Доказательство ВТФ n=3 (вариант)

[selesta]

Someone в сообщении #1251642 писал(а):

selesta в сообщении #1251505 писал(а):

я допустил технические ошибки

С кем не бывает… Но это мелочи.

А вот со степенями $3^z$, делящими числа $c$ и $a+b$, у Вас всё очень плохо. Если Вы на такой основе будете пытаться что-то доказать, то у Вас ничего, кроме ерунды, не получится. Однако Вы это пытаетесь игнорировать.

Уважаемый Someone,
в одном из своих сообщений я писал:

selesta в сообщении #1251128 писал(а):

Если двучлен $(a+b)$ кратный $3^z$, то число $c$, определяемое по формуле теоремы Ферма, кратно числу $3$ в степени$ \sqrt[3]{z+1}$.
Если число $c$ кратно числу $3$ в степени $z$, то двучлен $(a+b)$ кратный числу $3$ в степени $(z-1)$.

Уточняю приведенный текст:
Если двучлен $(a+b)$ делится на $3^z$, то число $c^3$ должно делиться на $ 3^{z+1}$.
Запишем:
$c^3=a^3+b^3=(a+b)Q$.
Все дело в том, что если двучлен $(a+b)$ делится на число $3^z$, то многочлен $Q$ делится на $3$.

Примеры:
$a+b=7\cdot3^3=189=86+103$.
$a=86, b=103$.
$c^3=a^3+b^3=86^3+103^3=189\cdot3\cdot576261=3\cdot189(6\cdot508+1)=3^4\cdot7(6\cdot508+1)$.
$Q=3\cdot576261$

$a+b=5\cdot3^4=405=172+233$.
$a=172, b=233$.
$c^3=a^3+b^3=172^3+233^3=405\cdot3\cdot5912595=3\cdot405(6\cdot2433+1)= 3^5\cdot5(6\cdot2433+1)$
$Q=3\cdot5912595$

Гипотетическое предположение:
Если пытаться решать уравнение теоремы Ферма, задавшись числом $c^z$, делящимся на $3^z$, и определять двучлен $(a+b)$, то при любых возможных значениях целых чисел $a, b$ он будет делиться на $3^{z-1}$.

[wrest]

selesta в сообщении #1251714 писал(а):

Запишем:
$c^3=a^3+b^3=(a+b)Q$.
Все дело в том, что если двучлен $(a+b)$ делится на число $3^z$, то многочлен $Q$ делится на $3$.

Примеры:

Тут, вроде, можно и без примеров, причем взаимная простота $a$ и $b$ не требуется:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)=(a+b)\cdot Q$
Допустим $(a+b)=3^zk$
Имеем:
$Q=((a+b)^2-3ab)=(3^{2z}k^2-3ab)=3\cdot(3^{2z-1}k^2-ab)$

[selesta]

wrest в сообщении #1251730 писал(а):

selesta в сообщении #1251714 писал(а):

Запишем:
$c^3=a^3+b^3=(a+b)Q$.
Все дело в том, что если двучлен $(a+b)$ делится на число $3^z$, то многочлен $Q$ делится на $3$.

Примеры:

Тут, вроде, можно и без примеров, причем взаимная простота $a$ и $b$ не требуется:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)=(a+b)\cdot Q$
Допустим $(a+b)=3^zk$
Имеем:
$Q=((a+b)^2-3ab)=(3^{2z}k^2-3ab)=3\cdot(3^{2z-1}k^2-ab)$

Можно и так, но конкретные примеры не помешают.

[ishhan]

selesta в сообщении #1250921 писал(а):

Второй тип: двучлен $(a+b)$ и, следовательно, число c кратны показателю степени в первой степени.

Уважаемый selesta!
Условия целостности чисел $a,b,c$ для ВТФ3 когда $c$ делится на 3 записываются как:
$(a+b)=9p^3$
$(c-b)=q^3$
$(c-a)=t^3$
У вас же $(a+b)$ делится только на 3.
Поясните почему.

[Someone]

Это всё замечательно, но… Откуда взялось $\sqrt[3]{z+1}$?

selesta в сообщении #1251714 писал(а):

Если пытаться решать уравнение теоремы Ферма, задавшись числом $c^z$, делящимся на $3^z$, и определять двучлен $(a+b)$, то при любых возможных значениях целых чисел $a, b$ он будет делиться на $3^{z-1}$.

Если число $c^z$ делится на $3^z$ (и не делится на бóльшую степень), то $c$ делится на $3$ (и не делится на $3^2$). При любом натуральном $z$. Почему бы это прямо и не сказать, причём тут какое-то $z$?

Если же Вы имели в виду $c^3$, то надо формулировать условие более точно, потому что при вашей формулировке остаются неопределённости. Нужно указывать точную степень, оговаривая, что на бóльшую уже не делится. По-моему, я Вам об этом писал. Точная степень $3^z$, на которую делится $c^3$, не может быть какой захочется.

Далее, я не пойму, на каком основании Вы предполагаете число $c$ нечётным. Почему оно не может быть чётным? Или Вы предполагаете случай чётного $c$ рассмотреть позже? И почему на $3$ должно делиться именно $c$, а не $a$ или $b$? Я понимаю, что $a$ и $b$ входят в уравнение симметрично, и нам безразлично, какое из них чётное, и какое делится на $3$ (может быть, одно из них делится на $6$, и это, конечно, отличается от случая, когда одно число делится на $2$, а другое — на $3$), но, поскольку Вы считаете $a,b,c$ натуральными и, следовательно, положительными, то $c$ заведомо не взаимозаменяемо с $a$ и $b$.

А вообще, может быть, Вы доказали бы для начала, что, если $a,b,c$ — примитивное решение уравнения $x^3+y^3=z^3$, то одно из этих чисел обязательно делится на $3^2$ (возможно, и на бóльшую степень, но это нельзя доказать, используя только соображения делимости).

[selesta]

Someone в сообщении #1251782 писал(а):

Это всё замечательно, но… Откуда взялось $\sqrt[3]{z+1}$?

selesta в сообщении #1251714 писал(а):

Если пытаться решать уравнение теоремы Ферма, задавшись числом $c^z$, делящимся на $3^z$, и определять двучлен $(a+b)$, то при любых возможных значениях целых чисел $a, b$ он будет делиться на $3^{z-1}$.

Если число $c^z$ делится на $3^z$ (и не делится на бóльшую степень), то $c$ делится на $3$ (и не делится на $3^2$). При любом натуральном $z$. Почему бы это прямо и не сказать, причём тут какое-то $z$?

Если же Вы имели в виду $c^3$, то надо формулировать условие более точно, потому что при вашей формулировке остаются неопределённости. Нужно указывать точную степень, оговаривая, что на бóльшую уже не делится. По-моему, я Вам об этом писал. Точная степень $3^z$, на которую делится $c^3$, не может быть какой захочется.

Далее, я не пойму, на каком основании Вы предполагаете число $c$ нечётным. Почему оно не может быть чётным? Или Вы предполагаете случай чётного $c$ рассмотреть позже? И почему на $3$ должно делиться именно $c$, а не $a$ или $b$? Я понимаю, что $a$ и $b$ входят в уравнение симметрично, и нам безразлично, какое из них чётное, и какое делится на $3$ (может быть, одно из них делится на $6$, и это, конечно, отличается от случая, когда одно число делится на $2$, а другое — на $3$), но, поскольку Вы считаете $a,b,c$ натуральными и, следовательно, положительными, то $c$ заведомо не взаимозаменяемо с $a$ и $b$.

А вообще, может быть, Вы доказали бы для начала, что, если $a,b,c$ — примитивное решение уравнения $x^3+y^3=z^3$, то одно из этих чисел обязательно делится на $3^2$ (возможно, и на бóльшую степень, но это нельзя доказать, используя только соображения делимости).

Уважаемый Someoe,
если я не ошибаюсь, это Вы здесь сказали, что двучлен $(a+b)$ должен делиться на число $3$ в степени большей единицы. Отсюда и появилось в моих сообщениях число $3^z$.

wrest привел здесь следующее преобразование (спасибо ему за помощь):

wrest в сообщении #1251730 писал(а):

selesta в сообщении #1251714 писал(а):

Запишем:
$c^3=a^3+b^3=(a+b)Q$. (1)
Все дело в том, что если двучлен $(a+b)$ делится на число $3^z$, то многочлен $Q$ делится на $3$.

Тут, вроде, можно и без примеров, причем взаимная простота $a$ и $b$ не требуется:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)=(a+b)\cdot Q$ (2)
Допустим $(a+b)=3^zk$ (3)
Имеем:
$Q=[(a+b)^2-3ab]=[3^{2z}k^2-3ab]=3\cdot[3^{2z-1}k^2-ab]$(4)

Тогда из формул (1), (2), (3), (4) следует:
$c^3=3^zk[3^{2z}k^2-3ab]=3^{z+1}k[3^{2z-1}k^2-ab]$
Отсюда:
$c=\sqrt[3]{3^{z+1}}\cdot\sqrt[3]{k(3^{2z-1}k^2-ab)}$ (5)
Отсюда следует, что число $c$, если оно натуральное, должно делиться на число $\sqrt[3]{3^{z+1}}$
Число $c$ может быть четным в двух случаях:
1. Если оба числа $a, b$ четные.
2. Если оба числа $a, b$ нечетные.
В первом случае число $c$, если оно натуральное, четное.
Следовательно, исходная формула теоремы Ферма может делиться на число $2$ до тех пор, пока числа в формуле не станут взаимно простыми. Следовательно, мы возвращаемся к тезису о взаимной простоте чисел.
Во втором случае ничего не меняется. Пример:
$c^3=27^3+29^3=56(6\cdot131+1)$
Одно из чисел $a, b$ может делиться на $3$. В этом случае тоже ничего не меняется. Пример:
$3^3+4^3=7(6\cdot2+1)$.
Оба числа $a, b$ одновременно не могу делиться на $3$ по той же причине, что число $c$ также должно делиться на $3$. После сокращения на $3$ возможное количество раз числа в формуле теоремы Ферма превратится во взаимно простые.
И надо будет искать решение именно этой формулы.

Кстати:если проводить параллель между теоремой Ферма и теоремой Пифагора, то если Пифагоровы тройки взаимно простые числа, меньшие из трех чисел имеют разную четность, при этом их сумма взаимно проста по отношению к большему числу.

[iifat]

selesta в сообщении #1251932 писал(а):

$c=\sqrt[3]{3^{z+1}}\cdot\sqrt[3]{k(3^{2z-1}k^2-ab)}$ (5)
Отсюда следует, что число $c$, если оно натуральное, должно делиться на число $\sqrt[3]{3^{z+1}}$

Проверяем ход рассуждений: $2^2=2\times2$, стало быть $2=\sqrt2\sqrt2$ должно делиться на $\sqrt2$!

[selesta]

ishhan в сообщении #1251766 писал(а):

selesta в сообщении #1250921 писал(а):

Второй тип: двучлен $(a+b)$ и, следовательно, число c кратны показателю степени в первой степени.

Уважаемый selesta!
Условия целостности чисел $a,b,c$ для ВТФ3 когда $c$ делится на 3 записываются как:
$(a+b)=9p^3$
$(c-b)=q^3$
$(c-a)=t^3$
У вас же $(a+b)$ делится только на 3.
Поясните почему.

Укажите, пожалуйста, источник информации, где эти условия обоснованы.
Почему нельзя доказывать теорему Ферма для случая, если двучлен $(a+b)$ делится на $3$ в первой степени?

[vasili]

Уважаемый selesta! Показанные уважаемым ishhan условия целостности чисел $a,b,c$ для ВТФ3, когда $(c, 3) = 3$ являются следствием формул Абеля. Легко показать, что если $(c, 3) = 3$, то и $(c, 3^2) = 3^2$ и как следствие этого $[(a + b), 3^5] = 3^5$.

[ishhan]

selesta в сообщении #1251938 писал(а):

Почему нельзя доказывать теорему Ферма для случая, если двучлен $(a+b)$ делится на $3$ в первой степени?

Уважаемый selesta!
Привожу для Вас форму эквивалентного уравнения ВТФ:

$$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-b)(c-a)$$

Если Вы ещё не знакомы с этим уравнением, то необходимо хорошенько ознакомиться.
Условия целостности следуют из его алгебраического вида.
И советую Вам разобраться с примером от уважаемого vasili.
Если доказывать для случая $ a+b$ делится только на 3, то на 3 делится одно из чисел $(c-b),(c-a)$ и Вы имеете дело с не взаимно простой тройкой $a,b,c$

[selesta]

ishhan в сообщении #1251978 писал(а):

selesta в сообщении #1251938 писал(а):

Почему нельзя доказывать теорему Ферма для случая, если двучлен $(a+b)$ делится на $3$ в первой степени?

Уважаемый selesta!
Привожу для Вас форму эквивалентного уравнения ВТФ:

$$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-b)(c-a)$$

Если Вы ещё не знакомы с этим уравнением, то необходимо хорошенько ознакомиться.
Условия целостности следуют из его алгебраического вида.
И советую Вам разобраться с примером от уважаемого vasili.
Если доказывать для случая $ a+b$ делится только на 3, то на 3 делится одно из чисел $(c-b),(c-a)$ и Вы имеете дело с не взаимно простой тройкой $a,b,c$

Уважаемый ishhan,
на самом деле уравнение тринома третей степени имеет вид:
$(a+b-c)^3=(a^3+b^3-c^3)+3(a+b)(c-b)(c-a)$
И это уравнение не эквивалентное уравнению ВТФ.
А делятся ли в рассматриваемом случае двучлены $(c-b),(c-a)$ на $3$ - это спорный вопрос. Если бы уравнение теоремы Ферма имело решение в натуральных числах, оно упрощалось бы всегда до взаимно простых чисел.
В уравнении ВТФ не может быть так, что два числа взаимно простые, а третье число имеет с ними общий делитель.

[Someone]

selesta в сообщении #1251932 писал(а):

это Вы здесь сказали, что двучлен $(a+b)$ должен делиться на число $3$ в степени большей единицы

Да, сказал. Более того, легко доказать, что, если уж он делится на $3$, то он делится, как минимум, на $3^5$. Вам это пытаются объяснить, но Вы, похоже, безнадёжны. Насколько я помню, я уже говорил, что одно из чисел $a,b,c$, удовлетворяющих уравнению $a^3+b^3=c^3$, обязано делиться на $3^2$ (и может делиться на бо́льшую степень), а отсюда сразу следует, что одно из чисел $a+b,c-a,c-b$ должно делиться на $3^5$. Вы бы сначала занялись исследованием этого вопроса, а то сочиняете тут ерунду.

selesta в сообщении #1251932 писал(а):

Отсюда:
$c=\sqrt[3]{3^{z+1}}\cdot\sqrt[3]{k(3^{2z-1}k^2-ab)}$ (5)
Отсюда следует, что число $c$, если оно натуральное, должно делиться на число $\sqrt[3]{3^{z+1}}$

Да. Но у Вас было написано

selesta в сообщении #1251128 писал(а):

Если двучлен $(a+b)$ кратный $3^z$, то число $c$, определяемое по формуле теоремы Ферма, кратно числу $3$ в степени$ \sqrt[3]{z+1}$.

Это явно не одно и то же. Но и то, что Вы написали, нуждается в серьёзном уточнении.

selesta в сообщении #1251932 писал(а):

Кстати:если проводить параллель между теоремой Ферма и теоремой Пифагора, то если Пифагоровы тройки взаимно простые числа, меньшие из трех чисел имеют разную четность, при этом их сумма взаимно проста по отношению к большему числу.

Ну так для третьей степени утверждение про разную чётность двух меньших чисел может быть неверным.

selesta в сообщении #1251938 писал(а):

Укажите, пожалуйста, источник информации, где эти условия обоснованы.

Это хорошо известные соотношения, которые называются формулами Абеля. Они имеют немного разный вид в зависимости от того, делится ли какое-нибудь из чисел $a,b,c$ на $3$ или не делится. Обоснование очень простое, но надо немного повозиться. Я как-то написал текст на эту тему для ферматистов, прилагаю его к сообщению. Попытайтесь разобраться.

А вообще, всячески рекомендую следующую книгу:
М. М. Постников. Введение в алгебраическую теорию чисел. "Наука", Москва, 1982.
Она вся посвящена методам доказательства теоремы Ферма, существовавшим до Уайлса. В первом издании она так и называлась: Теорема Ферма.

selesta в сообщении #1251986 писал(а):

на самом деле уравнение тринома третей степени имеет вид:
$(a+b-c)^3=(a^3+b^3-c^3)+3(a+b)(c-b)(c-a)$
И это уравнение не эквивалентное уравнению ВТФ.

То, что Вы написали, действительно не эквивалентно, поскольку это просто тождество. А то, что написал ishhan, как раз эквивалентно.

[selesta]

Господа, почему исчезли две мои темы?

GAA:

volga, selesta бан за злостное клонирование и откровенное хулиганство.

GAA:

Обсуждение «тем» volga и selesta уже было: «ВТФ для n=3». Большая часть остальных дублей, созданных разными клонами, удалена.

[korsakow]

На этом форуме присутствуют заслуженные участники swedka и provincialka.
Они всегда очень активны, а здесь молчат.
Видимо, сказать что-либо, опровергающее доказательство, они не могут.
Поэтому и молчат.

[Pphantom]

korsakow заблокирован как еще один клон selesta и т.п.