Найти потенциал цилиндра

[pbm]

Sicker
К сожалению, я не умею решать уравнения с использованием функции Грина. Можете объяснить, как этим методом решить уравнение?

[Sicker]

pbm, могу.
Тут все в точности, как и в трехмерии. Функция Грина $G(r-r_0)=-\ln(r-r_0)$
Тогда поле в какой-то точке будет $\varphi(r)=\int_{S} \sigma(r_0) G(r-r_0) dr_0$
В данном случае у весь весь заряд дельта-сосредоточен на краю цилиндра, поэтому задачу можно свести к одномерному интегралу.
$\varphi(r)=\int_{0}^{2\pi} \sigma(\varphi) G(r'(\varphi,r)) d\varphi$ Где $r'$ - расстояние между точкой, в которой находится поле, и соответственно зарядом, которое дает в это поле вклад, найти его можно из простых геометрических вычислений.

-- 01.10.2017, 16:24 --

Функция Грина уравнения Лапласа $\Delta \varphi = -4\pi q$ с граничными условиями на бесконечности $\varphi(\infty)=0$ определяется как $\Delta G(r)= -4\pi \delta(r)$, т.е. это потенциал точечного заряда.

[svv]

pbm в сообщении #1252202 писал(а):

Для данного случая граничные условия определяются как:

$$[E_n]=4\pi\sigma$$

$$ \left[E_{\tau}\right]=0$$

Теперь правильно.
Теперь попробуйте выжать из последнего условия как можно больше. Я делаю первый шаг: $\left[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right]=0$. Ваш ход.

[pbm]

Цитата:

Ваш ход.

Наверное вот так.

$$ \left[\frac{\partial E_{n}}{\partial r}\right]= 0$$

[svv]

Нет, тут совсем непонятно, как 1) от потенциала перешли к полю, 2) от производной по угловой переменной перешли к производной по радиальной, и 3) от тангенциальной компоненты перешли к нормальной.

Постарайтесь обосновать, что можно переставлять оператор «производная по $\theta$» с оператором «скачок».

[pbm]

Цитата:

Теперь попробуйте выжать из последнего условия как можно больше.

Очень сложно понять, что из последних условий можно "выжать"? Также непонятно откуда взялось $\left[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right]=0$.Я пытаюсь найти истину, но не могу догадаться. Дайте еще одну подсказку.

[realeugene]

pbm в сообщении #1252139 писал(а):

Дано бесконечный цилиндра радиуса $ R $ с поверхностной плотностью заряда $ \sigma = \sigma_ {0} \cdot \sin ^ 3 (\varphi) $

А, кстати, что у вас в этой формуле обозначено буквой $\varphi$?

[pbm]

realeugene
Правильно вот так:
$ \sigma = \sigma_ {0} \cdot \sin ^ 3 (\theta) $

[svv]

pbm
$\mathbf E=\mathbf e_r E_r+\mathbf e_\theta E_\theta+\mathbf e_z E_z$
$\mathbf E=-\operatorname{grad}\varphi$
Градиент в цилиндрических координатах:
$\operatorname{grad}\varphi=\mathbf e_r\frac{\partial\varphi}{\partial r}+\mathbf e_\theta \frac 1 r \frac{\partial\varphi}{\partial\theta}+\mathbf e_z \frac{\partial\varphi}{\partial z}$
Отсюда $E_\theta=?$

[pbm]

Верно?

$$ E_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial\varphi}{\partial \theta}$$

[svv]

Да.

svv в сообщении #1252247 писал(а):

$\mathbf E=\mathbf e_r E_r+\mathbf e_\theta E_\theta+\mathbf e_z E_z$

Рассмотрим точку на цилиндрической поверхности. Какие компоненты электрического поля из этих трёх Вы назвали бы тангенциальными?

[pbm]

Тангенциальной является только $ E_{\theta}$

[svv]

А также $E_z$ — ведь базисный вектор $\mathbf e_z$ тоже касателен к поверхности цилиндра. Так что
$\mathbf E_\tau=\mathbf e_\theta E_\theta+\mathbf e_z E_z$
Тут всё понятно?

[pbm]

Да

[svv]

Итак.
$[\mathbf E_\tau]=0$ (не сама тангенциальная составляющая, а только её скачок!)
поэтому
$[E_\theta]=0$ и $[E_z]=0$
поэтому
$[-\frac 1 r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}]=0$ и $[-\frac{\partial\varphi}{\partial z}]=0$

Нас интересует $[-\frac 1 r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}]=0$. Упростите это, насколько возможно.