3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, задача 14.21 к вып. 1 (djvu) (условие: стр. 47png, решение МИФИ: стр. 202png),

Цитата:

14.21. Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 \text{км/сек} относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 \text{км/сек}.

Английский текст:

https://theswissbay.ch/pdf/Gentoomen%20Library/Extra/Richard_Feynman-Feynman_Lectures_on_Physics%2C_Vol._1_Exercises-1964._Volume_1-Addison-Wesley%281964%29.pdf писал(а):

14-21. With what minimum speed must an interstellar probe be launched from near the Earth's surface in order to escape from the solar system with a residual speed of 10 \text{mi sec}^{-1} relative to the sun? The speed of the Earth in its orbit is 18.5 \text{mi sec}^{-1} .

Ans.:11.8 \text{mi sec}^{-1}.

Задача была решена, ответ совпал с решением МИФИ, но не совпал с ответом Фейнмана. Начал проверять решение МИФИ через 3-ю космическую скорость -- оказалось, решение неверное. В итоге получилось 3 способа решения, и все они дали разные ответы. Не могу понять, где ошибка, т.к. все решения кажуться логически правильными.

Примем обозначения скоростей, как в решениях МИФИ:
$v - стартовая скорость (относительно Солнца);
$v_\text{min} - стартовая скорость (относительно Земли);
$v' - остаточная скорость (относительно Солнца);
$v_1 - 2-я космическая скорость для Земли;
$v_0 - скорость Земли (относительно Солнца).

Пояснение о системах отсчета: Используются невращающаяся система координат XYZ, связанная с Солнцем, и параллельная ей система координат X'Y'Z', движущаяся относительно XYZ со скоростью Земли в начальный момент \mathbf{v_\text{X'Y'Z'}}(0, v_0, 0) (связанная с Землей в начальный момент). Что Фейнман подразумевает под "relative to the sun", а также как автор статьи в Википедии считает скорость относительно Земли, я сам не совсем понимаю. По всей видимости, они считают, что либо спутник улетает на бесконечность мгновенно, либо конфигурация солнечной системы совпадает с начальной, когда спутник оказывается на бесконечности.


Расчет 3-й космической скорости №1 (аналогично решению МИФИ).
согласно гл. 14-3, где Фейнман поясняет, что если энергии едва хватает, то ракета на бесконечности обладает нулевыми кинетической и потенциальной энергиями:
$T_\infty=\tfrac{mv'^2}{2},
$U_\infty=0.
Корабль стартует с Земли в направлении вектора скорости Земли со скоростью $v_\text{min}$, поэтому модуль скорости корабля в системе XYZ $v_\text{min} + v_0$:
$T_\text{start}=\tfrac{m(v_\text{min}+v_0)^2}{2},
$U_\text{start}=-G\tfrac{M_\text{sun}m}{R_\text{sun-earth}} - G\tfrac{M_\text{earth}m}{R_\text{earth}};
Закон сохранения энергии:
$T_\infty+U_\infty=T_\text{start}+U_\text{start}.
$v_\text{min} = \sqrt{v'^2 + 2G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} + 2G\tfrac{M_\text{earth}}{R_\text{earth}}} - v_0
Получил ответ:
$v_\text{min} = 16,6 \text{km/sec}.
Далее я пытаюсь сверить ответ с известной 3-й космической скоростью. Если положить $v' = 0, то
$v_\text{min} = 13,8 \text{km/sec}.

Расчет 3-й космической скорости №2 (словесный из Википедии).

(https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity#Multiple_bodies)

When escaping a compound system, such as a moon orbiting a planet or a planet orbiting a sun, a rocket that leaves at escape velocity $ v_{e1}$) for the first (orbiting) body, (e.g. Earth) will not travel to an infinite distance because it needs an even higher speed to escape gravity of the second body (e.g. the Sun). Near the Earth, the rocket's trajectory will appear parabolic, but it will still be gravitationally bound to the second body and will enter an elliptical orbit around that body, with a similar orbital speed to the first body.

To escape the gravity of the second body once it has escaped the first body the rocket will need to be travelling at the escape velocity for the second body ($v_{e2}$ ) (at the orbital distance of the first body). However, when the rocket escapes the first body it will still have the same orbital speed around the second body that the first body has ($v_{o}$ ). So its excess velocity as it escapes the first body will need to be the difference between the orbital velocity and the escape velocity. With a circular orbit, escape velocity is $\sqrt{2}$ times the orbital speed. Thus the total escape velocity $v_{te}$ when leaving one body orbiting a second and seeking to escape them both is, under simplified assumptions:

$v_{te}=\sqrt{(v_{e2} - v_o)^2 + v_{e1}^2}$

В Википедии используется система отсчета X'Y'Z' где необходимая энергия равна сумме кинетической энергии ухода от Солнца с орбиты Земли (при отсутствии Земли) и кинетической энергии ухода от Земли. Формула $v_{te}=\sqrt{(v_{e2} - v_o)^2 + v_{e1}^2}, в обозначениях МИФИ $v_\text{min}=\sqrt{(\sqrt{2}v_0 - v_0)^2 + {v_{1}}^2} .Они получили ответ $v_\text{min} = 16,6 \text{km/sec}.

Расчет 3-й космической скорости № 3.
Попробовал применить этот метод для системы XYZ. При запуске корабля со 2-й космической скоростью его кинетическая энергия в системе XYZ $\tfrac{m(v_1+v_0)^2}{2}. Скорость корабля на бесконечности в системе X'Y'Z' 0 , в системе XYZ $v_0, энергия на бесконечности в системе XYZ $\tfrac{m(v_0)^2}{2}. Энергия, требующаяся для преодоления гравитационного поля Солнца, $G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} $. При этом у корабля на бесконечности будет лишняя энергия $\tfrac{m(v_0)^2}{2}. Отсюда закон сохранения:
$\tfrac{v^2}{2} = G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} + \tfrac{(v_1+v_0)^2}{2} - \tfrac{(v_0)^2}{2};
$v= \sqrt{2G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} + (v_1+v_0)^2 - (v_0)^2};
$v_\text{min}=v - v_0 = \sqrt{2G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} + (v_1+v_0)^2 - (v_0)^2} - v_0;
$v_\text{min}=20.8 \text{km/sec}.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
По сообщению в существующем его виде решительно невозможно понять, что с чем Вы сравниваете и в каком месте испытываете проблемы. Поэтому, пожалуйста, уберите все, что касается миль в секунду (в английском издании решение все равно отсутствует, так что угадывать, ошибка это или опечатка, попросту бессмысленно) и изложите собственное решение подробно. С комментариями, что и почему Вы делаете (поскольку "переход в систему отсчета, связанную с Солнцем" у Вас столь же непонятен).

И (заодно уж): постарайтесь не подставлять числа в выражения до появления окончательного ответа и пишите кинетические энергии в виде $\frac{m v^2}{2}$, а не $0.5 m v^2$. Разница, естественно, формально отсутствует, но мешанина из букв и цифр только дополнительно усложняет восприятие.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Pphantom]

В общем, давайте сначала просто разберемся с получением значения 3-й космической скорости (в общем-то удивительно "скользкая" тема сама по себе). Но только я сменю обозначения, Ваши удивительно неудобны.

Со 2-й космической (она же параболическая) для Земли, думаю, все ясно, она равна $v_\oplus_2 \approx 11\text{~км/с}$. Для достижения параболической гелиоцентрической скорости $v_\odot_2 \approx 42\text{~км/с}$ нужно к уже имеющейся орбитальной скорости Земли ($v_\odot_1 \approx 30\text{~км/с}$) добавить еще 12 км/с. Соответственно, на старте нужна удельная кинетическая энергия $v_\oplus_2^2/2$ для того, чтобы выбраться из сферы действия Земли и еще что-то, чтобы полететь дальше. Сейчас мы вылетели на круговую гелиоцентрическую орбиту и летим по ней с $v_\odot_1$. Для перехода на параболическую орбиту нужно потратить еще $(v_\odot_2 - v_\odot_1)^2/2$ удельной энергии (и это тоже в геоцентрической системе отсчета). Итого стартовая удельная энергия, которая нужна, $v_0^2/2$, равна сумме двух затраченных, и $v_0^2 = v_\oplus_2^2 + (v_\odot_2 - v_\odot_1)^2$, отсюда и получается 3-я космическая скорость $v_0=v_\oplus_3 = 16\text{~км/с}$.

Теперь займемся другим вопросом. С какой скоростью $\tilde v$ нужно лететь перпендикулярно направлению на Солнце относительно Солнца на 1 а.е. от него, чтобы на бесконечности получилась $v_\infty = 16\text{~км/с}$, требуемая по условию? Очевидно, сумма удельной кинетической энергии при скорости $\tilde v$ и потенциала на 1 а.е. должна равняться требуемой удельной кинетической энергии на бесконечности. Отсюда получаем, что $\tilde v^2 - v_\odot_2^2 = v_\infty^2$ (я сразу переписал потенциал через скорость и заодно умножил закон сохранения удельной энергии на 2). Если посчитать, получится, что $\tilde v \approx 45\text{~км/с}$. Но это означает, что по отношению к Земле нам надо донабрать не 12 км/с, как раньше, а 15 км/с. Вытаскиваем из запасов предыдущее решение для 3-й космической и подставляем в него нужную скорость относительно Солнца. Получаем $v_0^2 = v_\oplus_2^2 + (\tilde v - v_\odot_1)^2$, после подстановки чисел $v_0 \approx 19\text{~км/с}$, т.е. ответ Фейнмана.

Так понятнее?

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1250802 писал(а):

Для перехода на параболическую орбиту нужно потратить еще $(v_\odot_2 - v_\odot_1)^2/2$ удельной энергии (и это тоже в геоцентрической системе отсчета).

Разница скоростей возникла из-за перехода из одной системы в другую? Если да, то решение понятно. Но остается неясной причина разных ответов. Возмем Расчет 3-ей космической скорости №3. Ошибка в этом члене $\tfrac{m(v_1+v_0)^2}{2}$ , потому что $\tfrac{m(v_1+v_0)^2}{2} - G.\tfrac{M_\text{earth} m }{R_\text{earth}} \neq \tfrac{m(v_0)^2}{2}$? Тогда получается, что закон сохранения энергии работает только в какой-то одной системе. Но это сильно усложняет понимание.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1251032 писал(а):

Разница скоростей возникла из-за перехода из одной системы в другую?

Да.

Uchitel'_istorii в сообщении #1251032 писал(а):

Тогда получается, что закон сохранения энергии работает только в какой-то одной системе. Но это сильно усложняет понимание.

Закон сохранения энергии работает в обеих системах, однако полная механическая энергия зависит от выбора системы отсчета. В общем-то все эти задачи можно решить и более формальными методами, но придется аккуратно пользоваться теоремой Кенига.

Uchitel'_istorii в сообщении #1251032 писал(а):

Но остается неясной причина разных ответов.

А, это я уже писал:

Pphantom в сообщении #1250802 писал(а):

давайте сначала просто разберемся с получением значения 3-й космической скорости (в общем-то удивительно "скользкая" тема сама по себе).

Насчет "скользкости" я не преувеличивал - это и в самом деле весьма неудобное понятие. Его по традиции очень любят использовать, но, похоже, сравнительно малая часть народу четко понимает, что это такое и откуда оно берется.

[ludwig51]

Pphantom в сообщении #1250802 писал(а):

Теперь займемся другим вопросом. С какой скоростью $\tilde v$ нужно лететь перпендикулярно направлению на Солнце относительно Солнца на 1 а.е. от него, чтобы на бесконечности получилась $v_\infty = 16\text{~км/с}$, требуемая по условию?

Так понятнее?

Не всё понятно. Откуда взялась скорость $19 km/c$
При запуске ракеты с Земли в направлении орбитального движения.
Скорость ракеты относительно Земли $V_{3k}$.
Найдём эту скорость из ЗСЭ.
Орбитальная скорость Земли относительно Солнца $V_{erde}=30 km/c$
Вторая космическая скорость для Солнца от орбиты Земли $V_{2kS erde}=\sqrt2V_{erde}=42,403\,km/c$
Проверим эту скорость другим способом.
Запуск ракеты с Солнца по радиусу без возврата.
То есть поненциальная энергия должна быть равна нулю и скорость в бесконечности так же равна нулю:
Всё в системе Солнца.
$\frac{V_{2kS}^2}{2}-\frac{\gamma M_s}{R_s}=0$
$V_{2kS}=\sqrt{2\frac{\gamma M_s}{R_s}}$
Учитывая данные:
$\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,m^3/(kg s^2)$
$M_s=1,9904\cdot 10^{30}\,kg$
$R_s=0,7\cdot 10^{9}\,m$
Получим вторую космическую скорость при старте с Солнца:
$V_{2kS}=616 \,km/c$
Скорость при расстоянии h=1 а.е.
$V_{2kS erde}=\sqrt{2\frac{\gamma M_s}{R_s+h}}=42,03\,km/c$
Получили примерно такой же результат.
Скорость ракеты относительно Солнца в бесконечности равна нулю.
Теперь найдем нашу третью космическую скорость относительно пуска с Земли.
Эта скорость находится из условия, что скорость в бесконесности относительно Земли примерно $V_{r\infty }=42-30=12\, km/c$
Из ЗСЭ:
$\frac{V^2_{3k}}{2}-\frac{\gamma M_{erde}}{R_{erde}}=\frac{V^2_{r\infty }}{2}$
Считаем орбиту Земли круговой. То есть эксцентрицетом 0,02 пренебрегаем.
И в итоге получаем третью космическую скорость при старте с Земли в направлении орбитального движения Земли вокруг Солнца.
$V_{3k}=\sqrt{V^2_{2k}+V^2_{r\infty }}=16,4\,km/c$
Где $V^2_{2k}=\frac{2\gamma M_{erde}}{R_{erde}}$ квадрат второй космической скорость при старте с Земли.
Третья космическая скорость при старте с Земли в направлении противоположном орбитальному движению равна 73,3 км/с.

[Pphantom]

ludwig51 в сообщении #1251294 писал(а):

Не всё понятно. Откуда взялась скорость $19 km/c$

Это ответ на исходную задачу, а не вычисление 3-й космической скорости. Естественно, они отличаются.

P.S. И, да, если возможно, используйте, пожалуйста, для обозначений английский или русский языки. Это и по правилам форума требуется, и из общих соображений не лишнее. А то я практически совсем не знаю немецкий, но кое-как понимаю французский, так что обозначение $M_{erde}$ у меня вызывает не те ассоциации.

[ludwig51]

Pphantom в сообщении #1251323 писал(а):

И, да, если возможно, используйте, пожалуйста, для обозначений английский или русский языки.

Да, я перепутал немецкий с анлийским. Земля по немецки ERDE. На английском Earth.
У меня в формулах не распознаются русские буквы. Например $M_{земли}$
В формуле стоит M_{земли}

[StaticZero]

$$M_{\text{Земли}}$$

M_{\text{Земли}}

[ludwig51]

StaticZero в сообщении #1251496 писал(а):

$$M_{\text{Земли}}$$

M_{\text{Земли}}

Большое спасибо за подсказку. Теперь я могу и единицы измерений писать на русском.

[StaticZero]

(TeX)

ludwig51 в сообщении #1251516 писал(а):

Теперь я могу и единицы измерений писать на русском.

Конечно. Несмотря на то, что это очевидно, я осмелюсь сказать ещё вдобавок, как набирать "составные" единицы измерения:

$$ \dim \hbar = \text{Дж} \cdot \text{с} $$

\dim h = \text{Дж} \cdot \text{с}

$$ E = 3 \ \dfrac {\text{Вольт}}{\text{метр}} $$

E = 3 \ \dfrac {\text{В}}{\text{м}}

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1251061 писал(а):

пользоваться теоремой Кенига.

В задаче 10-7 есть формула:
$T = T_\text{CM} + \tfrac{1}{2}(m_1+m_2){V_\text{CM}}^2.
Пользуясь этой формулой (приняв $V_\text{CM} \approx v_\odot_1$ , $V_\text{earth in CM} \approx 0$), я нахожу кинетическую энергию системы "Земля - корабль" в гелиоцентрической системе :
$T = \tfrac{m(v_\oplus_3)^2}{2} + \tfrac{1}{2}(m+M_\text{earth})(v_\odot_1)^2.
Кинетическая энергия самого корабля:
$m\tfrac{(v_\oplus_3)^2+(v_\odot_1)^2}{2}. Это согласуется с тем фактом, что при запуске с $v_\oplus_2$ у корабля после преодоления гравитации Земли остается скорость в гелиоцентрической системе $v_\odot_1 $.
Закон сохранения в гелиоцентрической системе (учитывая пояснения Фейнмана в гл.13–3, где он рассматривает доставку 3-го тела из бесконечности в присутствии двух дгугих):
$m\tfrac{(v_\oplus_3)^2+(v_\odot_1)^2}{2} - G\tfrac{M_\text{sun}m}{R_\text{sun-earth}} - G\tfrac{M_\text{earth}m}{R_\text{earth}} = 0.
$v_\oplus_3 =\sqrt{2G\tfrac{M_\text{sun}}{R_\text{sun-earth}} + 2G\tfrac{M_\text{earth}}{R_\text{earth}} - (v_\odot_1)^2};
$v_\oplus_3 =31,9 \text{ km/sec}.

Pphantom в сообщении #1251061 писал(а):

А, это я уже писал:

Pphantom в сообщении #1250802 писал(а):

давайте сначала просто разберемся с получением значения 3-й космической скорости (в общем-то удивительно "скользкая" тема сама по себе).

Задача должна решаться несколькими способами в разных системах отсчета, и в физике ответ должен получаться одинаковый. Одно непротиворечивое решение никак не аннулирует другие. Меня беспокоит то, что залогом решения задачи становится не прочитанный материал, а нахождение некоего единственно верного способа или шага (в данном случае -- скорость, которую нужно донабрать), до которого додуматься нереально.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1251955 писал(а):

я нахожу кинетическую энергию системы "Земля - корабль" в гелиоцентрической системе :

А зачем Вам нужна кинетическая энергия Земли сама по себе?

Uchitel'_istorii в сообщении #1251955 писал(а):

Задача должна решаться несколькими способами в разных системах отсчета, и в физике ответ должен получаться одинаковый.

Совершенно верно. Однако никто не обещал, что все эти способы будут одинаково удобными.

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1252051 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1251955 писал(а):

я нахожу кинетическую энергию системы "Земля - корабль" в гелиоцентрической системе :

А зачем Вам нужна кинетическая энергия Земли сама по себе?

Энергия Земли мне не нужна (я считаю ее неизменной вследствие запуска корабля). Мне нужно правильно записать энергию корабля при переходе из одной системы в другую.