Найти потенциал цилиндра

[pbm]

Дано бесконечный цилиндра радиуса $ R $ с поверхностной плотностью заряда $ \sigma = \sigma_ {0} \cdot \sin ^ 3 (\varphi) $. Найти потенциал во всем пространстве.
Моя попытка решение.
В данной задаче нужно использовать два уравнения:
$ \Delta \varphi = -4\pi q$ - уравнения Пуассона;
$ \Delta \varphi = 0$ - уравнения Лапласа;
В случае $ r <R $ используем уравнение Лапласа.
Распишет $\Delta \varphi$ в цилиндрических координатах учитывая, что производная по $z$ равна нулю.
$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial\varphi}{\partial \rho}\right) + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\theta^{2}} = 0$
Осталось решить данное диф уравнения. К сожалению, я не понимаю как это сделать. Помогите пожалуйста.

[svv]

Раз мы полярный угол обозначаем $\theta$, поверхностная плотность $\sigma=\sigma_0\sin^3\theta$.
Вам надо уточнить уравнение Лапласа в цилиндрических (в данной задаче, фактически, полярных) координатах, сейчас там ошибка.
Уравнение Лапласа справедливо как при $r<R$, так и при $r>R$.
Уравнение Пуассона не понадобится. Зато понадобятся условия на потенциал на границе внутренней и внешней области (что непрерывно? что имеет скачок? какой скачок?). Также надо оговорить, как ведёт себя потенциал внутри цилиндра (он непрерывен) и на бесконечности.

Когда это всё будет сделано, поговорим о решении.

[pbm]

Цитата:

Вам надо уточнить уравнение Лапласа в цилиндрических (в данной задаче, фактически, полярных) координатах, сейчас там ошибка.

$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial\varphi}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\theta^{2}} = 0$

Цитата:

Уравнение Лапласа справедливо как при $r<R$, так и при $r>R$.

Это связано с тем, что у нас заряд находится на поверхности, либо $\rho =0$?

Цитата:

Уравнение Пуассона не понадобится. Зато понадобятся условия на потенциал на границе внутренней и внешней области (что непрерывно? что имеет скачок? какой скачок?). Также надо оговорить, как ведёт себя потенциал внутри цилиндра (он непрерывен) и на бесконечности.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} E_{1n}- E_{2n}&=& 4\pi \sigma \\ \frac{\partial \varphi}{\partial r_{1}}&=&\frac{\partial \varphi}{\partial r_{2}} \\ \end{array} \right.$$

Внутри потенциал не меняется. На бесконечности он стремится к нулю

[realeugene]

pbm в сообщении #1252159 писал(а):

Внутри потенциал не меняется.

Чему равен потенциал на оси цилиндра?

[pbm]

На оси он такой же как внутри( $r<R, \varphi=\operatorname{const}$)

[realeugene]

pbm в сообщении #1252163 писал(а):

На оси он такой же как внутри( $r<R, \varphi=\operatorname{const}$)

Чему он равен? Ответ на этот вопрос не требует вычислений.

[pbm]

Напряженность электрического поля на поверхности цилиндра равна (по теоремы Гаусса):

$$E=\frac{2\sigma}{R}$$

тогда

$$ \varphi =-\int\limits_{R}^{0} Edr=2\sigma$$

[realeugene]

У вас на оси в одной и той же точке потенциал зависит от угла?
Что такое "потенциал"?

[pbm]

Электрические потенциал - это работа совершаемая силами поля по перемещению единичного заряда.

[realeugene]

pbm в сообщении #1252168 писал(а):

Электрические потенциал - это работа совершаемая силами поля по перемещению единичного заряда.

Нет.

[pbm]

Физическое понятие, характеризующее величину потенциальной энергии в определенной точке пространства.

[realeugene]

pbm в сообщении #1252170 писал(а):

Физическое понятие, характеризующее величину потенциальной энергии в определенной точке пространства.

Расплывчато и не до конца.
Вы используете это понятие в ваших уравнениях, но, даже, сформулировать его достаточно осмысленно не можете. Разбирайтесь со смыслом этого физического понятия, иначе, решать уравнения вам бесполезно. Вы сейчас не видите, что означают буквы у вас перед глазами.

[svv]

У нас ещё разнобой в обозначении радиальной координаты. Пусть будет $r$ (хотя я сам больше люблю $\rho$). Итак, внутри и снаружи цилиндра, но не на поверхности
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial\varphi}{\partial r}\right) + \frac {1}{r^2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\theta^{2}} = 0$

Договоримся скачок любой физической величины $u$ на поверхности цилиндра обозначать $[u]$ и понимать это как разность предельных значений снаружи и изнутри (не наоборот).

Вы считаете, что $[E_n]=4\pi\sigma, [\frac{\partial\varphi}{\partial r}]=0$. С первым я согласен, но второе противоречит первому. Внешняя нормаль $\mathbf n$ к поверхности совпадает с базисным вектором $\mathbf e_r$, так что $E_n=E_r=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}$ (в смысле внешнего или внутреннего предельного значения).

[pbm]

Для данного случая граничные условия определяются как:

$$[E_n]=4\pi\sigma$$

$$ \left[E_{\tau}\right]=0$$

где $ E_{\tau}$ - где тангенциальная компонента. Этого будет достаточно для решения?Каким методом можно решить уравнение:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial\varphi}{\partial r}\right) + \frac {1}{r^2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\theta^{2}} = 0$$

[Sicker]

pbm
А что мешается использовать функцию Грина? Потенциал точечного заряда в двухмерии это логарифм.