2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.
 
 
Сообщение14.05.2008, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin
Цитата:
Из определения элемента $n$ - го измерения следует, что он не может быть отрицательным.

повторяю определение

Цитата:
“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией$n$-го измерения от
длин сторон.


Объясните, как отсюда следует запрет отрицательности элемента треугольника (не $n$, а элемента), или как в моем примере, запрет элементу треугольника менять знзк.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2008, 16:40 


16/03/07

823
Tashkent
shwedka писал(а):
Yarkin
Цитата:
Из определения элемента $n$ - го измерения следует, что он не может быть отрицательным.

повторяю определение

Цитата:
“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией$n$-го измерения от
длин сторон.


Объясните, как отсюда следует запрет отрицательности элемента треугольника (не $n$, а элемента), или как в моем примере, запрет элементу треугольника менять знзк.
    Требование положительности. Причем это естественное требование. Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность нового элемента, а потому должна быть положительной. В чем я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2008, 16:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Определение положительно-однородной функции см. в Википедии.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D1%8F

Это не значит, что функция принимает положительные значения. Значения могут быть любыми.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2008, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сообщение удалено по требованию участника, руководящего дискуссией.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2008, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin
Цитата:
Требование положительности. Причем это естественное требование. Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность нового элемента, а потому должна быть положительной. В чем я ошибаюсь?

Цитата:
должна

Это нужно доказать.
Мы занимаемся серьезными вещами. У нас есть определение элемента треугольника, взятое у Новоселова. Нигде не написано, это это размер.
Цитата:
Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность

У Вас размер и размерность-одно и то же или разные вещи?? Определения размера не было.п.4
Не употребляйте неопределенные понятия.

Покажите, как определение запрещает мой пример.
Выведите положительность из определения. Или введите в определения. Тогда обсудим.


Естественные требования естественны для одного и неестественны для другого. Ими пользоваться нельзя, пока они не формализованы.



Тут многие стали вмешиваться. По нашей договоренности, прошу игнорировать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin
Я предлагаю отложить обсуждение дополнения об элементе треугольнка, возведенном в степень $1/n$ и вопроса о положительности, зафиксировать текст и перейти к доказательству. Если дополнение понадобится, мы к нему вернемся.

Итак, предлагаю зафиксировать следующий текст.

---------------------------------------------------------------------------------------------
Часть 1. Определения.

“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”


“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от
длин сторон треугольника. Если, например, длины сторон рассматриваемого треугольника обозначены через $a, b$ и $c$, а противолежащие
углы треугольника через $A, B, C$, то
выражение:
$$ F(a, b, c, A, B, C), $$
составленное из основных элементов треугольника, является элементом $n$-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:
$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Это означает, что при переходе от данного треугольника к подобному, с коэффициентом пропорциональности сторон $k>0$, значение элемента треугольника умножается на $k^n$.
Вместо слова 'измерение' допустимо употреблять слово 'размерность', имеющее абсолютно тот же смысл.
В частности, элементы треугольника нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Их можно понимать как элементы треугольника, зависящие только от углов и не зависящие от сторон треугольника.
Элементы треугольника первого измерения называются линейными элементами треугольника.”

“Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на
$2R\sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$ где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель $2R$, то получим:
$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$
Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент треугольника; будем называть его угловым
элементом треугольника, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу треугольника $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:
$$ L = 2R U(L). \eqno (D2) $$

Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению
$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$
Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов
$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$
с условиями для углов
$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$
Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо
$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$
либо
$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),
--------------------------------------------------------------------------
Я ввела обозначение $T$ для обсуждаемого треугольника, чтобы иметь всегда возможность указать, к какому треугольнику относятся рассуждения.
Подтвердите согласие. Тогда продолжим обсуждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 14:09 
Заблокирован


26/01/06

302
Ростов на Дону
Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
ljubarcev писал(а):
Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

Вы поддерживаете стиль Яркина, так что может быть он и поймёт о каком треугольнике Вы спрашиваете, а я, хоть убейте, не понимаю какое отношение числовое равенство (даже верное как в данном случае) имеет к заданию треугольника?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 17:52 


16/03/07

823
Tashkent
shwedka писал(а):
Я ввела обозначение для обсуждаемого треугольника, чтобы иметь всегда возможность указать, к какому треугольнику относятся рассуждения.
Подтвердите согласие. Тогда продолжим обсуждение.

    Я хотел уже процитировать весь 59 параграф, включив туда и две теоремы с следствиями. Но это Ваше сообщение все меняет. Я полностью согласен с зафиксированным.

Добавлено спустя 14 минут 53 секунды:

bot писал(а):
ljubarcev писал(а):
Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

Вы поддерживаете стиль Яркина, так что может быть он и поймёт о каком треугольнике Вы спрашиваете, а я, хоть убейте, не понимаю какое отношение числовое равенство (даже верное как в данном случае) имеет к заданию треугольника?

    По вопросу видно, что ljubarcev не поддерживает мой стиль - мы идем разными путями. Единственное, что можно заключить из данного числового соотношения - не существует треугольника со сторонами $24^2, 7^2, 25^2$, так как нарушено основное условие для сторон $24^2 + 7^2 > 25^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Цитата:
Часть 1. Определения.

“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”


“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от
длин сторон треугольника. Если, например, длины сторон рассматриваемого треугольника обозначены через $a, b$ и $c$, а противолежащие
углы треугольника через $A, B, C$, то
выражение:
$$ F(a, b, c, A, B, C), $$
составленное из основных элементов треугольника, является элементом $n$-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:
$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Это означает, что при переходе от данного треугольника к подобному, с коэффициентом пропорциональности сторон $k>0$, значение элемента треугольника умножается на $k^n$.
Вместо слова 'измерение' допустимо употреблять слово 'размерность', имеющее абсолютно тот же смысл.
В частности, элементы треугольника нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Их можно понимать как элементы треугольника, зависящие только от углов и не зависящие от сторон треугольника.
Элементы треугольника первого измерения называются линейными элементами треугольника.”

“Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на
$2R\sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$ где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель $2R$, то получим:
$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$
Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент треугольника; будем называть его угловым
элементом треугольника, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу треугольника $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:
$$ L = 2R U(L). \eqno (D2) $$

Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению
$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$
Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов
$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$
с условиями для углов
$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$
Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо
$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$
либо
$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),
зафиксированный текст

Продолжаем
Цитата:
где элементами первого измерения являются ,

В зафиксированном тексте нет определения элементов первого измерения в соотношении. Есть только элементы первого измерения треугольника.

п.4 Использование неопределенного понятия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2008, 20:48 
Экс-модератор


17/06/06
5004
По-моему, очень неплохо получается! :)
В смысле система работает.

Со стороны, по крайней мере.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.05.2008, 07:39 


16/03/07

823
Tashkent
AD писал(а):
По-моему, очень неплохо получается! :)
В смысле система работает.

Со стороны, по крайней мере.

    И Вы один из организаторов. Спасибо.

Добавлено спустя 27 минут 23 секунды:

shwedka писал(а):
Продолжаем

    Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
    соотношению
    $$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$
    Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов
    $$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$
    с условиями для углов
    $$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$
    Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо
    $$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$
    либо
    $$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$
    Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
    1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл). Остается только один путь – признать длинами сторон элементы, записанные в форме $a^2,  b^2, c^2$. Действительно, из соотношения (1) следует, что для элементов $a^2,  b^2, c^2$ нарушено основное условие существования треугольника
    $$
a^2 + b^2 > c^2
$$
    Но это противоречит, допущению, что элементы $a, b, c$ являются длинами сторон.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.05.2008, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin
Цитата:
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл).

Вы не обосновали необходимость
Цитата:
Вновь делать
хоть какое-нибудь допущение,
пока (4) не приведено к противоречию.

Что Вы вкладываете в слова
Цитата:
не имеет смысла
?
1.не дает новой информации
2.ведет к ошибке
3.не нужно
4. (Ваша версия)

(Здесь (пока) не идет речь о математическом определении, но хотя бы на бытовом уровне, чтобы все могли одинаково понимать, что имеется в виду.)

Вы не обосновали, почему возможность неограниченнного повторения одного и того же рассуждения с одними и теми же числами (бесконечный цикл) влечет ошибочность рассуждения и требует изменения допущений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.05.2008, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Паниковский, посланный с деньгами на пристань за билетами, вернулся через два часа пьяным, без билетов и без денег.
Яркин, за противоречиями, пока не вернулся. :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 06:45 


16/03/07

823
Tashkent
shwedka писал(а):
Yarkin
Цитата:
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл).

Вы не обосновали необходимость
Цитата:
Вновь делать
хоть какое-нибудь допущение,
пока (4) не приведено к противоречию.

Что Вы вкладываете в слова
Цитата:
не имеет смысла
?
1.не дает новой информации
2.ведет к ошибке
3.не нужно
4. (Ваша версия)

(Здесь (пока) не идет речь о математическом определении, но хотя бы на бытовом уровне, чтобы все могли одинаково понимать, что имеется в виду.)

Вы не обосновали, почему возможность неограниченного повторения одного и того же рассуждения с одними и теми же числами (бесконечный цикл) влечет ошибочность рассуждения и требует изменения допущений.

    Согласен с замечаниями. Наиболее подходит первый пункт. Очевидно, что теория бесконечного цикла в доказательстве не разработана. Но, вероятно, принятого допущения недостаточно, чтобы выйти из этого бесконечного цикла. Следовательно, на каком-то этапе, надо сделать дополнительное допущение. Предлагаю следующий вариант:
    1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла - образуется бесконечный цикл в доказательстве без получения новой информации. На каком-то этапе, для выхода из бесполезного цикла, надо сделать дополнительное допущение: Размерности элементов $a^2,  b^2, c^2$ и $a, b, c$ либо совпадают, либо разные. Но в первом случае приходим к противоречию с допущением. Поэтому, рассмотрим случай, когда их размерности не совпадают.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 191 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group