2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 11:35 
Заблокирован


05/10/13

32
Господа,
запишем уравнение теоремы Ферма следующим образом:
$a^3=c^3-b^3$
$c>b$
Пусть:$c=b+m$
Тогда:
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= b^3+3b^2m+ 3bm^2+m^3-b^3 $
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= 3b^2m+ 3bm^2+m^3$
В правой части уравнения получили многочлен:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3$
Вопрос:может ли этот многочлен быть биномом Ньютона, т .е.
быть равным:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3=(k+p)^3$?
Я полагаю, что от ответа на этот вопрос зависит ответ на
другой вопрос: имеет ли решение в целых числах уравнение
теоремы Ферма:

$a^3=c^3-b^3$?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.10.2013, 11:45 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Сообщение отделено от темы
Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: предмет обсуждения темы не сформулирован чётко

VERESK, сформулируйте чётко вопрос, который Вы хотите обсудить. Неясно, что значит "многочлен может быть биномом Ньютона".
Если нужно, исправьте название темы.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 !  Замечание за попытку захвата чужой темы

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.10.2013, 13:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
вернул

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 16:52 
Заблокирован


05/10/13

32
Deggial, спасибо за возврат темы из карантина.
Вариант
уравнение теоремы Ферма:
$a^3+b^3=c^3$
$b>a$
Пусть: $b=a+k$
Тогда:
$a^3+(a+k)^3=2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=c^3$
Если целое число c>1 , то число $c^3$ можно
представить в виде суммы двух чисел в кубе, т. е.:
$c^3=(r+s)^3$
Вопрос: может ли выполняться равенство:
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=(r+s)^3$?
Другими словами, может ли многочлен:
$a^3+(a^3+3a^2k+3ak^2+k^3)$,
представляющий собой сумму слагаемых бинома Ньютона, к которой
добавлен первый член бинома, быть биномом Ньютона
$(r+s)^3$
или, в конечном итоге, числом $c^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 21:45 


10/08/11
671
VERESK в сообщении #771517 писал(а):
Вопрос: может ли выполняться равенство:
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=(r+s)^3$?

А чем это отличается от формулировки ВТФ? Только тем, что сумма кубов представлена элементарной заменой их и увеличением числа переменных. Степень свободы решения в целых числах только увеличилась от этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 11:06 
Заблокирован


05/10/13

32
Приведенное мною уравнение можно записать следующим образом:
$k^3+3ak^2+3a^2k-(c^3-2a^3)=0$
Это кубическое уравнение относительно числа $k$.
Задаваясь числами $a, c$, это уравнение можно решать,
применяя формулы Кардано, и установить, является ли $k$
целым числом или нет.
Однако, вопрос заключается в другом: могут ли формулы:
$3b^2m+3bm^2+m^3$
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$
быть преобразованными в биномы Ньютона?
Другими словами, можно ли, задаваясь любыми значениями чисел $a, m$ в первом многочлене или $a, k$ во втором, получить
целае числа в кубе?
Уравнение $3b^2m+3bm^2+m^3$ -это "урезанный"
бином Ньютона.
Уравнение $2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$ -это
"избыточный" бином Ньютона.
Вопрос можно сформулировать проще: являются ли многочлены:
$3b^2m+3bm^2+m^3$
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$
биномами Ньютона?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
А что если объединить Ваши идеи с целью уменьшения числа переменных?
Пусть $b=a+k;\;c=a+n$. Тогда
$a^3+3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=0$
Чтобы это было биномом Ньютона, надо, чтобы последнее слагаемое было кубом натурального числа.
То есть из начальной тройки кубов $(a^3,b^3,c^3)$ мы получаем тройку $(k^3, m^3, n^3)$, причём можно проследить, чтобы эти тройки не были пропорциональными. Тогда может быть можно что-то получить :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
gris в сообщении #771886 писал(а):
Чтобы это было биномом Ньютона, надо, чтобы последнее слагаемое было кубом натурального числа.
Боюсь, этого мало. По-моему, должны выполняться равенства $k^2-n^2=(k-n)^2$ и $k^3-n^3=(k-n)^3$. Так что с надеждой что-то вытащить из этой идеи, видимо, придётся расстаться. Или я что-то не заметил?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Ну вот!
$k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$, откуда следует, что бином с началом $a^3$ невозможен.
Предположим, что бином существует, но с другими переменными, например $x,y$. Но тогда сделав замену $x\to a-x$ мы можем попытаться записать этот бином в виде бинома, начинающегося на $a^3$, что невозможно, как мы уже доказали.
Я отнюдь не утверждаю, что попытки результативны, я сам не пробовал, а только проникся идеями ТС :oops: .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 14:00 


07/10/13
5
VERESK в сообщении #770880 писал(а):
Господа,
запишем уравнение теоремы Ферма следующим образом:
$a^3=c^3-b^3$
$c>b$
Пусть:$c=b+m$
Тогда:
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= b^3+3b^2m+ 3bm^2+m^3-b^3 $
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= 3b^2m+ 3bm^2+m^3$
В правой части уравнения получили многочлен:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3$
Вопрос:может ли этот многочлен быть биномом Ньютона, т .е.
быть равным:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3=(k+p)^3$?
Я полагаю, что от ответа на этот вопрос зависит ответ на
другой вопрос: имеет ли решение в целых числах уравнение
теоремы Ферма:

$a^3=c^3-b^3$?


Опять слесарь Изнуренков (сантехник Козий Н.М.) решает ВТФ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Интересно, что ВТФ в латинской транслитерации выглядит как WTF.
Было ли сие отмечено в анналах форума? Или я глупость сказал? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.10.2013, 22:09 


10/08/11
671
gris в сообщении #771886 писал(а):
Пусть $b=a+k;\;c=a+n$. Тогда
$a^3+3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=0$

gris в сообщении #771910 писал(а):
Ну вот!
$k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$,

Уважаемый gris!
Как я понял, биномом должна быть не вся левая часть, а только
$3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=-a^3$. Поиск противоречия через одно слагаемое $(k^3-n^3)$ не приведет к нахождению общего решения.
Найденное Вами тривиальное решение $a^3=0$ при указанном равенстве $k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$, не является единственным.
Поэтому Ваши сомнения, что попытки будут результативны вполне обоснованы.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение11.10.2013, 16:35 
Заблокирован


05/10/13

32
gris
решая уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
$k^3+3ak^2+3a^2k-(c^3-2a^2)=0$
по формулам Кардано как кубические относительно переменных
$m, k$ соответственно, я получил, если не ошибся,
иррациональные значения чисел $m,k$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение11.10.2013, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Доказывать иррациональность корней кубического уравнения с помощью формул Кардано дохлое дело :-( . Они, формулы, не дают в явном виде решения даже простейшего кубического уравнения. К примеру, уравнение
$x^3-7x+6=0$
имеет корни $x=1,2,-3.$
Попробуйте их найти с помощью формул Кардано.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение13.10.2013, 11:11 
Заблокирован


05/10/13

32
Уважаемый господин Коровьев,
я произвел расчет Вашего уравнения по формулам Кардано.
Из расчета следует, что дискриминант $D<0$
В этом случае уравнение имеет три действительных решения,
но корни находятся с помощью тригонометрических функций,
поэтому корни получаются дробными.
Сделать окончательный вывод о том, что корни Вашего уравнения
являются целыми или дробными (иррациональными) не представляется возможным.

Я также выполнил расчет для моего уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
Я задался произвольными значениями чисел $b, m$,
рассчитал по этому уравнению значение числа обозначенного как $a^3$. Само число $a$ получилось дробным.
Затем по этому уравнению "обратным ходом", подставляя значения принятого
числа $b$ и найденного числа $a^3$,
я по формулам Кардано определил число $m$. Оно получилось равным ранее принятому.
При этом в приведенном уравнении:
$y^3+py+q=0$
всегда число $p=0$, число $q<0$,
дискриминант $D>0$.
В этом случае имеется одно действительное решение уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
Я не утверждаю, что чиcло $a$ не может быть целым числом,
но я уверен, что это уравнение решается методом Кардано.
Аналогичные расчеты я выполнил для уравнения:
$k^3+3ak^2+3a^2k+2a^3- c^3=0$,
задаваясь значениями чисел $a, k$.
Я получил аналогичные результаты.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 76 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group