Просьба. Учебник по теории множеств.

[grizzly]

Жаль, эту тему закрыли. Там всего 3 страницы холиваров. Теперь придётся всё заново здесь повторить.

[Vitte]

grizzly

Вопрос не в разжигании войны противников и сторонников причисления ноля к натуральным числам. Мне, как человеку, начинающему изучение теории множеств было интересно, какие "математические последствия" в рамках данной дисциплины имеет утверждение, что $0 \in $$\mathbb{N}$

Ответ я получил чёткий - никаких. Это исключительно вопрос удобства.

[Anton_Peplov]

Vitte в сообщении #1215404 писал(а):

какие "математические последствия" в рамках данной дисциплины имеет утверждение, что $0 \in \mathbb N$

В наивной теории множеств - вообще никаких. В теории чисел причисление или непричисление нуля к натуральным числам меняет формулировки некоторых теорем. Например, если $0 \in \mathbb N$, то теорему Лагранжа можно сформулировать так: каждое натуральное число представимо в виде суммы квадратов четырех натуральных чисел. Если $0 \notin \mathbb N$, то придется говорить "каждое натуральное число представимо в виде суммы квадратов четырех целых чисел", или же "каждое натуральное число представимо в виде суммы квадратов четырех или менее натуральных чисел". С другой стороны, если $0 \notin \mathbb N$, можно говорить, что рациональное число - это отношение целого числа к натуральному, а если $0 \in \mathbb N$, придется добавлять "отличному от нуля".
В общем, ясно, что такие переформулировки никаких неудобств не доставляют, и спор, какая из них красивее - спор о том, какое зеркало более гладкое. Все зеркала гладкие, отличия без микроскопа не разглядишь.

Отмечу, что это далеко не единственный случай разночтений в математической терминологии. То же самое наблюдается в общей топологии (определение окрестности, формулировки аксиом отделимости), алгебре (например, определение кольца, от которого то требуют коммутативности и/или ассоциативности, а то нет) и еще черт знает где. Привыкайте.

[Vitte]

Anton_Peplov в сообщении #1215408 писал(а):

Отмечу, что это далеко не единственный случай разночтений в математической терминологии. То же самое наблюдается в общей топологии (определение окрестности, формулировки аксиом отделимости), алгебре (например, определение кольца, от которого то требуют коммутативности и/или ассоциативности, а то нет) и еще черт знает где. Привыкайте.

Проблема разночтения исчезает тогда, когда появляется чёткое понимание предмета изучения, до чего пока очень далеко. Буду ориентироваться на то, что есть, и по мере продвижения задавать возникающие вопросы. Основная трудность сейчас начать мыслить категориями множеств. И я пока не нашёл литературы, где это достаточно хорошо представлено.

[Anton_Peplov]

Vitte в сообщении #1215414 писал(а):

Пока есть трудности в перестройке на "мыслить множествами".

Я тут рекомендации давал.

Anton_Peplov в сообщении #1215040 писал(а):

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Когда я говорил о непонимании, то имел в виду непонимание в широком смысле. Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет.

Мне знакомо это ощущение. Я бы описал его так. Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не шахматы. Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.
Именно это я сам чувствую в некоторых вопросах даже того же матана. Почему инвариантна форма только первого дифференциала, а не второго и так далее? Почему для дифференцируемости функции двух переменных недостаточно существования частных производных, а требуется еще их непрерывность? Я могу проследить доказательства доказанного и опровержения опровергнутого. Что там могу – я давно сделал это. Я согласен, что ходы сделаны по правилам. Но черт, я – не – понимаю – что – происходит!
Трудность в том, что "понимаю" - это ощущение, как добиться ощущения - вопрос неформализуемый. Я придумал следующие рецепты:

1. Выяснить геометрический/физический смысл. Например, я долго не понимал, что такое определитель. Выяснилось, что определитель - это (снабженный знаком) объем параллелепипеда, натянутого на вектора, координаты которых заданы матрицей (UPD: в $\mathbb R^n$, а то тут некоторые придираются). Выяснять можно из учебников или задавая вопросы.

2. Просто попросить мотивировать определение. Откуда оно такое взялось и почему именно такое? Я так делал с определением размерности в общей топологии. Понял, не жалуюсь.

3. Конкретизировать свои вопросы. Допустим у меня нет ощущения, что я до конца понимаю, что такое производная. Придумаем конкретный вопрос про производную, ответа на который я не знаю. Для начала - правда ли, что производную можно заменить пределом средней скорости? Оказалось, что можно, если у функции нет устранимого разрыва. Что еще мне непонятно? Ну, допустим, кое-что про бесконечную производную (этот вопрос я не буду формулировать здесь, задам в соответствующей теме в свое время). Чем больше таких вопросов (главное - математически точных, на уровне "доказать или опровергнуть"), тем лучше. Глядишь, со всех сторон понятие обсосешь, ощущение понимания и появится.

4. Порешать задачи на доказательство. Обычно, когда чего-то не понимаешь, но не можешь выразить, чего именно, это непонимание выливается в конкретные затруднения при доказательствах. И тогда в ПРР можно задать вопрос "как доказать, что", слушать, что тебе подсказывают, и пошагово разбираться. Помогает.

5. Забить. Если не помогло ничего из вышеперечисленного, не исключено, что голову просто глючит, и никакого мистического "понимания", кроме того, которым ты уже обладаешь, не существует. В конце концов, математика - штука для человека новая в эволюционном масштабе времени, и никто не сказал, что все математические понятия должны быть для нашего разума так же легки и естественны, как "если уронить банан, он упадет". С другой стороны, и в самых естественных вещах можно при определенном настрое пытаться найти "скрытый смысл". Трудно ответить на вопрос, почему $2 + 2 = 4$ иначе, чем "по определению". Некоторые личности с философским складом ума всю жизнь медитируют на формулу $0 = 0$, но это не значит, что стоит уподобляться. Так можно всю жизнь гоняться за призраком.

[kp9r4d]

Vitte
Я всё же опять встряну. Если про анализ и алгебру можно спорить (хотя нельзя, на самом деле), то в контексте теории множеств уж точно ни у кого не может быть сомнений, что $0 \in \mathbb{N}$.

[Vitte]

kp9r4d
Вопрос был не в этом, а в том, меняет ли это что-то. На моём уровне - нет.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1215408 писал(а):

С другой стороны, если $0 \notin \mathbb N$, можно говорить, что рациональное число - это отношение целого числа к натуральному, а если $0 \in \mathbb N$, придется добавлять "отличному от нуля".

Это плохой пример, в общей конструкции - построения поля частных по области целостности - вы от слов "отличному от 0" никуда не денетесь всё равно, так что причина несократимости формулировки тут существенна, а принимать другое определение натуральных чтобы в частном случае её сократить - это как раз костыль.

Кстати, отвечая на ваш пример про месяца и пальцы, тут надо поменять причину и следствие местами. Математически на самом деле естественно считать большой палец нулевым, а мизинец четвёртым, просто когда язык складывался люди ещё ничего о нуле не знали (или знали, но боялись использовать), поэтому тут никакой неестественности не возникает.

Vitte
Меняет то, что у вас теперь "конечные ка/ординалы" и "натуральные числа" это разные сущности.

[Anton_Peplov]

Понятно. Мы с Вами по-разному понимаем слово "естественный".

[Someone]

Xaositect в сообщении #1215124 писал(а):

Someone в сообщении #1215119 писал(а):

Мне почему-то припоминается противоположное утверждение: сильнее, но ненамного. "Ненамного" в том смысле, что ZFC + аксиома существования сильно недостижимого кардинала может определить модель NBG.

Нет, не сильнее, в смысле NBG консервативна над ZFC. Для того, чтобы построить модель ZFC тоже ведь нужен недостижимый кардинал

Пускай NBG консервативна над ZFC в том смысле, что все утверждения, касающиеся исключительно множеств, одинаково доказуемы или недоказуемы в обеих теориях. Но для определения модели ZFC в NBG никаких дополнительных гипотез не требуется.

[Xaositect]

Someone в сообщении #1215437 писал(а):

Но для определения модели ZFC в NBG никаких дополнительных гипотез не требуется.

Модель-класс и модель-множество это все-таки немного разные объекты.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1215435 писал(а):

Понятно. Мы с Вами по-разному понимаем слово "естественный".

3b1b в a tau day sonnet писал(а):

One might object: "Conventions matter not!
Great formulae casts truth transcending names"
I've noticed, though, how language molds my thoughts;
the natural terms make heart and head the same

^^

[Someone]

Vitte в сообщении #1215357 писал(а):

Господа, я снова встрял. В некоторых учебниках считается, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел, в некоторых нет. Как с этим быть, и какой литературе верить?

Как Вам удобнее, так и считайте. Удобно Вам, чтобы $0$ был натуральным числом — пусть будет. Неудобно — пусть не будет. В теории множеств удобно считать $0$ натуральным числом. Хотя можно и не считать, а просто говорить "конечные ординалы", которые в любом случае начинаются с $0$, а в остальном совпадают с натуральными числами. В арифметике Пеано, по большому счёту, без разницы, считать $0$ натуральным числом или не считать. Для младших школьников, безусловно, удобнее для начала обойтись без нуля, а ввести его потом, вместе с отрицательными числами.

Даже скажу больше: если Вам удобно, чтобы число $-100500$ было натуральным — считайте его натуральным. Только своих собеседников об этом предупреждайте, чтобы они не пугались.

Xaositect в сообщении #1215439 писал(а):

Модель-класс и модель-множество это все-таки немного разные объекты.

В NBG класс — первичное понятие, чего уж его пугаться.

Vitte в сообщении #1215414 писал(а):

Проблема разночтения исчезает тогда, когда появляется чёткое понимание предмета изучения

Ничуть не бывало. Разночтения появляются потому, что в математике каждый имеет право вводить собственные определения и обозначения, нисколько не заботясь о том, что термин уже занят.

grizzly в сообщении #1215398 писал(а):

Жаль, эту тему закрыли. Там всего 3 страницы холиваров. Теперь придётся всё заново здесь повторить.

И главное, все эти холивары абсолютно бессмысленны.

[kp9r4d]

Someone в сообщении #1215445 писал(а):

И главное, все эти холивары абсолютно бессмысленны.

Компактификация утверждений, формулировок и формул за счёт удачного выбора определений - одна из самых осмысленных частей математематической деятельности, imho.

[Someone]

kp9r4d в сообщении #1215446 писал(а):

Компактификация утверждений, формулировок и формул за счёт удачного выбора определений - одна из самых осмысленных частей математематической деятельности, imho.

По моим наблюдениям, практически не существует определений и обозначений, которые устраивают всех и всегда. Исключения очень редки. Поэтому и воевать по их поводу не следует.