2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4277
Здесь я буду задавать наивные вопросы о производной функции $f: A \subset \mathbb R \to \mathbb R$. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Производная и средняя скорость.

Назовем средней скоростью изменения функции на отрезке $[a, b]$ величину $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Очень хочется доказать такую теоремку.

Пусть функция $f$ дифференцируема во внутренней точке своей области определения $c$. Рассмотрим последовательность $\{a\}$, сходящуюся к $c$ слева, и последовательность $\{b\}$, сходящуюся к $c$ справа. Тогда последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к $f^\prime(c)$.

Пытаюсь доказать. Для любых элементов $a$ и $b$ указанных последовательностей имеем

\begin{multline*}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(b) - f(c) + f(c) - f(a)}{b - a} = \frac{f(b) - f(c)}{b - a} + \frac{f(c) - f(a)}{b - a}  = \\ = \frac{f(b) - f(c)}{b - a} \frac{b - c}{b - c} + \frac{f(c) - f(a)}{b - a} \frac{c-a}{c - a} = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \frac{b - c}{b - a} + \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \frac{c - a}{b - a}
\end{multline}

Дальше очень хочется перейти к пределам и сказать, что

\begin{multline*}
\lim_{n \to \infty} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \lim_{n \to \infty} \frac{b - c}{b - a} + \lim_{n \to \infty} \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \lim_{n \to \infty} \frac{c - a}{b - a} = \\ = f^\prime(c) \lim_{n \to \infty}\left (\frac{b - c}{b - a} +  \frac{c - a}{b - a} \right ) = f^\prime (c)  
\end{multline*}

Увы, законность такого колдунства под вопросом, ибо теоремы о сложении и умножении пределов сформулированы для последовательностей, каждая из которых имеет предел. Между тем, скажем, последовательность $\left \{\dfrac{b - c}{b - a} \right \}$ может не иметь предела. Для этого достаточно положить, что $b_n = c + \dfrac{1}{2^n}$ при любых $n$, $a_n = c - \dfrac{1}{2^n}$ при нечетных $n$ и $a_n = c - \dfrac{3}{2^n}$ при четных $n$. Тогда $\dfrac{b_n - c}{b_n - a_n}$ будет при нечетных $n$ равняться $1/2$, а при четных $1/4$.

Может быть, я в принципе пошел не по тому пути? Тут просится теорема о двух милиционерах, но на кого надеть погоны? На левую и правую производные? В упор не вижу для них соответствующих неравенств.

Пните меня, что ли, в плодотворном направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1161
$$
f(b)=f(c)+f^\prime(c)(b-c)+o(b-c),\quad f(a)=f(c)-f^\prime(c)(c-a)+o(c-a).
$$
Подставьте в свою формулу для средней скорости и воспользуйтесь тем, что $o(b-c)=o(b-a)$, $o(c-a)=o(b-a)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4277
Mikhail_K в сообщении #1205683 писал(а):
воспользуйтесь тем, что $o(b-c)=o(b-a)$
Ох. Никогда я с этими $o$ работать не умел, у меня от них центральный поршень заклинивает.

По определению, $o(f(x))$ - это такая функция $g(x)$, что
$$
\lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{f(x)} = 0
$$
Что еще мне надо знать о свойствах $o$, чтобы уразуметь, что $o(b-c)=o(b-a)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1221
$\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(c) + o(1)$, $o(1)$ - это простой очень объект, это просто какая-то последовательность стремящаяся к нулю, при $n \to \infty$, если вам неуютно, то давайте запишем $\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(c) + \alpha_n$ где $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$.
Соответственно $\frac{f(c) - f(a)}{c-a} = f'(c) + \beta_n$, где $\lim_{n \to \infty} \beta_n = 0$.
Подставим теперь в ваши равенства
$$(f'(c) + \alpha_n)\frac{b-c}{b-a} + (f'(c) + \beta_n)\frac{c-a}{b-a}$$
теперь раскройте скобки, помня, что $\frac{b-c}{b-a}$ может, конечно, предела не иметь, но важно, что это ограниченная последовательность, потому как $|b-c| < |b-a|$ по вашему условию, а значит $|\frac{b-c}{b-a}| < 1$. А затем нужно вспомнить, что последовательность стремящаяся к нулю умноженная на ограниченную даст последовательность стремящуюся к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1161
Anton_Peplov в сообщении #1205695 писал(а):
Что еще мне надо знать о свойствах $o$, чтобы уразуметь, что $o(b-c)=o(b-a)$?

Да ничего больше не нужно.
Если $\frac{g}{b-c}\to 0$, то $\frac{g}{b-a}\to 0$ тем более в силу $b-a\geq b-c\geq 0$.
Какого бы знака ни было $g$.

Равенство $o(b-c)=o(b-a)$ тут понимается только в одну сторону: т.е. если $g=o(b-c)$, то $g=o(b-a)$. Этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 19:55 
Заслуженный участник


16/02/13
2620
Владивосток
Теорему Лагранжа ещё стоит, имхо, посмотреть. При каких-то там условиях, кои никогда не помнил, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$, где $\xi$ — некая внутренняя точка отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1161
iifat в сообщении #1205749 писал(а):
Теорему Лагранжа ещё стоит, имхо, посмотреть. При каких-то там условиях, кои никогда не помнил, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$, где $\xi$ — некая внутренняя точка отрезка.
Нет, там требуется как минимум дифференцируемость на целом промежутке. А чтобы её применить в данной ситуации - наверное, ещё и непрерывная дифференцируемость потребуется.
А Anton_Peplov предполагает дифференцируемость только в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 20:04 


26/05/14
374
А если вот так? Введём среднюю скорость роста функции $f$: $v(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Потребуем $a < c < b$. Тогда:

$f(b) - f(a) = f(b) - f(c) + f(c) - f(a)$

$(b - a)v(a, b) = (b - c)v(c, b) + (c - a)v(a, c)$

$v(a, b) = \frac{b - c}{b - a}v(c, b) + \frac{c - a}{b - a}v(a, c)$

Обозначим $\alpha = \frac{b - c}{b - a}$. Тогда:

$v(a, b) = \alpha v(c, b) + (1 - \alpha)v(a, c), 0<\alpha<1$.

Тогда:

$$$\begin{cases}
v(c, b)<v(a,b)<v(a,c),&\text{если $v(c, b)<v(a,c)$;}\\
v(c, b)>v(a,b)>v(a,c),&\text{если $v(c, b)>v(a,c)$;}\\
v(c, b)=v(a,b)=v(a,c),&\text{если $v(c, b)=v(a,c)$.}
\end{cases}$$$

В одну строку: $\min\{v(c, b),v(a,c)\}\leqslant v(a,b) \leqslant \max\{v(c, b),v(a,c)\}$ (1)

Найдём предел для $\min$:

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\min\{v(c, b_n),v(a_n,c)\} = \min\{\lim\limits_{n\to\infty}^{}v(c, b_n),\lim\limits_{n\to\infty}^{}v(a_n,c)\}=\min\{f'(c),f'(c)\} = f'(c)$

Перeйдём к пределу в (1):

$f'(c)\leqslant \lim\limits_{n\to\infty}^{}v(a_n,b_n) \leqslant f'(c)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение01.04.2017, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4277
Дорогие друзья, спасибо, пока советов вполне достаточно. Я разберусь с этим завтра, когда у меня включится мозг. Очень устал за день.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение02.04.2017, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4277
Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо.

Я воспользовался подробной подсказкой kp9r4d. Подход slavav мне тоже понравился, но детально выкладки я не воспроизводил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение02.04.2017, 14:43 
Заслуженный участник


11/05/08
30866
Anton_Peplov в сообщении #1205922 писал(а):
Подход slavav мне тоже понравился, но детально выкладки я не воспроизводил.

Там дело не в деталях, а в принципиальном подходе. Тот факт, что или $\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}\leqslant\frac{f(c+\delta_k)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k+\delta_k}\leqslant\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}$, или наоборот (средний наклон на участке зажат средними наклонами для его левой и его правой частей) -- геометрически очевиден, и аналитически его обосновывать имеет смысл разве что при уж очень страстном желании. В любом случае получается $\frac{f(c+\delta_k)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k+\delta_k}=\theta_k\cdot\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}+(1-\theta_k)\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}$, где $\theta_k\in[0;1]$ а чему именно $\theta_k$ равна -- уж и неважно. Дальше, если неохота о-маленьких, то попросту $\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}=f'(c)+\alpha_k$ и $\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}=f'(c)+\beta_k$, где $\alpha_k,\;\beta_k\to0$, вот и всё.

Кстати, есть смысл доказывать более сильное утверждение: что дифференцируемость в точке $c$ равносильна существованию двойного предела $\lim\limits_{\varepsilon,\delta\to+0}\frac{f(c+\delta)-f(c-\varepsilon)}{\varepsilon+\delta}$ (правда, при дополнительном предположении, что функция в этой точке непрерывна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4277
Вопрос № 2. Производная и средняя скорость: продолжение

Как и прежде, назовем средней скоростью изменения функции на отрезке $[a, b]$ величину $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

В прошлый раз мы доказали такое утверждение. Пусть функция $f$ дифференцируема во внутренней точке своей области определения $c$. Рассмотрим последовательность $\{a\}$, сходящуюся к $c$, и последовательность $\{b\}$, сходящуюся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$. Тогда последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к $f^\prime(c)$.

Теперь хочется доказать обратное утверждение и тем самым установить, что производная есть в точности предел средней скорости. А именно, пусть $c$ - внутренняя точка области определения функции. Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.

Пытаюсь доказать. Возьмем произвольную последовательность $\{d\}$, сходящуюся к $c$, но не содержащую его. Требуется доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{f(d) - f(c)}{d - c} = \gamma$. Может встретиться три ситуации:
1) $\{d\}$ сходится к $c$ слева
2) $\{d\}$ сходится к $c$ справа
3) $\{d\}$ можно разбить на две на две подпоследовательности - $\{d_1\}$, сходящуюся к $c$ слева, и $\{d_2\}$, сходящуюся к $c$ справа.
Итак, если мы докажем, что для произвольной последовательности $\{x\}$, сходящейся к $c$ слева или справа, верно $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \gamma$, мы докажем утверждение теоремы.

Все значительно упростилось бы, если бы верным оказалось такое утверждение: «Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Тогда для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i \leqslant c \leqslant b_i$, но $b_i$ и $a_i$ никогда не равны $c$ одновременно, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к тому же самому числу $\gamma$». Будь это утверждение верным, мы бы просто применили его к последовательности $\{x\}$, взяв в качестве парной стационарную последовательность $\{c\}$. Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$. Выносить же в условие непрерывность функции не хочется, ибо цель и состоит в том, чтобы доказать, что существования конечного предела у средней скорости достаточно для дифференцируемости, не говоря про непрерывность.

В общем, я снова прошу меня пнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3420
Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):
Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.

Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):
Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$.

Можно доказать, что при таких условия функция имеет предел в точке $c$, и если её доопределить по непрерывности, то доопределённая функция будет дифференцируема в этой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5764
Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):
Теперь хочется доказать обратное утверждение и тем самым установить, что производная есть в точности предел средней скорости. А именно, пусть $c$ - внутренняя точка области определения функции. Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.


Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):
Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$.


По-моему вторая цитата перечеркивает все надежды на доказательство желаемого первого утверждения.

-- Вс апр 16, 2017 09:00:31 --

О, опоздал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
Anton_Peplov
А почему вы углублённые вопросы задаёте в темах "наивные вопросы"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group