Брусок на вращающемся диске (нововведение)

[Sergey from Sydney]

Munin

Есть вектор на плоскости. В некоторой системе координат его компоненты $x$ и $y$. Комплексное число $x+iy$ я и называю "комплексное число, представляющее вектор в данной системе координат".

[Munin]

Ок.

[ludwig51]

Рассмотрим движение бруска с системе диска.

Sergey from Sydney не все понимают моё нововведение. Вы второй человек в моей практике. Первый это Дробышев Николай Александрович.
Я возвращаюсь к форме записи векторов с применением j.
В принципе разницы нет. Но если математики видят i, то считают что речь идёт о комплексном исчислении.
В котором определено деление комплексных чисел, как и в электротехнике (ТОЭ).
В механике деление векторов не определено.
Применение записи векторов в форме Эйлера в механике ограничено. Только в плоскости. Деление не определено. Все операции записи являются не комплексными числами, а векторами.
Я надеюсь, что для моего рисунка уже не требуются формулы.
Но приведу коротко формулы, которые требуются для вывода траектории движения бруска в ИСО.
Из рисунка, в системе диска:
Вектор скорости $\mathbf{V'}=\mathbf{\dot{r'}}=(\dot{r}-j\omega 'r)e^{-j\varphi '}=\mathbf{V'_r}+\mathbf{V'_\tau} =V'e^{j\alpha } $
Кинематический вектор ускорения бруска:
$\mathbf{w'}=\mathbf{\ddot{r'}}=\mathbf{\dot{V'}}=\left [ \left ( \ddot{r}-\omega '^{2}r \right )-j\left ( 2\omega '\dot{r}+\dot{\omega }'r \right ) \right ]e^{-j\varphi '}=\mathbf{w'_r}+\mathbf{w'_\tau }$
Этому вектору противостоит вектор ускорения, создаваемый силой трения скольжения.
Направление вектора силы трения скольжения противонаправлено вектору скорости в системе диска.
Динамическое равновесие $\frac{F}{m}e^{j\alpha }+\mathbf{w'}=0$
$\alpha =-(\varphi '+\arctg\frac{\omega 'r}{\dot{r}})$
Для перехода в ИСО:
$\varphi =\omega t-\varphi '$
$\mathbf{r}=re^{j\varphi }$
Жирным шрифтом обозначены вектора.
Обычным шрифтом - скаляры.

В данном примере дифференциальное уравнение не решаемо в аналитическом виде. То есть нельзя получить аналитическую зависимость $r=f(\varphi)$.
В задаче двух тел или задаче Кеплера это возможно.
Но с применением моего метода в форме Эйлера эта задача проще.
Если модераторы не против, то я приведу это простое решение.

[pogulyat_vyshel]

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):

не все понимают моё нововведение.

Очень смешно. Ваше 'нововведение" на самом деле ни что иное как тривиальный прием, давно и хорошо всем известный. А то, что , как вы говорите, его не все понимают, это просто характеризует ваш круг общения. И лучше бы вам этот круг и не покидать дабы людей не смешить.

Уравнения движения в данной задаче выписываются за 5 минут хош с комплексными числами--хош нет:

$$\ddot x-x\omega^2-2\omega \dot y=-\gamma g\frac{\dot x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}};\quad \ddot y-y\omega^2+2\omega\dot x=-\gamma g\frac{\dot y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}},$$

где $x,y$ -- декартовы координаты бруска системы координат связанной с вращающемся диском, начало системы -- центр диска; $\omega=const$ -- угловая скорость диска; $\gamma$ -- коэффициент трения скольжения; уравнения написаны для скользящего бруска $\dot x^2+\dot y^2\ne 0$

[Munin]

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):

не все понимают моё нововведение.

Опишите его внятно, все поймут.

Кстати, это требование игнорировать нельзя.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):

не все понимают моё нововведение

Вынужден, вслед за pogulyat_vyshel, вас разочаровать: это действительно тривиальный и хорошо известный прием.

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):

Но если математики видят i, то считают что речь идёт о комплексном исчислении.

И правильно делают. Потому что у вас именно комплексные числа (представляющие векторы в той или иной системе координат).

Кстати, уравнения, приведенные выше pogulyat_vyshel, легко можно вывести, исходя из соотношения:

$Z=ze^{i\omega t}$

где $Z$ и $z$ - это комплексные числа, представляющие радиус-вектор бруска в неподвижной и связанной системах координат соответственно (т.е., $z=x+iy$, где $x$ и $y$ - координаты бруска в связанной системе координат); $\omega=\operatorname{const}$ - угловая скорость вращения диска (не $\dot\varphi$ , которое здесь вообще не используется). Я специально использовал $Z$ и $z$ , поскольку использование в этом качестве $R$ и $r$ вы категорически не приемлете. Тогда относительная скорость бруска в связанной системе координат - это просто $\dot z$, сила трения скольжения в связанной системе координат равна $-mg\gamma \dot z/|\dot z|$, и дальше все тривиально.

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1255749 писал(а):

$Z=ze^{i\omega t}$

Я понимаю ваши обозначения.
Ваша формула это уравнение окружности в неподвижной системе, в котором радиус окружности является вектором(комплексом).
В моих обозначениях эта формула:
$\mathbf{r}=\mathbr{\mathbf{r'}}e^{i\omega t}$
Где, $\mathbf{r} $ радиус вектор бруска в неподвижной системе, $\mathbf{r'}$ радиус вектор бруска в системе диска.

В координатах:
$\mathbf{r}=x+iy$ в неподвижной системе.
$\mathbf{r'}=x'+iy'$ в системе диска.
Использую вашу формулировку так.
Вектор силы трения скольжения в неподвижной системе противоположен вектору скорости бруска в системе диска.
Самая сложная вещь, которая была мне непонятна. И вашу формулировку, я, похоже неправильно понял.
То есть для вывода формулы траектории движения бруска в неподвижной системе я буду использовать:
$\mathbf{\ddot{r}}=-\frac{F}{m}e^{i\arctg\frac{\dot{y}'}{\dot{x}'}}$
Сегодня у меня опять поздно. Продолжу завтра.
Но если у вас есть замечания, то прошу их привести.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):

Ваша формула это уравнение окружности в неподвижной системе, в котором радиус окружности является вектором(комплексом).

Нет, это никакое не уравнение окружности. Формула

$Z=ze^{i\omega t}\qquad(1)$

- это формула перехода из связанной системы координат в неподвижную: $z=x+iy$, где $x$ и $y$ - координаты бруска в связанной системе координат в момент времени $t$. Тогда $Z=X+iY$, где $X$ и $Y$ - координаты бруска в неподвижной системе координат в тот же момент времени, вычисляется по формуле (1).

ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):

Вектор силы трения скольжения в неподвижной системе противоположен вектору скорости бруска в системе диска.
Самая сложная вещь, которая была мне непонятна. И вашу формулировку, я, похоже неправильно понял.

Вы поняли очень неправильно. Вектор силы трения скольжения противонаправлен вектору относительной скорости бруска (относительно диска):

$\vec F = -mg\gamma\vec v_r/|\vec v_r|$

Это векторное равенство. А вот расписать его покомпонентно вы можете в разных системах координат. Но при этом компоненты обоих векторов нужно брать в одной и той же системе координат.

ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):

То есть для вывода формулы траектории движения бруска в неподвижной системе я буду использовать:
$\mathbf{\ddot{r}}=-\frac{F}{m}e^{i\arctg\frac{\dot{y}'}{\dot{x}'}}$

Зачем вам этот арктангенс? Относительная скорость бруска (относительно диска) в неподвижной системе координат:

$v_a=\dot Z$
$v_t=i\omega Z$
$v_r = v_a-v_t=\dot Z-i\omega Z$

Здесь все $v$ - это комплексные числа, представляющие соответствующие векторы в неподвижной системе координат. Тогда уравнение движения в неподвижной системе координат:

$\ddot Z = -g\gamma\frac{\dot Z-i\omega Z}{|\dot Z-i\omega Z|}$

Чтобы перейти к $X$ и $Y$, подставьте в это уравнение $Z=X+iY$ и приравняйте слева и справа действительные и мнимые части.

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1255960 писал(а):

Вектор силы трения скольжения противонаправлен вектору относительной скорости бруска (относительно диска):

$\vec F = -mg\gamma\vec v_r/|\vec v_r|$

Спасибо.
Придётся мне кое что переделать.
В моей форме записи $\vec v_r=\mathbf{\dot{r}'}$.
Связанную систему координат я называю системой диска или штрихованной системой координат, или неинерциальной системой.

[ludwig51]

Sergey from Sydney
Продолжим.
Чтобы не использовать штрихи, применяю ваши обозначения координат.
X, Y - координаты неподвижной системы.
x, y - координаты системы диска.
$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.
Почему обозначение со стрелкой?
Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.
А мы имеем дело с векторами.
Ось Ox поворачивается относительно оси OX с угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки. Так же и для осей ординат.

Вектор ускорения в системе диска:
$\ddot{r}=-\gamma g\frac{\dot{r}}{\mid \dot{r}\mid }$
В коориднатах:
$\ddot{x}+i\ddot{y}=-\frac{\gamma g}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\dot{x}+i\dot{y})\,(1)$
Формулы перехода из системы диска в неподвижную систему.
Используем вашу формулу перехода в неподвижную систему из системы диска:
$X+iY=(x+iy)e^{i\omega t}$
Решая это векторное алгебраическое уравнение, находим:
$x=Xcos\omega t+Ysin\omega t, \, y=Ycos\omega t-Xsin\omega t$
Продолжение следует...

[pogulyat_vyshel]

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.

Фразы бессмысленные. Вектор не зависит от систем координат.

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.

вам бы хоть векторную алгебру освоить, комплексные числа вас только путают еще больше

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

В коориднатах:
$\ddot{x}+i\ddot{y}=-\frac{\gamma g}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\dot{x}+i\dot{y})\,(1)$

ага, а теперь сравните это с тем, что у меня написано

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

Продолжение следует...

а может пора пойти учиться уже?

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1256173 писал(а):

Фразы бессмысленные. Вектор не зависит от систем координат.

Радиус-то-вектор зависит от положения начала координат. Это ведь не нормальный вектор — вместо него должна в идеале использоваться точка аффинного пространства или многообразия (в котором случае уж точно никакого радиус-вектора не нарисуешь изначально).

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1256176 писал(а):

Радиус-то-вектор зависит от положения начала координат.

какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу? где вы видите в тексте системы с разными началами?

-- 16.10.2017, 21:46 --

arseniiv в сообщении #1256176 писал(а):

вместо него должна в идеале использоваться точка аффинного пространства или многообразия (в котором случае уж точно никакого радиус-вектора не нарисуешь изначально).

да, да, это замечание про многообразия особенно уместно в этом треде, еще ченьть вспомните -- обязательно напишите

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1256177 писал(а):

какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу? где вы видите в тексте системы с разными началами?

Нигде я их здесь не вижу, но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1256185 писал(а):

Нигде я их здесь не вижу, но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.

Понятно, т. е. даже после того, как я вам указал на то, что тут речь идет о системах с общим началом, вы продолжаете настаивать на том, что радиус-вектор зависит от систем координат. Вы начали лепить ошибки, либо в лучшем случае оффтоп

-- 16.10.2017, 22:17 --

arseniiv в сообщении #1255179 писал(а):

Как я понимаю, человек просто рассматривает плоскость, которой принадлежат векторы, как $\mathbb C$. Проблемы такого рассмотрения в том, что перемешиваются векторы из этой плоскости, изоморфной $\mathbb C$ как вещественное линейное пространство, и элементы спинорной группы, представлением которой является $\mathbb C$. Если так хочется укорачивать выкладки, используя выражения с экспонентами, следует рассматривать алгебру Клиффорда; ну а вообще можно просто дать оператору поворота в данной плоскости имя, скажем, $R(\varphi)$, и всё тоже будет вполне коротко. Хотя угловая скорость хоть так, хоть так всё равно бивектор. Короче, обычное смешение и придумывание названий от незнания нужных структур.

Вот эти высказывания, кстати, тоже абсолютно не по делу, причем все. Угловая скорость это по определению не бивектор, а аксиальный вектор, учебник просто надо сперва открыть, а потом эрудицией блистать. Другое дело, что при наличии метрики есть изоморфизм между пространством бивекторов, и пространством аксиальных векторов. Однако, в стандартных формулах (кинетические моменты, моменты сил, формула Эйлера) используют аксиальный вектор угловой скорости, а ни разу не бивектор. Ну не по делу высказываетесь.