2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 13:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
grizzly в сообщении #1259222 писал(а):
это самое первое упоминание функции в этом курсе. Так что пока давайте считать, что на данный момент известны только определения функции и монотонности.

Не дам. Обратите внимание, что в этой задаче требуют построить график функции, хотя определения графика не давалось даже намёком. Тем самым подразумевается, что понятие функции (вместе с понятием графика) уже известно, а те самым известны и графики простейших функций. Другое дело, что на эти давние воспоминания можно лишь ориентироваться, доказывать же монотонность и всё прочее следует сугубо формально.

Кстати:

irod в сообщении #1254243 писал(а):
$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль) или не ограничена;
$f/g$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $g$ сколь угодно близко приближаются к нулю);
$f/h$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $h$ сколь угодно близко приближаются к нулю).

"Сколь угодно близко приближаться" пока нельзя: это следующий листок. Надо просто придумывать конкретные примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 13:58 


21/02/16
476
ewert в сообщении #1259228 писал(а):
хотя определения графика не давалось даже намёком

На самом деле давалось еще в листке 3 "Отображения множеств":
Графиком отображения $f:X\to Y$ называется множество $G(f)\subset X\times Y$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.

-- 26.10.2017, 14:11 --

grizzly в сообщении #1259210 писал(а):
Я думаю, задание всё же предполагает в первую очередь исследовать на монотонность, а потом уже строить графики. (Я не предлагаю это делать для этой задачи -- уж больно это школьный материал, но понимать как делать такое исследование без графика необходимо.)

Я изначально очень хотел сделать этот листок ради рисования графиков. Мне кажется у меня с ними есть проблемы.
grizzly в сообщении #1259210 писал(а):
Дальше будут другие задачи с условием "исследовать и построить график". Если эти задачи слишком просты, я предлагаю выбирать самую сложную функцию из предложенных и исследовать её по полной программе.

Тогда пусть это будет функция $\frac{ax+b}{cx+d}$ из 2.в. Позже попробую расписать все по ней.
ewert в сообщении #1259228 писал(а):
Другое дело, что на эти давние воспоминания можно лишь ориентироваться, доказывать же монотонность и всё прочее следует сугубо формально.

Хорошо, пусть будет формально.
2.а) $ax+b$
Из $x_1>x_2$ следует $ax_1+b>ax_2+b$ при $a>0$ и $ax_1+b<ax_2+b$ при $a<0$, что означает монотонное возрастание и убывание соответственно.
При $a=0$ имеем $ax_1+b=ax_2+b$ для любых $x_1,x_2$, что можно рассматривать как монотонное неубывание или невозрастание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
ewert в сообщении #1259228 писал(а):
Тем самым подразумевается, что понятие функции (вместе с понятием графика) уже известно, а те самым известны и графики простейших функций.
Вы правы. Понятие графика вводилось в 8-м классе для отображений (см. листок 3 учебника). И графики простейших отображений были, конечно. Но они были конечных множествах. Никаких простейших функций типа парабол там не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 14:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
irod в сообщении #1259232 писал(а):
2.а) $ax+b$
Из $x_1>x_2$ следует $ax_1+b>ax_2+b$ при $a>0$ и $ax_1+b<ax_2+b$ при $a<0$, что означает монотонное возрастание и убывание соответственно.
При $a=0$ имеем $ax_1+b=ax_2+b$ для любых $x_1,x_2$, что можно рассматривать как монотонное неубывание или невозрастание.

Да, ровно так. Теперь аналогичным образом докажите монотонность для параболы (там заклинаний потребуется больше, но не намного). А когда будете разбирать дробь -- чтобы лишней работы не делать, учтите, что случай $c<0$ естественным образом объединяется со случаем $c>0$.

grizzly в сообщении #1259246 писал(а):
В любом случае никаких парабол там не было и быть не могло.

Напротив -- их там не могло не быть. Поскольку рисование парабол -- занятие достаточно трудоёмкое, если начинать его с нуля. Точнее, к ним надо достаточно долго привыкать. Этот же листок слишком куций для подобного рода деятельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
ewert в сообщении #1259249 писал(а):
Напротив -- их там не могло не быть.
Ваши аргументы выглядят неубедительно. Как Вы считаете, почему авторы учебника листок об отображениях называют примерно "несложными манипуляциями со стрелаками, которые носят иллюстративный характер", а текущий листок -- "весьма трудоёмким рисованием картинок"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 15:17 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
grizzly в сообщении #1259255 писал(а):
почему авторы учебника листок об отображениях называют примерно "несложными манипуляциями со стрелаками, которые носят иллюстративный характер", а текущий листок -- "весьма трудоёмким рисованием картинок"?

Я могу это объяснить разве что тем, что они обманывают, отводя на это дело всего лишь ноябрь. Вот ноябрь плюс декабрь -- это было бы вполне приемлемо, за это время действительно можно научить строить графики с нуля. Но тогда там слишком мало задач и они слишком плохо систематизированы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 15:41 


21/02/16
476
Кстати, у меня есть книжка Гельфанда, Глаголевой и Шноль "Функции и графики", и я собираюсь ее почитать параллельно с этим листком. Как считаете, она того стОит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
irod в сообщении #1259279 писал(а):
Как считаете, она того стОит?
Хорошая книга. Старайтесь только в пределах планируемого времени соблюдать какие-то разумные пропорции между изучением теории и решением упражнений / задач из той книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 16:25 


21/02/16
476
irod в сообщении #1259199 писал(а):
Задача 2.
Исследовать на монотонность следующие функции и построить их графики:
б) $ax^2+bx+c$

Формальное исследование на монотонность.
Рассмотрим различные сочетания нулевых, положительных и отрицательных $a,b$.
При $a=0$ имеем функцию из п.а).
При $b=0$ аналогично п.а), т.е. возрастает при $a>0$, убывает при $a<0$ и не убывает/не возрастает при $a=0$.
$a>0,b>0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.
$a<0,b<0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c$ -- убывает.
$a$ и $b$ имеют разный знак ($a>0,b<0$ или $a<0,b>0$):
из $x_1>x_2$ не следует ни $ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$, ни $ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c$, т.е. функция не является монотонной.

-- 26.10.2017, 16:26 --

grizzly в сообщении #1259291 писал(а):
irod в сообщении #1259279 писал(а):
Как считаете, она того стОит?
Хорошая книга. Старайтесь только в пределах планируемого времени соблюдать какие-то разумные пропорции между изучением теории и решением упражнений / задач из той книги.

Ок, спасибо.

-- 26.10.2017, 16:28 --

kotenok gav в сообщении #1259208 писал(а):
irod в сообщении #1259199 писал(а):
при $a>0$ убывает на $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$,
при $a<0$ возрастает на $(-\infty,0]$ и убывает на $[0,+\infty)$.

Неверно.

Да, меня сбили с толку мои же кривые графики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 16:41 


11/12/16
3213
irod в сообщении #1259292 писал(а):
Да, меня сбили с толку мои же кривые графики.

Вы еще раз сбились с толку

Вот это (и аналогичный вывод ниже) неверно:

irod в сообщении #1259292 писал(а):
$a>0,b>0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.

Попробуйте поступить с неравенством по-честному. Сократить лишнее, разницу квадратов разложить, посмотреть когда оно верное, а когда нет....

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 17:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
irod в сообщении #1259292 писал(а):
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.

Вот с какой стати-то?

Для функции $f(x)=ax+b$ монотонность мгновенно следует из аксиом согласования поля и порядка (которые Давидович довольно неудачно обозвал задачами 3 и 4 из листка 7; но, тем не менее, сами-то эти утверждения были). А здесь Вы на что именно ссылаетесь?...

Вот не верю, что Вас не учили решать квадратные уравнения. Если же учили -- Вы должны знать и то, откуда берутся формулы для его корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение26.10.2017, 18:26 


11/12/16
3213
ewert в сообщении #1259301 писал(а):
Вот не верю, что Вас не учили решать квадратные уравнения. Если же учили -- Вы должны знать и то, откуда берутся формулы для его корней.


Единственное, что нужно знать - формулу разложения разности квадратов на множители. ИМХО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение27.10.2017, 09:46 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
EUgeneUS в сообщении #1259332 писал(а):
Единственное, что нужно знать - формулу разложения разности квадратов на множители. ИМХО.

Нет, как раз это и не нужно. А вот что нужно безусловно -- так это уметь выделять полный квадрат. Единственное, чего я не знаю: проходят ли эту тему в одиннадцатом классе или в первом?... (в той школе всё возможно, там народ продвинутый)

irod, разберитесь сначала с монотонностью чистого $x^2$. После чего всё должно стать очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение29.10.2017, 18:14 


21/02/16
476
Исправляю свою параболу.
2.б) $ax^2+bx+c$

При $a=0$ имеем функцию из п.а).
Пусть теперь $a\neq 0$.
Выделим полный квадрат: $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$.
Отсюда видно, что $f(x_1)\geq f(x_2)\Leftrightarrow\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|\geq\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$ ($f(x_1)\leq f(x_2)\Leftrightarrow\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|\leq\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$). Из $x_1>x_2$ не следует ни $\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|>\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$, ни $\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|<\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$, следовательно, функция не является монотонной.
После выделения полного квадрата также видно, что график получается из параболы $y=ax^2$ сдвигом на $-\frac{b}{2a}$ параллельно оси $Ox$, и сдвигом на $c-\frac{b^2}{4a}$ параллельно оси $Oy$.
svv в сообщении #1259211 писал(а):
Нет. Из картинок видно, что автор считает, что при $b=0$ ось симметрии параболы вертикальна, при $b>0$ парабола поворачивается против часовой стрелки, а при $b<0$ — по часовой стрелке. Стройная система получается: $a$ отвечает за растяжение, $b$ за поворот, $c$ за сдвиг по вертикали. Но вершина параболы всегда лежит на оси ординат. :-)

Да, именно так и думал. Теперь понятно какие тут ошибки. Проговорю на всякий случай: оси симметрии параболы всегда параллельная $Oy$, а коэффициенты $a,b,c$ влияют только на "сжатость" ветвей, их направление (вверх или вниз) и на координаты вершины.
Sender в сообщении #1259214 писал(а):
irod, как, по-вашему, будет выглядеть график функции $y(x)=(x-1)^2$?

Это обычная парабола $y=x^2$, сдвинутая по оси $Ox$ вправо на $1$, т.е. ветви параболы подняты вверх, вершина в точке $(1,0)$, ось симметрии параллельна оси $Oy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение31.10.2017, 12:07 


21/02/16
476
Что-то тяжело у меня идет рисование графиков по этому листку. Как-то сложно вот так вот, ничего про графики не зная (не помня), взять и нарисовать график дробно-линейной функции. Можно конечно прочитать все в википедии, но я ж нормально научиться хочу.
ewert в сообщении #1259269 писал(а):
Я могу это объяснить разве что тем, что они обманывают, отводя на это дело всего лишь ноябрь. Вот ноябрь плюс декабрь -- это было бы вполне приемлемо, за это время действительно можно научить строить графики с нуля. Но тогда там слишком мало задач и они слишком плохо систематизированы.

Может быть Вы или кто-то другой подскажете мне где я могу взять хорошо систематизированные задачи по теме? Может быть подскажете мне например конкретные упражнения из упомянутой выше книги "Функции и графики". Я бы выкладывал их в этой теме вместе с задачами из Давидовича. Или просто позадавайте мне по-больше доп.вопросов типа такого:
Sender в сообщении #1259214 писал(а):
irod, как, по-вашему, будет выглядеть график функции $y(x)=(x-1)^2$?


Еще момент: по некоторым бытовым причинам у меня нет возможности уделять рисованию графиков столько же времени сколько я могу уделять обычным доказательствам. Поэтому я хочу распараллелить свою учебу, и начать сейчас параллельно делать следующий листок - по пределу функции. Вроде бы он не сильно завязан на предыдущем листке. Никто не против?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group