"Категорный" vs "некатегорный" подход

[GOLOTOPAXPOP]

Цитата:

как я считаю, отражает именно то "тело" алгебраической геометрии, которое можно использовать, нет

Использовать где? Потому что как раз в большинстве разделов математики никакие "алгоритмы" никого не интересуют.
Алгоритмы - это теоретическая информатика.

А в теории чисел используются как раз теория схем и теория мотивов, которые не формулируются без категорий.

-- 17.04.2017, 17:31 --

Xaositect, спасибо.
Подходит, но это настолько маленькая область, нацеленная на другие науки и приложения, что проще отнести, например, к анализу.

[Brukvalub]

Xaositect, спасибо за поправку. Я убедился, что не в курсе новейших тенденций в информатике. Скажите пожалуйста, теперь использование теории категорий уже стало массовым и общепринятым в исследованиях по теории алгоритмов и мат.логике? Уже есть серьезные результаты, продвижения в этих областях, достигнутые именно с помощью методов теории категорий?

[Red_Herring]

Вчера я задал вопрос своему хорошему приятелю, выдающемуся геометру, про теорию категорий. Он мне очень чётко объяснил почему он рассматривает ТК как абсолютно чужеродный для себя способ мышления.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):

Господин Бруквалуб

Между прочим, искажение ника является грубейшим нарушением правил форума.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):

В математике люди хотят понять реальность, понять, "почему" это верно, а не просто настрогать бессмысленное доказательство из трюков и ad-hoc методов на 50 страниц. Проблема лишь в том, что "Rising Sea метод" не всегда работает. В классическом анализе, например, не работает соврешенно. Думаю, если бы работал, то у вас таких вопросов бы не возникало.

Если вы не в состоянии уловить смысл, это ваша проблема. Не стоит собственные недостатки выдавать за проявление высшей мудрости.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):

Это идеал математического знания - когда все теория состоит в основном из определений, а доказательства тривиальны. К сожалению,

С тем же успехом вы можете сожалеть, что люди не имеют щупалец и не дышат метаном.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):

Но кто-нибудь может представить, чтобы tenured professor в вышеупомянутых университетах в 2017-м году не знал мейнстримной математики вообще, кроме своей узкой области, недоумевая "зачем нужны категории"?

Прекрасно можно. Более того, относится к подавляющему числу профессоров, включая специалистов по теории категорий. Другой мой коллега, специалист по теории $C^*$ алгебр, имеет кучу учеников. Но если сам он одновременно и умный, и полоумный, то его ученики унаследовали лишь последнее. На вопрос "приведите пример алгебры, к которой применимы результаты вашей диссертации" они мычат нечто (научный руководитель, если ему задать этот же вопрос, молниеносно приводит простой пример).

Brukvalub
Мне кажется, что не стоит отрицать важность результатов, которые ни Вы (ни я также) не понимаем. Не стоит уподобляться ...

[Brukvalub]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210183 писал(а):

А в теории чисел используются как раз теория схем и теория мотивов, которые не формулируются без категорий.

Ага, особенно в аналитической теории чисел! Или, например, в доказательстве Уайлса ВТФ. Ну, и Г. Перельман гипотезу Пуанкаре доказал только с помощью категорий.

-- Пн апр 17, 2017 16:37:39 --

Red_Herring в сообщении #1210185 писал(а):

Brukvalub
Мне кажется, что не стоит отрицать важность результатов, которые ни Вы (ни я также) не понимаем. Не стоит уподобляться ...

Согласен. Но я именно с вопроса про "новый существенный результат, полученный на основе теории категорий" и вступил в дискуссию. А в ответ получил...

[Chanzaa]

Brukvalub в сообщении #1210186 писал(а):

в доказательстве Уайлса ВТФ

http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
Как легко видеть, категории в нём присутствуют.

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1210184 писал(а):

Xaositect, спасибо за поправку. Я убедился, что не в курсе новейших тенденций в информатике. Скажите пожалуйста, теперь использование теории категорий уже стало массовым и общепринятым в исследованиях по теории алгоритмов и мат.логике? Уже есть серьезные результаты, продвижения в этих областях, достигнутые именно с помощью методов теории категорий?

По матлогике - безусловно. Топосы, семантика теории типов.
По теории алгоритмов - нет.

[Brukvalub]

Chanzaa в сообщении #1210187 писал(а):

Как легко видеть, категории в нём присутствуют.

Еще там присутствуют пробелы и знаки препинания. Вывод: Уайлс в доказательстве ВТФ опирался на пробелы и знаки препинания, именно эти средства он положил в основу доказательства!

-- Пн апр 17, 2017 16:49:25 --

Xaositect, спасибо за разъяснения.

[kp9r4d]

пианист в сообщении #1210102 писал(а):

Можно тут поподробнее - что Вы имеете в виду?

Ну, единственное доказательство которое я видел находится в Хартсхорне IV.1, там существенно используется двойственность Серра, а именно тот факт, что $\operatorname{dim} H^0 = \operatorname{dim} H^1$.

[Chanzaa]

Brukvalub в сообщении #1210190 писал(а):

Еще там присутствуют пробелы и знаки препинания

Без языка теории категорий это доказательство невозможно было бы провести, разве нет?

[GOLOTOPAXPOP]

Уважаемый Red_Herring!

Цитата:

Между прочим, искажение ника является грубейшим нарушением правил форума.

Как я исказил никнэйм товарища Brukvalub?

Цитата:

Если вы не в состоянии уловить смысл, это ваша проблема. Не стоит собственные недостатки выдавать за проявление высшей мудрости.

Я-то что!
Вся эта идеология пошла от Гротендика - величайшего математика 20-го века.
Вы на эту тему-то почитайте. Возможно, я коряво выразился, и получилось непонятно.

Это далеко не значит, что неконцептуальные доказательства не нужны или бесполезны. Речь лишь о том, что лучше какой-то общий контекст, чем его отсутствие. Но если не получается, то и не получается.

Цитата:

Более того, относится к подавляющему числу профессоров, включая специалистов по теории категорий.

Безусловно.
Специалисты по теории категорий, кстати, и не работают обычно в хороших университетах.
И современные исследования в теории категорий часто оторваны от остальной математики.

Цитата:

Другой мой коллега, специалист по теории $C^*$ алгебр, имеет кучу учеников. Но если сам он одновременно и умный, и полоумный, то его ученики унаследовали лишь последнее. На вопрос "приведите пример алгебры, к которой применимы результаты вашей диссертации" они мычат нечто (научный руководитель, если ему задать этот же вопрос, молниеносно приводит простой пример).

И что, все эти профессора сильных университетов Америки тоже спрашивают, "зачем нужна теория категорий?"
Заметьте, не "зачем нужна теория категорий в моей узкой области?" (вполне нормальный вопрос), а "зачем нужна вообще?".

[Red_Herring]

Chanzaa в сообщении #1210187 писал(а):

Как легко видеть, категории в нём присутствуют.

Нелегко проверить, поскольку этот pdf не имеет text layer, но правильная статья из Ann. Math., а не с пиратского источника, подтверждает утверждение, что слова category и functor встречаются несколько раз.

[GOLOTOPAXPOP]

Уважаемый Brukvalub.

Великая Теорема Ферма была доказана с помощью аппарата алгебраической геометрии и схем, который нетривиально использует категории и гомологическую алгебру.

Аналитическая теория чисел, действительно, почти не использует категории.

Но это не я заявил, что категории используются в абсолютно каждом разделе современной математики (что было бы глупостью), я лишь сказал, что она используется в большинстве мейнстримных областей (а доказательство Перельмана, безусловно, является примером мейнстримной области, где ТК почти не используется).

Это вы заявили, что "популярность теории категорий в математике - заговор масонов-бурбакизаторов".

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1210182 писал(а):

Кстати, в любимой мной монографии Кокс, Литтл, О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы, которая, как я считаю, отражает именно то "тело" алгебраической геометрии, которое можно использовать

Я тоже очень люблю эту монографию, но основным результатам, которые в ней описаны, 100 лет (буквально). При том, что алгебраическая геометрия была одним из центров математики 20 века, довольно наивно предполагать, что ничего полезного за эти 100 лет не придумали.

Например, гипотезы Вейля (которые изначально формулируются в терминах аналитической теории чисел).

Гипотезу Блоха-Като я тоже упоминал (тоже изначально аналитическая теория чисел, но в доказательстве нужны мотивы).

Зеркальная симметрия (сейчас довольно большое количество математиков ей занимается) изначально формулируется в терминах категорий Фукаи (с симплектической стороны) и производных категорий когерентных пучков (с комплексной стороны). Я могу что-то перепутать, но можете воспользоваться гуглом и проверить.

За каждым из упомянутых достижений стоит не менее одной медали Филдса.

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210193 писал(а):

Как я исказил никнэйм товарища Brukvalub?

Цитата:

О ты, кого поэзия изгнала,
Кто в нашей прозе места не нашел, -
Ты слышишь крик поэта Марциала:
"Разбой! Грабеж! Меня он перевел!.."

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210193 писал(а):

Я-то что!
Вся эта идеология пошла от Гротендика - величайшего математика 20-го века.

Одного из величайших, что вовсе не означает что её все должны разделять.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210193 писал(а):

Безусловно.
Специалисты по теории категорий, кстати, и не работают обычно в хороших университетах.
И современные исследования в теории категорий часто оторваны от остальной математики.

Т.е. тупые search committees в хороших университетах не понимают важности ТК?

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210193 писал(а):

Заметьте, не "зачем нужна теория категорий в моей узкой области?" (вполне нормальный вопрос), а "зачем нужна вообще?".

То, что вы называете "узкой областью", покрывает значительную часть математики и подавляющее большинство математиков. И, между прочим, на search committee подобные вопросы (и не только про теорию категорий) встают очень часто.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1210198 писал(а):

Т.е. тупые search committees в хороших университетах не понимают важности ТК?

Я так понимаю, что имелись в виду специалисты по чистой ТК, это примерно то же, что специалисты по мат. логике, и их, действительно, немного.

А специалистов по другим областям, основные задачи в которых общепринято формулируются с помощью категорий, немало.