{cases}
$$
Функция очевидно нечетная.

в) $|x+1|+|x-1|$

Из определения модуля следует, что
$$
|x+1|+|x-1|=
\begin{cases} 
-2x & \mbox{при } x\in(-\infty,-1), \\
2 & \mbox{при } x\in[-1,1], \\
2x & \mbox{при } x\in(1,+\infty),
\end{cases}
=
\begin{cases} 
2|x| & \mbox{при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \\
2 & \mbox{при } x\in[-1,1].
\end{cases}
$$
Функция очевидно четная.

г) $3x-x^3$

Функция нечетная: $f(-x)=x^3-3x=-f(x)$.
Для построения графика найдем точки пересечения оси $Ox$ (т.е. корни многочлена):
$3x-x^3=0\Leftrightarrow x(3-x^2)=0$,
откуда
$x_1=0, x_{2,3}=\pm\sqrt{3}$.
Чтобы понять, проходит график функции выше или ниже оси $Ox$ возьмем произвольные $x$ на промежутках $(-\infty,-\sqrt{3}),(-\sqrt{3},0),(0,\sqrt{3}),(\sqrt{3},+\infty)$.
$f(-2)=-6+8=2>0$, значит на $(-\infty,-\sqrt{3})$ график проходит выше $Ox$.
$f(-1)=-3+1=-2<0$, значит на $(-\sqrt{3},0)$ график проходит ниже $Ox$.
$f(1)=3-1=2>0$, значит на $(0,\sqrt{3})$ график проходит выше $Ox$.
$f(2)=6-8=-2<0$, значит на $(\sqrt{3},+\infty)$ график проходит ниже $Ox$.

Изображение

-- 09.11.2017, 12:21 --

Про предыдущие замечания/вопросы не забыл, пока в процессе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение10.11.2017, 03:32 


16/06/14
96
Да, всё верно.
С модулями можно было решить чисто алгебраически, но с точки зрения "изучения графиков" Вы поступили правильно расписав на промежутках.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group