Теорема антикосинусов

[shwedka]

Yarkin
По соглашению
посторонние высказывания игнорируются.
я жду ответа


Я призываю всех хранить молчание.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Во-первых я возражаю против использование слова "несуществующего " (треугольника). Давайте употреблять общепринятый термин "вырожденый треугольник". Согласны??? Если же Вы настаиваете на использовании именно этого термина, хотелось бы иметь точное определение, какие треугольники называются несуществующими, что такое их стороны, вершины, углы... Иначе непонятно, что Вы имеете в виду.

Я использую термин несуществующий, как противоположный термину существующий. Словосочетание «вырожденный треугольник» я у С. И. Новоселова не встречал. Кроме этого слово «вырождение» связано с предельным переходом. Понятно, когда говорят, что прямая вырождается в точку. Но при этом не говорят «вырожденная прямая». Если Вы укажите определение этого понятия. То я согласен с этим предложением. Привожу также теорему существования треугольника из С. И. Новоселова.
Теорема Если для шести величин $a, b, c, A, B, C$, удовлетворяющих условиям:

$$ 1^0. a > 0, b > 0, c > 0; 2^0. 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi, $$

Выполняется какая-либо одна из систем соотношений (теорема синусов, теорема прекций или теорема косинусов), то существует единственный треугольник стороны которого суть $a, b, c$, а противолежащие им углы $A, B, C$ (соответственно). Здесь, при нарушении условий теоремы, больше подходит словосочетание треугольник с такими сторонами и углами не существует.

shwedka писал(а):

Предлагаю обозначить вырожденый треугольник со сторонами $a^2,b^2,c^2$ через $S$, в отличие от треугольника со сторонами $a,b,c$,
который мы в зафиксированном тексте обозначили $T$. Поскольку у нас в рассмотрении теперь два треугольника, полезно дать им разные имена, чтобы различать.
Есть возражения против такого обозначения? Если есть возражения, приведите их.

Согласен.

shwedka писал(а):

Во вторых, я возражаю против использования символов $A,B,C$ для обозначения углов вырожденого треугольника $S$. Эти символы уже прочно заняты обозначением углов треугольника $T$. Если у Вас есть весомые причины использовать одни и те же символы для обозначения углов треугольников
$S$ и $T$, то огласите их, пожалуйста. Конечно, если Вы докажете, что соответствующие углы треугольников $S$ и $T$ равны, я немедленно свое возражение сниму.

Кроме теоремы косинусов, я ничего не использовал. Какие углы там написаны, я их и писал. Поэтому, если я напишу разные углы у треугольников $T$ и $S$, то это, по крайней мере, надо оговаривать или допускать.

shwedka писал(а):

Я не цепляюсь (пока) к перепутыванию понятий 'вершина треугольника' и 'угол треугольника'. Все же это разнородные об'екты. Но сейчас различие не очень важно.

Вершины и углы треугольника принято обозначать одними и теми же буквами. Согласен, что объекты разнородные, но расположение вершины совпадает с началом соответствующего угла.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

Yarkin
По соглашению
посторонние высказывания игнорируются.
я жду ответа

В игнорировании высказываний Yarkin преуспел.
Лучше всего, качественнее всего и художественнее всего он игнорирует Ваши, shwedka, высказывания.
Нескончаемые аплодисменты.

[shwedka]

Yarkin
Термин 'вырожденный' употреблял Yarkin
31 марта и далее.
определения несуществующего треугольника Yarkin
не дал. Предлагаю использовать термин "вырожденный треугольник" для обозначения фигуры, образованной тремя отрезками, лежащими на одной прямой, точно так, как в Yarkinском примере.

Цитата:

Кроме теоремы косинусов, я ничего не использовал. Какие углы там написаны, я их и писал. Поэтому, если я напишу разные углы у треугольников $T$ и $S$, то это, по крайней мере, надо оговаривать или допускать.

Совершенно неверно. Прочитайте внимательно формулировку теоремы косинусов в вашем источнике. в теореме или до нее написамы слова типа 'обозначим углы через$A,B,C$.' при другом обозначении формулы выглядят по-иному. но смысл нре меняется.

Вы требуете, чтобы всегда в теореме косинусов углы обозначались $A,B,C$ ??
Обоснуйте!!!
По крайней мере,
Yarkin
использовал в теореме косинусов и другие обозначения углов 11 апреля.

Цитата:

Поэтому, если я напишу разные углы у треугольников $T$ и $S$, то это, по крайней мере, надо оговаривать или допускать.

Если в рассмотрении имеются несколько однородных об'ектов, то в матеметике принято им давать разные обозначения, до тех пор, пока не доказано, что они равны.

Если Вы настаиваете на том, что углы треугольников $T,S$ можно обозначать одними и теми же буквами, я считаю противоречие фундаментальным и прошу Stilda высказать свое мнение.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Предлагаю использовать термин "вырожденный треугольник" для обозначения фигуры, образованной тремя отрезками, лежащими на одной прямой, точно так, как в Yarkinском примере.

Согласен.

shwedka писал(а):

Совершенно неверно. Прочитайте внимательно формулировку теоремы косинусов в вашем источнике. в теореме или до нее написамы слова типа 'обозначим углы через$A,B,C$.' при другом обозначении формулы выглядят по-иному. но смысл нре меняется.

Вы требуете, чтобы всегда в теореме косинусов углы обозначались $A,B,C$ ??
Обоснуйте!!!

Наверно это не принципиально.

shwedka писал(а):

Если в рассмотрении имеются несколько однородных об'ектов, то в матеметике принято им давать разные обозначения, до тех пор, пока не доказано, что они равны.
Если Вы настаиваете на том, что углы треугольников $T,S$ можно обозначать одними и теми же буквами, я считаю противоречие фундаментальным и прошу Stilda высказать свое мнение.

Не настаиваю. Но мнение Stilda интересно. Если противоречия устранены, то вернемся к доказательству.

[shwedka]

Прекрасно. Тогда предлагаю обозначить стороны вырожденного треугольника $S$ через $u=a^2, v=b^2,w=c^2$, а противолежащие углы через $U,V,W$.

Пожалуйста, если нет возражений против обозначений, продолжайте рассуждение с окончания фиксированного текста.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Прекрасно. Тогда предлагаю обозначить стороны вырожденного треугольника $S$ через $u=a^2, v=b^2,w=c^2$, а противолежащие углы через $U,V,W$.

Пожалуйста, если нет возражений против обозначений, продолжайте рассуждение с окончания фиксированного текста.

Возражений нет. Идем дальше. 1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношения (1) и (6) перепишутся соответственно в виде:

$$ u + v = w \eqno (8) $$

И

$$ u + v > w \eqno (9) $$

Условие существования любого треугольника для его сторон может нарушаться одновременно с нарушениями условий для его углов (по определению вырожденного треугольника) и наоборот. Определим это условие для треугольника $T$. Полагая $\angle C = \pi, \angle A = \angle B = 0$, получим из всех трех соотношений (2):

$$ a + b = c. \eqno (10) $$

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Определим это условие для треугольника $T$. Полагая $\angle C = \pi, \angle A = \angle B = 0$, получим из всех трех соотношений (2):

$$ a + b = c. \eqno (10) $$

На каком основании вы так полагаете?? Условия существования треугольника $T$ у вас не нарушаются. По крайней мере Вы этого не показали. Только для треугольника $S$ условия существования нарушены.
Иными словами, Вы уже определили значение угла $C$ и у вас нет свободы по своему желанию изменять его значение.

Добавлено спустя 2 часа 36 минут 55 секунд:

Еще подробнее. Вы сделали предположение о существовании треугольника Т, имея в виду привести это предположение к противоречию. Из предположения Вы вывели, что угол $C$ равен $\pi/2$.Вы теперь этим результатом связаны, не имеете права по своему желанию придавать этому углу другое значение. другое дело, если окажется, что другое значение для угла выводится из каких-то раззуждений, но такие рассуждения нужно \привести, чего Вы по своему обыкновению не делаете

[STilda]

Мое мнение: углы треугольников $S,T$ должно обозначить разными буквами, как вы и сделали.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin

Цитата:

Определим это условие для треугольника $T$. Полагая $\angle C = \pi, \angle A = \angle B = 0$, получим из всех трех соотношений (2):

$$ a + b = c. \eqno (10) $$

На каком основании вы так полагаете?? Условия существования треугольника $T$ у вас не нарушаются. По крайней мере Вы этого не показали. Только для треугольника $S$ условия существования нарушены.
Иными словами, Вы уже определили значение угла $C$ и у вас нет свободы по своему желанию изменять его значение.

Согласен с Вашими замечаниям. Давайте зафиксируем то, на что у Вас замечаний нет:
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$.

[shwedka]

Полностью согласна. Фиксируем

Цитата:

1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Полностью согласна. Фиксируем

Цитата:

1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$.

Но, по допущению, длинами сторон являются элементы $a, b, c$ треугольника $T$. Если этот факт считать противоречием, то доказательство этого пункта можно считать законченным.
Допустим, что это обстоятельство не является противоречием.

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Но, по допущению, длинами сторон являются элементы $a, b, c$ треугольника $T$. Если этот факт считать противоречием, то доказательство этого пункта можно считать законченным.
Допустим, что это обстоятельство не является противоречием.

По допущению, длинами сторон треугольника Т являются $a, b, c$. Заметили разницу? Нет абстрактно длин сторон. Есть длины сторон треугольника, многоугольника и тп

Не пред'явлено противоречия с тем, что у треугольника $S$ другие длины сторон. Так что 'считать' или 'не считать' противоречием Вы не имеете права.

Указанные выше свойства сторон треугольников НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПРОТИВОРЕЧИЯМИ, пока не доказано, что они являются противоречиями.

Понимаете разницу:
Если доказано, что есть противоречие, то оно есть. Это-категория абсолютная. Навсегда.
Если не доказано, что есть противоречие, то его нет -- но, возможно, временно, пока доказательство противоречия не пред'явлено. А тогда
противоречие появляется.

есть еще и третий вариант, ДОКАЗАТЬ, что противоречие никогда не появится. Трудно, но иногда возможно.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Указанные выше свойства сторон треугольников НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПРОТИВОРЕЧИЯМИ, пока не доказано, что они являются противоречиями.

Спасибо за подробную информацию. Предлагаю другой вариант продолжения доказательства.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$. Аналогично, для треугольника $T$ с прямым $\angle C$ должны существовать такие значения углов $A$ и $B$ при которых второе и третье соотношения из группы (2), обратились бы в соотношение (1).

[shwedka]

Цитата:

Аналогично, для треугольника $T$ с прямым $\angle C$ должны существовать такие значения углов $A$ и $B$ при которых второе и третье соотношения из группы (2), обратились бы в соотношение (1).

Совершенно верно.
эти углы определены равенствами (4), которые Вы предположили выполненными и пытаетесь довести до противоречия.