Брусок на вращающемся диске (нововведение)

[ludwig51]

arseniiv в сообщении #1252224 писал(а):

Не совсем ясно, что должен прояснять переход в неинерциальную СО, в которой диск покоится.

Этот переход облегчает понимание и нахождение ускорений в системе диска и в лабораторной системе.
И так же облегчает вывод уравнения движения бруска относительно лабораторной СО.
Ускорение в системе диска:
$\ddot{r}=w^2r-\frac{F}{m}\,(1)$
В системе диска вращения нет. Есть центробежное $(w^2r)$ и центростремительное $(-\frac{F}{m})$ ускорения.
$\ddot{r}$ радиальное ускорение. Оно одинаковое в наших СО.

Все движения в одной плоскости, поэтому, для упрощения переходим от векторной формы записи через орты к комплексной форме.
Радиус вектор в лабораторной СО (далее неподвижной СО)
$\bar{r}=re^{j\varphi }\,\dot{r}=0 $

Вектор ускорения в неподвижной СО.
два раза продифференцируем (2), учитывая, что $w=\operatorname{const}$
$\ddot{\bar{r}}=(\ddot{r}-w^2r+2jw\dot{r})e^{j\varphi }$
Учитывая (1), получим:
$\ddot{\bar{r}}=-\frac{F}{m}e^{j\varphi }+2w\dot{r}e^{j(\varphi +\frac{\pi }{2})}\,(3)$
F - Сила трения покоя. Для упрощения полагаем, что сила трения скольжения равна этой же силе и не зависит от скорости.
$\varphi $ угол поворота диска.
Начальные условия:
При $t=0, r=R, \varphi =0, \dot{r}=0$
Из (3) видим какие имеются ускорения бруска в неподвижной СО.
Центростремительное (противоположно радиус вектору) и ускорение Кориолиса (опережает радиус вектор на $\frac{\pi }{2}$.
Центробежного ускорения нет.
В системе диска есть ЦБ и ЦС ускорения, но нет ускорения Кориолиса.
В случае $\dot{r}=0$ в системе диска брусок покоится, ЦБ ускорения нет.
В неподвижной СО диск движется по окружности, ускорения Кориолиса нет.

Вывод траектории движения бруска в неподвижной СО ($r=f(\varphi )$) в продолжении...

profrotter: Отделено от Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1253482 писал(а):

Из (3) видим какие имеются ускорения бруска в неподвижной СО.
Центростремительное (противоположно радиус вектору) и ускорение Кориолиса

У вас в неподвижной, т.е. инерциальной системе отсчета на брусок действует сила Кориолиса? И откуда же она берется, из какого взаимодействия?

В неподвижной системе отсчета на брусок действует только сила трения: покоя, если он покоится относительно диска, или скольжения, если он скользит по диску. И сила реакции опоры, разумеется.

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1253574 писал(а):

У вас в неподвижной, т.е. инерциальной системе отсчета на брусок действует сила Кориолиса? И откуда же она берется, из какого взаимодействия?

Смотрите вывод формул. Возможно где-то ошибка.

Sergey from Sydney в сообщении #1253574 писал(а):

В неподвижной системе отсчета на брусок действует только сила трения: покоя, если он покоится относительно диска, или скольжения, если он скользит по диску.

Сила трения скольжения это сила сопротивления движению. А какая сила заставляет брусок скользить по диску?
И что у вас за сила реакции опоры?

-- 06.10.2017, 09:01 --

ludwig51 в сообщении #1253482 писал(а):

Радиус вектор в лабораторной СО (далее неподвижной СО)
$\bar{r}=re^{j\varphi }\,\dot{r}=0 $

Здесь описка.
Правильно так:
$\bar{r}=re^{j\varphi }\,(2) $

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1253629 писал(а):

Смотрите вывод формул. Возможно где-то ошибка.

Наверняка. В инерциальной системе отчета действуют только силы, причина которых - взаимодействие тела с другими телами. В неинерциальной добавляются фиктивные силы инерции.

ludwig51 в сообщении #1253629 писал(а):

А какая сила заставляет брусок скользить по диску?

Никакая.

ludwig51 в сообщении #1253629 писал(а):

И что у вас за сила реакции опоры?

Обыкновенная. Которая уравновешивает силу тяжести.

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1253666 писал(а):

Никакая.

Если диск раскрутить с большой скоростью, то брусок вылетит за пределы диска. Это опытные данные.

-- 06.10.2017, 14:59 --

Sergey from Sydney в сообщении #1253666 писал(а):

В инерциальной системе отчета действуют только силы, причина которых - взаимодействие тела с другими телами.

Да, у меня некорректно записана формула (1).

-- 06.10.2017, 15:38 --

В неинерциальных системах нужно учитывать силы инерции.
В системе диска эти силы - сила Кориолиса и центробежная. Если центробежная сила инерции $(w^2r) $в системе диска превысит силу трения покоя, то брусок начинает набирать скорость, то есть скользить по диску в направлении от центра диска. А если появляется радиальная скорость, то появится и ускорение Кориолиса. И траектория движения бруска в ИСО уже не будет окружностью.
А то что сила трения покоя является центростремительной силой, то это под вопросом.
В центре диска нет тяготеющего тела, брусок не притягивается к центру.
При движении по окружности с ИСО центростремительная сила равна по модулю $(w^2r) $ и направлена к центру. Сила трения покоя или скольжения (если ЦС сила по модулю превысила силу трения покоя) в этом случае направлена от центра и уменьшает центростремительную силу. Движение бруска в ИСО уже не по окружности.

[fred1996]

(Оффтоп)

Поспорили как-то центростремисты с центробежниками, кто из них круче.
Цетростремители говорят мол, без нас бы и планеты не вращались вокруг солнца и спутники бы не летали. А центробежники - что мол без нас и планеты и спутники рухнули бы на Солнце. Спорили они, спорили, пока не пришла уборщится с физфака и не выгнала всех с помощью реальной силы.
Центробежников разметала тряпкой половой.
А центростремистов просто спустила в унитаз.
Но стоит уборщице уйти, центростремисты с центробежниками опять вылезают из всех щелей и продолжают свою старую песню.

[StaticZero]

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

А то что сила трения покоя является центростремительной силой, то это под вопросом.

А куда она стремится на самом деле?

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

Сила трения покоя или скольжения (если ЦС сила по модулю превысила силу трения покоя) в этом случае направлена от центра и уменьшает центростремительную силу.

А откуда берётся в таком случае центростремительная сила? Взаимодействие с каким телом её вызывает?

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

Если диск раскрутить с большой скоростью, то брусок вылетит за пределы диска. Это опытные данные.

Правильно. Но не потому, что на брусок действует какая-то сила, выпинывающая его с диска. А потому, что сила трения покоя недостаточно велика, чтобы обеспечить центростремительное ускорение, соoтветствующее данной угловой скорости вращения: $\omega^2r$.

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

А то что сила трения покоя является центростремительной силой, то это под вопросом.

И какая же сила создает центростремительное ускорение, если не сила трения?

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

В центре диска нет тяготеющего тела, брусок не притягивается к центру.

Вот именно.

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

Сила трения покоя или скольжения (если ЦС сила по модулю превысила силу трения покоя) в этом случае направлена от центра и уменьшает центростремительную силу.

Это почему же сила трения направлена от центра? И какая сила тогда создает центростремительное ускорение?

-- Сб окт 07, 2017 11:52:00 --

ludwig51 в сообщении #1253629 писал(а):

$\bar{r}=re^{j\varphi}$

Правильно, причем $\varphi=\omega t$. Дважды продифференцируйте правую часть по времени и получите и центробежную силу, и кориолисову.

[ludwig51]

StaticZero в сообщении #1253833 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

А то что сила трения покоя является центростремительной силой, то это под вопросом.

А куда она стремится на самом деле?

Никуда. Эта сила сопротивления движению.

-- 07.10.2017, 09:40 --

Someone в сообщении #1253835 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

Сила трения покоя или скольжения (если ЦС сила по модулю превысила силу трения покоя) в этом случае направлена от центра и уменьшает центростремительную силу.

А откуда берётся в таком случае центростремительная сила? Взаимодействие с каким телом её вызывает?

С двигателем, который раскручивает диск.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1253867 писал(а):

С двигателем, который раскручивает диск.

Двигатель, который крутит диск, не дает бруску улететь с этого диска? Как это у него получается? А если диск крутится без двигателя, по инерции, кто тогда создает центростремительную силу? И если диск гладкий, почему брусок на нем не удерживается?

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1253840 писал(а):

Дважды продифференцируйте правую часть по времени и получите и центробежную силу, и кориолисову.

Я уже это сделал.

ludwig51 в сообщении #1253482 писал(а):

Радиус вектор в лабораторной СО (далее неподвижной СО)
$\bar{r}=re^{j\varphi }\,(2) $

Вектор ускорения в неподвижной СО.
два раза продифференцируем (2), учитывая, что $w=\operatorname{const}$
$\ddot{\bar{r}}=(\ddot{r}-w^2r+2jw\dot{r})e^{j\varphi }\,(3)$

Нам надо получить уравнение траектории движение бруска в ИСО.
Учитываю все ваши замечания.
На брусок в ИСО действует одна сила и вызывает ЦС ускорение:
$\ddot{\bar{r}}=-\frac{F}{m}e^{j\varphi }\,(4)$
Подставим (4) в левую часть (3):
$-\frac{F}{m}e^{j\varphi }=(\ddot{r}-w^2r+2jw\dot{r})e^{j\varphi }$

$-\frac{F}{m}=(\ddot{r}-w^2r+2jw\dot{r})$
Сравниваем действительные части с мнимыми. И получим из векторного уравнения два скалярных:
$-\frac{F}{m}=\ddot{r}-w^2r\,(5)$

$2w\dot{r}=0\,(6)$
И в итоге получаем:
$F=mw^2r$
То есть приходим к абсурду.
При любой круговой скорости диска брусок вращается по окружности, то есть нет скольжения по радиусу, так как из (6) следует, что радиальная скорость равна нулю.

При дифференцировании (2) надо учитывать, что $w$ не круговая скорость диска, а круговая скорость вращения радиус вектора $\bar{r}$, связанного с бруском.

Тогла получим:

$-\frac{F}{m}=\ddot{r}-w^2r\,(5)$

$2w\dot{r}+\dot{w}r=0\,(7)$
(7) это ЗСМИ
Решая дифференциальное уравнение (7) с учётом начальных условий $r=r_0, w=w_0$,
находим
$w=\frac{w_0r_0^2}{r^2}\,(8)$
где $w_0$ круговая скорость вращения диска.
Подставим (8) в (5)
$\ddot{r}=-\frac{F}{m}+\frac{(w_0r_0^2)^2}{r^3}\,(9)$
Проинтегрируем по $dr$
$\frac{\dot{r}^2}{2}=-\frac{(w_0r_0^2)^2}{2r^2}-\frac{F}{m}r+C_1\,(10)$
$C_1$ из начальных условий.
$r(0)=r_0, \dot{r}(0)=0$
$\dot{r}=\frac{dr}{d\varphi }w$
Подставляем в (10) и решаем диф. ур.
Получаем зависимость $r=f(\varphi)$

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1253903 писал(а):

(7) это ЗСМИ

Если брусок скользит по диску и на него действуют какие-то силы, то никакого закона сохранения момента импульса там нет.

И вообще, Вы напрасно используете комплексную форму записи уравнений. Потому что в ней сила $F$ тоже должна быть комплексной.

ludwig51 в сообщении #1253903 писал(а):

На брусок в ИСО действует одна сила и вызывает ЦС ускорение:
$\ddot{\bar{r}}=-\frac{F}{m}e^{j\varphi }\,(4)$

Это неверно.

ludwig51 в сообщении #1253867 писал(а):

С двигателем, который раскручивает диск.

Исходное предположение (неявное, правда) состоит в том, что диск вращается с постоянной угловой скоростью.

Даже если это не так, объясните, каким образом брусок взаимодействует с двигателем. Как брусок взаимодействует с диском — понятно. Между ними есть непосредственный контакт, из-за которого возникает сила трения. Между диском и двигателем контакта нет.

ludwig51 в сообщении #1253867 писал(а):

StaticZero в сообщении #1253833 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

А то что сила трения покоя является центростремительной силой, то это под вопросом.

А куда она стремится на самом деле?

Никуда. Эта сила сопротивления движению.

Так если брусок начал соскальзывать с диска в направлении от центра, то куда будет направлена сила трения? Согласно тому же опыту, к которому Вы апеллируете, брусок начинает соскальзывать именно от центра, а не к центру. Я сам в детстве на "чёртовом колесе" крутился, так что выяснил это на собственном опыте (когда я учился в школе, в Москве, в Парке культуры и отдыха имени Горького такой аттракцион был).

[nds]

Sergey from Sydney в сообщении #1253666 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1253629

писал(а):
А какая сила заставляет брусок скользить по диску? Никакая.

Вы хотите сказать, что математики для объяснения вращательного движения используют силу постоянно возвращающую к центру точку, которая стремится выскочить по касательной с окружности. Это сути не меняет, но усложняет понимание силы трения (по крайней мере для меня). Сила трения возникает при взаимодействии только двух тел (д в у х) и рассматривать нужно два тела - диск и неподвижный брусок.

Ну это конечно моё мнение, вам может быть проще объяснить всё формулами.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1253903 писал(а):

То есть приходим к абсурду.
При любой круговой скорости диска брусок вращается по окружности, то есть нет скольжения по радиусу, так как из (6) следует, что радиальная скорость равна нулю.

Если $\varphi$ - угол поворота диска, то $r$ - это, вообще говоря, комплексное число. Как и сила $F$ (что уже отметил Someone).

Подробнее.

Введем лабораторную и связанную с диском системы координат. Начала обеих систем в центре диска, оси в начальный момент совпадают. Можно вообразить, что оси связанной системы координат нарисованы краской на диске. Брусок в начальный момент на оси $X$. $\varphi (t)=\omega t$ - угол поворота диска в момент $t$ ($\omega=\operatorname{const}$).

В вашем соотношении (2): $R=re^{i\varphi}$ $R$ и $r$ - это комплексные числа, представляющие радиус-вектор бруска в лабораторной и связанной системах координат соответственно.

В вашем расчете, результат которого вы назвали абсурдным, у вас $r$ - всегда действительное число. Это означает, что брусок остается на одном и том же радиусе диска: оси $X$, нарисованной краской на диске. А это возможно, только если он остается неподвижным относительно диска. А для этого как раз сила трения должна равняться $m\omega^2 r$. При этом сила трения направлена всегда по той же оси, т.е. тоже всегда действительная. Так что никакого абсурда, результат правильный, только вы его неправильно интерпретировали.

В общем же случае сила трения скольжения в ваших уравнениях комплексная, и в связанной системе координат равна $-mgf\dot r/|\dot r|$, где $f$ - коэффициент трения скольжения.