Написал учебник теории категорий

[Anton_Peplov]

Т.е. естественное преобразование - это не морфизм, а протоморфизм?

[george66]

Да. Функтор тоже. Начала и концы надо указывать отдельно.

[vpb]

Общепринятая позиция --- что естественное преобразование всегда считается данным вместе со своими началом и концом.
У преобразования $T$ из примера начало --- это $F^\times$, а конец $F^{1,2}$. Естественное преобразование --- это не просто коллекция стрелок $\{T_X\mid X\in{\mathcal C}\}$. В принципе, может быть, что $F,G,F',G': {\mathcal C} \longrightarrow {\mathcal D}$ --- четыре функтора, причем $F(X)=F'(X)$, $G(X)=G'(X)$ для каждого объекта $X\in\:{\rm Ob\,}{\mathcal C}$, а $T=\{T_X:F(X)\longrightarrow G(X)\mid X\in{\mathcal C}\}$ --- некоторая коллекция морфизмов в ${\mathcal D}$, причем являющаяся естественным преобразованием как между $F$ и $G$, так и между $F_1$ и $G_1$. Почему бы и нет? Правда, мне этакие примеры никогда не встречались. Короче, вполне аналогично тому, что отображения ${\mathbb Z}\longrightarrow {\mathbb Z}$ и ${\mathbb Z}\longrightarrow{\mathbb R}$, переводящие каждый элемент в нуль --- это таки разные функции.

[george66]

Тогда надо каждый раз объяснять "функтор -- это тройка (начало, что-то полезное, конец), естественное преобразование -- это тройка (начало, что-то полезное, конец)" и так далее. Не лучше ли объяснить схему один раз?

[vpb]

george66
Вы знаете, я привык к более традиционному способу изложения учения о категориях, при котором у всякого морфизма, функтора или естественного преобразования одно начало и один конец. Да и во всех книжках, вроде бы, так поступают
(во всяком случае раньше так было).

[george66]

Я же не сам придумал, а взял в книге Фрейда и Щедрова (двух очень больших авторитетов). Книжка, кстати, радикальная, я далеко не всё оттуда взял. Например, они доводят до ума язык диаграмм, но их вариант сложнее обычного и я, поразмыслив, решил не брать (хотя хотелось).

[vpb]

Ну, стало быть, я более-менее радикальных книжек не читал, да оно мне как-то и не надо... Да и как-то сил и времени на это нет. Вообще, я думаю, разным математикам, логикам и компьютерным ученым нужна разная теория категорий, а большинству вообще никакая, и ни по агрессивному невежеству, а просто не нужна для их задач. А некоторым иногда нужна.
Мне, например, бывает нужна и полезна, но так ... не шибко. В пределах элементарного. (Честно говоря, боюсь дальше развивать эту тему, а то тут та-акая ругня может начаться, хоть святых выноси. Было уже месяца два назад )

[Munin]

george66 в сообщении #1221340 писал(а):

Книжка, кстати, радикальная

А вот это хорошо ли? Лучше давать в учебнике нечто общепринятое, консенсус. Или предупреждать о разных вариантах (в физике рассказывают о разных системах единиц, о соглашениях выбора знака). А вы берёте за основу нечто необщепринятое, и не предупреждаете об этом читателя.

[george66]

Консенсус был такой: теорию категорий у нас никто не знает. Маленький кусочек знают алгебраисты, обо всём остальном есть книжка Голдблатта, по которой учиться невозможно. Учился я по книгам Фрейда-Щедрова и Ламбека-Скотта, обе книжки довольно трудные для чтения (особенно Фрейда-Щедрова). Всё заново пришлось делать, азбуку писать.

[Anton_Peplov]

Возьмем два функтора $F_1: \mathcal {C \to D}$ и $F_2: \mathcal {C \to D}$. Правильно ли я понимаю, что, в зависимости от того, что это за функторы и что за категории, может оказаться, что естественных преобразований $F_1 \to F_2$
1) ровно одно;
2) более одного;
3) ни одного?

В частности, последний вариант возможен, когда для некоторого объекта $X \in Ob(\mathcal C)$:
3.1) в категории $\mathcal D$ нет ни одной стрелки $F_1(X) \to F_2(X)$;
3.2) стрелки $F_1(X) \to F_2(X)$ есть, но ни одна из них не обеспечивает коммутативности известной диаграммы.

[george66]

Да, всё правильно. Аналогично, между двумя множествами может быть ровно одна функция, более одной, ни одной, примерно по тем же причинам.

[пианист]

george66 в сообщении #1221538 писал(а):

есть книжка Голдблатта, по которой учиться невозможно

Почему невозможно? Там нет нужного?
На первый взгляд, вполне читабельно..
И еще вопрос: а в лекциях Манина по алгебраической геометрии, в первом томе есть по категориям - это годное чтение?

[george66]

В книжке Голдблатта много интересного, но написана она на редкость бестолково и как учебник, на мой взгляд, не годится. Если уже что-то знать, её можно читать с удовольствием. Лекции Манина не помню, помню книжку Манина-Гельфанда (сам Манин мне её рекомендовал на вопрос, что почитать, хочу похвастать). Но там на нескольких страницах излагается теория категорий, после чего переходят к изучению любимых гомотопий, и так во всех алгебраических книгах. Алгебраистам интересны категории, похожие на категорию групп или линейных пространств. Про категории, похожие на Set (декартово замкнутые, топосы), про объекты натуральных чисел, про связь с логикой и программированием они не знают.

[mathematics_fan]

Читали Lawvere, Schanuel "Conceptual Mathematics. A First Introduction to Categories" ? Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий, относительно свежий (1997), от одного из лидеров в чистой теории категорий (Ловер), написанный простым языком для интуитивного понимания идей теории категорий.

[grizzly]

(mathematics_fan)

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):

Читали Lawvere, Schanuel "Conceptual Mathematics. A First Introduction to Categories" ?

Вы как раз успели попасть в десятку посоветовавших эту книгу на форуме Она упоминается в большинстве разделов и во многих списках литературы, рекомендованных на форуме.