Это всё замечательно, но… Откуда взялось
![$\sqrt[3]{z+1}$ $\sqrt[3]{z+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/1/8b18c607c980ad79ee069571ea2540d682.png)
?
Если пытаться решать уравнение теоремы Ферма, задавшись числом

, делящимся на

, и определять двучлен

, то при любых возможных значениях целых чисел

он будет делиться на

.
Если число

делится на

(и не делится на бóльшую степень), то

делится на

(и не делится на

). При любом натуральном

. Почему бы это прямо и не сказать, причём тут какое-то

?
Если же Вы имели в виду

, то надо формулировать условие более точно, потому что при вашей формулировке остаются неопределённости. Нужно указывать точную степень, оговаривая, что на бóльшую уже не делится. По-моему, я Вам об этом писал. Точная степень

, на которую делится

, не может быть какой захочется.
Далее, я не пойму, на каком основании Вы предполагаете число

нечётным. Почему оно не может быть чётным? Или Вы предполагаете случай чётного

рассмотреть позже? И почему на

должно делиться именно

, а не

или

? Я понимаю, что

и

входят в уравнение симметрично, и нам безразлично, какое из них чётное, и какое делится на

(может быть, одно из них делится на

, и это, конечно, отличается от случая, когда одно число делится на

, а другое — на

), но, поскольку Вы считаете

натуральными и, следовательно, положительными, то

заведомо не взаимозаменяемо с

и

.
А вообще, может быть, Вы доказали бы для начала, что, если

— примитивное решение уравнения

, то одно из этих чисел обязательно делится на

(возможно, и на бóльшую степень, но это нельзя доказать, используя только соображения делимости).
Уважаемый Someoe,если я не ошибаюсь, это Вы здесь сказали, что двучлен

должен делиться на число

в степени большей единицы. Отсюда и появилось в моих сообщениях число

.
wrest привел здесь следующее преобразование (спасибо ему за помощь):
Запишем:

. (1)
Все дело в том, что если двучлен

делится на число

, то многочлен

делится на

.
Тут, вроде, можно и без примеров, причем взаимная простота

и

не требуется:

(2)
Допустим

(3)
Имеем:
![$Q=[(a+b)^2-3ab]=[3^{2z}k^2-3ab]=3\cdot[3^{2z-1}k^2-ab]$ $Q=[(a+b)^2-3ab]=[3^{2z}k^2-3ab]=3\cdot[3^{2z-1}k^2-ab]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/0939a5706df357871529942701523aad82.png)
(4)
Тогда из формул (1), (2), (3), (4) следует:
![$c^3=3^zk[3^{2z}k^2-3ab]=3^{z+1}k[3^{2z-1}k^2-ab]$ $c^3=3^zk[3^{2z}k^2-3ab]=3^{z+1}k[3^{2z-1}k^2-ab]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/a/44a14e8fb90b61dbfddecb124090fea482.png)
Отсюда:
![$c=\sqrt[3]{3^{z+1}}\cdot\sqrt[3]{k(3^{2z-1}k^2-ab)}$ $c=\sqrt[3]{3^{z+1}}\cdot\sqrt[3]{k(3^{2z-1}k^2-ab)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/c/35c0fe0436695daa127c833706e70e4782.png)
(5)
Отсюда следует, что число

, если оно натуральное, должно делиться на число
![$\sqrt[3]{3^{z+1}}$ $\sqrt[3]{3^{z+1}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d82ec28268d55fc593a9a88556ae4782.png)
Число

может быть четным в двух случаях:
1. Если оба числа

четные.
2. Если оба числа

нечетные.
В первом случае число

, если оно натуральное, четное.
Следовательно, исходная формула теоремы Ферма может делиться на число

до тех пор, пока числа в формуле не станут взаимно простыми. Следовательно, мы возвращаемся к тезису о взаимной простоте чисел.
Во втором случае ничего не меняется. Пример:

Одно из чисел

может делиться на

. В этом случае тоже ничего не меняется. Пример:

.
Оба числа

одновременно не могу делиться на

по той же причине, что число

также должно делиться на

. После сокращения на

возможное количество раз числа в формуле теоремы Ферма превратится во взаимно простые.
И надо будет искать решение именно этой формулы.
Кстати:если проводить параллель между теоремой Ферма и теоремой Пифагора, то если Пифагоровы тройки взаимно простые числа, меньшие из трех чисел имеют разную четность, при этом их сумма взаимно проста по отношению к большему числу.