Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, задача 14.21 к вып. 1 (
djvu) (условие: стр. 47
png, решение МИФИ: стр. 202
png),
Цитата:
14.21. Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость
относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна
Английский текст:
14-21. With what minimum speed must an interstellar probe be launched from near the Earth's surface in order to escape from the solar system with a residual speed of
relative to the sun? The speed of the Earth in its orbit is
.
Ans.:
.
Задача была решена, ответ совпал с решением МИФИ, но не совпал с ответом Фейнмана. Начал проверять решение МИФИ через 3-ю космическую скорость -- оказалось, решение неверное. В итоге получилось 3 способа решения, и все они дали разные ответы. Не могу понять, где ошибка, т.к. все решения кажуться логически правильными.
Примем обозначения скоростей, как в решениях МИФИ:
- стартовая скорость (относительно Солнца);
- стартовая скорость (относительно Земли);
- остаточная скорость (относительно Солнца);
- 2-я космическая скорость для Земли;
- скорость Земли (относительно Солнца).
Пояснение о системах отсчета: Используются невращающаяся система координат XYZ, связанная с Солнцем, и параллельная ей система координат X'Y'Z', движущаяся относительно XYZ со скоростью Земли в начальный момент
(связанная с Землей в начальный момент). Что Фейнман подразумевает под "relative to the sun", а также как автор статьи в Википедии считает скорость относительно Земли, я сам не совсем понимаю. По всей видимости, они считают, что либо спутник улетает на бесконечность мгновенно, либо конфигурация солнечной системы совпадает с начальной, когда спутник оказывается на бесконечности.
Расчет 3-й космической скорости №1 (аналогично решению МИФИ).
согласно гл. 14-3, где Фейнман поясняет, что если энергии едва хватает, то ракета на бесконечности обладает нулевыми кинетической и потенциальной энергиями:
,
.
Корабль стартует с Земли в направлении вектора скорости Земли со скоростью
, поэтому модуль скорости корабля в системе XYZ
:
,
;
Закон сохранения энергии:
.
Получил ответ:
.
Далее я пытаюсь сверить ответ с известной 3-й космической скоростью. Если положить
, то
.
Расчет 3-й космической скорости №2 (словесный из Википедии).
(https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity#Multiple_bodies)
When escaping a compound system, such as a moon orbiting a planet or a planet orbiting a sun, a rocket that leaves at escape velocity
) for the first (orbiting) body, (e.g. Earth) will not travel to an infinite distance because it needs an even higher speed to escape gravity of the second body (e.g. the Sun). Near the Earth, the rocket's trajectory will appear parabolic, but it will still be gravitationally bound to the second body and will enter an elliptical orbit around that body, with a similar orbital speed to the first body.
To escape the gravity of the second body once it has escaped the first body the rocket will need to be travelling at the escape velocity for the second body (
) (at the orbital distance of the first body). However, when the rocket escapes the first body it will still have the same orbital speed around the second body that the first body has (
). So its excess velocity as it escapes the first body will need to be the difference between the orbital velocity and the escape velocity. With a circular orbit, escape velocity is
times the orbital speed. Thus the total escape velocity
when leaving one body orbiting a second and seeking to escape them both is, under simplified assumptions:
В
Википедии используется система отсчета X'Y'Z' где необходимая энергия равна сумме кинетической энергии ухода от Солнца с орбиты Земли (при отсутствии Земли) и кинетической энергии ухода от Земли. Формула
, в обозначениях МИФИ
.Они получили ответ
.
Расчет 3-й космической скорости № 3.
Попробовал применить этот метод для системы XYZ. При запуске корабля со 2-й космической скоростью его кинетическая энергия в системе XYZ
. Скорость корабля на бесконечности в системе X'Y'Z'
, в системе XYZ
, энергия на бесконечности в системе XYZ
. Энергия, требующаяся для преодоления гравитационного поля Солнца,
. При этом у корабля на бесконечности будет лишняя энергия
. Отсюда закон сохранения:
;
;
;
.